研究如下的Klein-Gordon-Maxwell系统：

其中：ω＞0是常数; u，$ \phi $：$ {{\mathbb{R}}^{3}}\to \mathbb{R}$是未知函数; V：${{\mathbb{R}}^{3}}\to \mathbb{R} $为位势函数; g(x，u)：${{\mathbb{R}}^{3}}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} $是一连续函数.这个系统有强烈的物理背景：用以描述Klein-Gordon场和电磁场之间的相互作用.本问题具有变分结构，利用变分方法系统(1)已经有大量的研究结果^[1-8].

为了阐述我们的主要结果，做如下的假设：

(V) V(x)∈C(${{\mathbb{R}}^{3}} $，$ \mathbb{R}$)下方有界并且存在常数v₀＞0满足

(H1) g∈C (${{\mathbb{R}}^{3}} $× $\mathbb{R} $，$\mathbb{R} $)，并且存在常数C＞0和p∈[4，2^*)使得|g(x，t)|≤C(1+|t|^p-1).

(H2)当t→0时$ \frac{g\left( x, t \right)}{t}\to 0$对x∈${{\mathbb{R}}^{3}} $一致成立.

(H3)当|t|→+∞时$ \frac{{g\left( {x, t} \right)}}{{{t^3}}} \to + \infty $对x∈${{\mathbb{R}}^{3}} $一致成立.

(H4)设$\mathscr{G} $ (x，t)=g(x，t)t-4G(x，t)，则这里存在C＞0和r₀＞0满足当|t|≥r₀时有$\mathscr{G} $(x，t)≥-C|t|².

研究系统(1)的一个主要困难是嵌入H¹(${{\mathbb{R}}^{3}} $) $\circlearrowleft $ L²(${{\mathbb{R}}^{3}} $)不紧.为了克服这困难，定义带权Sobolev空间

由于V是下方有界的，因此存在常数m＞0满足$\tilde V\left( x \right) = V\left( x \right) + m{\rm{ }}>1 $.定义

其上的内积和范数分别为

和

从文献[3]可知嵌入X $ \circlearrowleft$ L²(${{\mathbb{R}}^{3}} $)是紧的.

由嵌入X$ \circlearrowleft$L²(${{\mathbb{R}}^{3}} $)的紧性和自伴紧算子的谱理论，容易得到特征值问题

拥有完整的一列特征值-∞＜λ₁≤λ₂≤λ₃≤…，λ_k→+∞.每个特征值λ_k根据其重数已经在序列中重复出现.我们用φ_k表示λ_k的特征函数，‖φ_k‖₂=1.本文的主要结果如下：

定理1  假设(V)，(H1)-(H4)成立.如果0不是特征方程(1)的特征值，则Klein-Gordon-Maxwell系统(1)至少有一个非平凡解.

注1  与前面关于系统(1)的结果(例如文献[5-8])不同，这里我们并没有对V加以正定性假设.

为了证明我们的结果，下面的结论是必须的，证明请见文献[4].

命题1  对任何u∈H¹(${{\mathbb{R}}^{3}} $)，这里存在唯一的$\phi $ = $ {\phi _u}$ ∈ $\mathscr{D} $ ^1，2(${{\mathbb{R}}^{3}} $)满足方程

更进一步，映射Φ：u∈H¹(${{\mathbb{R}}^{3}} $) $ \mapsto $ Φ[u]=$ {\phi _u}$∈ $\mathscr{D} $ ^1，2(${{\mathbb{R}}^{3}} $)是连续可微的并且满足：

(ⅰ)在集合{x|u(x)≠0}上有-ω≤$ {\phi _u}$≤0;

(ⅱ) $\parallel {\phi _u}{\parallel _{{\mathscr{D}^{1, 2}}}} \le C\parallel u{\parallel _E}^2且\int {|{\phi _u}|{u^2} \le C\parallel u\parallel _{\frac{{12}}{5}}^4 \le C\parallel u\parallel _E^4} $.

由命题1，系统(1)有如下能量泛函

并且有

对任何q∈^{[2, 6]}，显然嵌入E $\circlearrowleft $ L^q(${{\mathbb{R}}^{3}} $)是连续的，因此存在常数κ_q＞0满足

如果0＜λ₁，易得泛函$\mathscr{J} $满足山路几何结构，这种情况是简单的，我们这里不考虑.由定理1的条件可知0不是系统(1)的特征值，因此我们不妨认为存在整数l≥1满足0∈(λ_l，λ_l+1).令

则E^-和E⁺分别是二次型

的负空间和正空间.显然

更进一步，这里存在常数κ满足

如注记提到的那样，我们要使用局部环绕去证明定理1，下面重新回顾其定义.泛函$\mathscr{J} $关于直和分解E=E^- $ \oplus $ E⁺在0点有一个局部环绕，如果存在常数ρ＞0满足

定义两个有限维空间序列E₀^± $ \subset $ E₁^±$ \subset $…$ \subset $E^±满足${{E}^{\pm }}=\overline{\underset{n\in \mathbb{N}}{\mathop{\cup }}\, \text{ }E_{n}^{\pm }} $.对多重指标α=(α^-，α⁺) ∈ ${{\mathbb{N}}^{2}} $定义空间E_α= $ E_{{{\alpha }^{-}}}^{-}\oplus E_{{{\alpha }^{+}}}^{+}$，用$\mathscr{J}_{\alpha } $表示泛函$\mathscr{J} $在空间$E_{\alpha } $上的限制泛函.

