首先，易得系统存在唯一无病平衡点E₀(S₀，V₁₀，V₂₀，0，0)：

在无病平衡点E₀处通过下一代矩阵法^[9]，得到系统的基本再生数：

接下来，求解系统(2)的正平衡点，显然系统(2)的正平衡点满足：

由方程(3)的前4个方程可以得到

将(4)式代入(3)的第5个方程，得到

其中：

关于f(I)，我们有

因为

所以f(A)＜0.因为当R₀＞1时f(0)＞0，此时f(I)=0在区间(0，A)上必然存在唯一正根I^*.

定理1  系统(2)总存在一个无病平衡点E₀(S₀，V₁₀，V₂₀，0，0);当R₀＞1时，系统还存在唯一正平衡点E_*(S^*，V₁^*，V₂^*，E^*，I^*)，其中：

I^*是方程f(I)=0在区间(0，A)上的唯一正根.

定理2  当R₀＜1时，系统(2)的无病平衡点E₀(S₀，V₁₀，V₂₀，0，0)局部渐近稳定; 当R₀＞1时，系统(2)的无病平衡点E₀不稳定，但是系统的正平衡点E_*(S^*，V₁^*，V₂^*，E^*，I^*)局部渐近稳定.

证   使用Jacobian矩阵以及Hurtiwz判据^[10]可证.

定理3  当R₀＜1时，系统(2)的无病平衡点E₀(S₀，V₁₀，V₂₀，0，0)全局渐近稳定; 当R₀＞1时，系统(2)的正平衡点E_*(S^*，V₁^*，V₂^*，E^*，I^*)全局渐近稳定.

证   当R₀＜1时，定义Lyapunov函数

沿着系统(2)的轨线求导，得：

将μA(1-η)=μS₀，μAη=(μ+ε)V₁₀，εV₁₀=μV₂₀代入整理得：

从而当R₀＜1时，$ {{{\dot{L}}}_{0}}$ ≤0.设D₀={(S，V₁，V₂，E，I)|$ {{{\dot{L}}}_{0}}$=0}，易得D₀的最大不变集为{(S₀，V₁₀，V₂₀，0，0)}.由Lyapunov-LaSalle不变原理^[11]知：当R₀＜1时，无病平衡点E₀全局渐近稳定.

现在证明系统(2)的正平衡点E_*的全局渐近稳定性，当R₀＞1时，定义Lyapunov函数：

沿着系统(2)轨线求导，得：

因为

将其代入整理

所以$ {{{\dot{L}}}_{1}}$ ≤0，且$ {{{\dot{L}}}_{1}}$=0当且仅当S(t)=S^*，V₁(t)=V₁^*，V₂(t)=V₂^*，E(t)=E^*，I(t)=I^*.从而由Lyapunov-LaSalle不变原理^[11]知：当R₀＞1时，正平衡点全局渐近稳定.

本文建立了一个考虑疫苗时效性和潜伏期的传染病模型，通过分析计算得到了疾病的基本再生数R₀.易得R₀关于疫苗接种率η的导数为

因此，基本再生数R₀为疫苗接种率η的单调减函数.所以在疾病预防中，提高疫苗接种比例是控制乙肝传播的有效手段之一.同时模型(2)中我们考虑了乙肝潜伏期的影响.如果忽略疾病潜伏期，得到模型的基本再生数为

显然R₀＜R₁，由此可以看出不考虑乙肝传染的潜伏期会高估疾病传播的基本再生数，所以乙肝潜伏期对乙肝传播具有很大的影响，具有研究的必要性.