定义多重指标有如下的序关系：对任何α，β∈ ${{\mathbb{N}}^{2}} $，称α≤β如果α^±≤β^±.而称序列{α_n} $ \subset {{\mathbb{N}}^{2}}$是相容的，如果对任何α∈${{\mathbb{N}}^{2}} $存在m∈ $\mathbb{N} $满足对任何n≥m都有α ≤α_n.显然如果{α_n}是相容的，则其任何子列也是相容的.

定义1   称泛函Φ∈C¹(X)满足Palais-Smale条件(简写为(PS)条件)，如果当序列{α_n}$ \subset {{\mathbb{N}}^{2}}$是相容的，任何序列{u_n} $ \subset $ E如果满足

则其含有一个子列收敛到Φ的一个临界点.

定理2^[9]  假设泛函Φ∈C¹(X)在0点有一个局部环绕，满足(PS)条件，并将有界集映为有界集，且对每个m∈ $\mathbb{N} $都有

则Φ有一个非平凡临界点.

显然条件(H1)和(H2)暗示这里存在常数C₁＞0满足当|t|＜r₀时|g(x，t)|≤C₁|t|和|G(x，t) $|\le \frac{{{C}_{1}}}{2}|t{{|}^{2}}| $.因此存在C₂＞0当|t|＜r₀时有

利用(H4)，我们可得

令

简单计算表明

从(H3)易得对x∈${{\mathbb{R}}^{3}} $，$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{}}|t| \to \infty } \frac{{f\left( {x, {\rm{ }}t} \right)}}{{{t^3}}} = + \infty $一致成立，更进一步从(H2)可知

因此存在Λ＞0满足对任何(x，t)∈${{\mathbb{R}}^{3}} $× $\mathbb{R} $有

借助于非线性项f，泛函$\mathscr{J} $：$E\to \mathbb{R} $可改写为如下形式：

引理1  假设(V)，(H1)，(H3)和(H4)被满足，则泛函$\mathscr{J} $满足(PS)条件.

证  设序列{u_n}满足(6)式.其中{α_n} $\subset {{\mathbb{N}}^{2}} $是相容的.显然

如果‖u_n‖→∞，则由u_n∈E_αn，(6)和(8)式知，对足够大的n有

令

归于某个子列，由紧嵌入X $\circlearrowleft $ L²(${{\mathbb{R}}^{3}} $)可推得${{v}_{n}}\rightharpoonup v $在X中，v_n→v在L²(${{\mathbb{R}}^{3}} $)中，v_n(x)→v(x) a. e.在${{\mathbb{R}}^{3}} $中.在(10)式两边同乘以‖u_n‖^-2，然后令n→∞可得$ \tilde{b}\int_{{{\mathbb{R}}^{3}}}{{{v}^{2}}\text{d}x}\ge 1$，因此v≠0.

由(9)和(3)式，我们有

对x∈{x∈${{\mathbb{R}}^{3}} $|v≠0}，显然|u_n(x)|→+∞，据此可得

因此，由(9)，(10)式和Fatou引理可知

因为{u_n}满足(6)式，由(13)式，对足够大的n有

矛盾.因此{u_n}是空间X中的有界序列.最后用文献[8]中的方法，嵌入X $\circlearrowleft $ L²(${{\mathbb{R}}^{3}} $)的紧性，以及X= $ \overline{\underset{n\in \mathbb{N}}{\mathop{\cup }}\, \text{ }{{X}_{{{\alpha }_{n}}}}}$，我们容易得到序列{u_n}有一个子列收敛到Φ的一个临界点.引理证毕.

引理2   假设(V)，(H1)和(H2)被满足，则泛函$\mathscr{J} $在0点相对于空间分解E=E^-$ \oplus $E⁺有一个局部环绕.

证  由假设(H1)和(H2)，这里存在常数C＞0满足

对任何u∈E^-，由(3)式可推知

这里

类似，对任何u∈E⁺有

因为p＞4，所需结果(5)可从(14)和(15)式得到.引理证毕.

引理3  设Y是E的一个有限维子空间，则泛函$\mathscr{J} $在空间Y上反强制，即

证   如果结论不成立，我们能选出序列{u_n} $ \subset $ Y和常数β∈ $ \mathbb{R}$满足

令

由于dimY＜∞，归于某个子列，对某个v∈Y，‖v‖=1有‖v_n-v‖→0，v_n(x)→ v(x)a.e.${{\mathbb{R}}^{3}} $.因为v≠0，类似于(13)式，有

由此可推知

矛盾.引理证毕.

定理1的证明  我们将运用定理2证明泛函$\mathscr{J} $有一个非平凡的临界点.易得泛函$\mathscr{J} $将有界集映射为有界集.引理1和引理2可得泛函$\mathscr{J} $满足(PS)条件并且在0点有一个局部环绕.因此我们只需要验证(7)式成立，而dim(E^-$ \oplus $E_m⁺)＜∞，这只是引理3的一个推论而已.证毕