定义 1^[3]  一个(2，0)-型代数(X，*，0)如果满足条件：∀x，y，z∈X，有

(a) x*0=x；

(b) x*x=0；

(c) (x*y)*z=(x*z)*y.

则称X为一个亚BCI-代数.

定义 2^[3]  设S是亚BCI-代数X的非空子集，如果对∀x，y∈S，有x*y∈S，则称S为X的子代数.

注 1  任意子代数S都包含0，因为∀x∈S，有0=x*x∈S.

定理 1^[18]  设{A_i}_i∈I是X的一族亚BCI-子代数，I为一非空集合，则∩_i∈IA_i也是X的亚BCI-子代数.

定义 3^[8]  设U是一个初始集合，E是参数集，A⊆E，P(U)是U的幂集，设F：A→P(U)为一个映射，则称(F，A)是U上的软集，也称F为A的软集.

定义 4^[29]  设X是一个参数集，X上的犹豫模糊集定义为从X到[0, 1]幂集的一个函数，数学表示如下：

其中h_X：X→P([0, 1]).

定义 5  设A，B是两个非空集合，称A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}为A，B的笛卡尔积.

定义 6^[30]  设(H₁，X₁)，(H₂，X₂)为U上的软集，若H(x，y)=H₁(x)∪H₂(y)，∀(x，y)∈X₁×X₂，则称(H，X₁×X₂)是(H₁，X₁)与(H₂，X₂)的或运算，记作(H₁，X₁)∨(H₂，X₂).

定理 2^[18]  设X₁，X₂是两个亚BCI-代数，那么在X₁×X₂上规定运算*：

则(X₁×X₂，*，(0，0))也是亚BCI-代数.

定义 7^[31]  设(H₁，X₁)，(H₂，X₂)为U上的软集，若软集(H，X₁∩X₂)满足：

(a) X₁∩X₂≠Ø；

(b) ∀x∈X₁∩X₂，有H(x)=H₁(x)∪H₂(x).

则称(H，X₁∩X₂)是软集(H₁，X₁)和(H₂，X₂)的限制并，记作(H，X₁∩X₂)=(H₁，X₁)∪_R(H₂，X₂).

定义 8^[21]  设H：X→P(U)，x   H(x)为一个软集，则称A_H：U→P(X)，u   A_H(u)={x|u∉H(x)}为软集H的反对偶.

设A：U→P(X)为一个软集，则称H_A：X→P(U)，x    H_A(x)={u|x∉A(u)}为软集A的反对偶.

定义 9^[26] 9 9设X是任一参数集，H：X→P(U)是一个软集，λ∈P(U)，对于∀x∈X，H_λ^t(x)=H(x)∪λ称为H相对于λ的一个软平移.

定义 10^[26]  设(F，A)是A上的软集，(G，B)是B上的软集，若满足：

(a) A⊆B；

(b) ∀x∈A，有F(x)⊆G(x).

则称(F，A)是(G，B)的弱软子集，记作(F，A)$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{\subseteq }$(G，B).

注 2  显然，若(F，A)$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{\subseteq }$(G，B)且(G，B)$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{\subseteq }$(F，A)，则(F，A)=(G，B).

定义 11  设X，Y是两个亚BCI-代数，映射f：X→Y，若∀x，y∈X，有f(x*y)=f(x)*f(y)，则称f为X到Y的同态.

当f分别是满射、单射、双射时，称f分别是满同态、单同态、同构.

定义 12^[21]  设f：X₁→X₂是一个映射，H₁：X₁→P(U)，H₂：X₂→P(U)均为软集，∀x₁∈X₁，x₂∈X₂，定义

则$\widetilde{f}$(H₁)，f^-1(H₂)分别是X₂和X₁上的软集，称$\widetilde{f}$(H₁)为H₁的反像，f^-1(H₂)为H₂的原像.

定义 13^[18]  设X₁，X₂为两个集合，f：X₁→X₂是X₁到X₂的映射，H₁是X₁上的软集，∀x，y∈X₁，当f(x)=f(y)时，有H₁(x)=H₁(y)，则称H₁是关于f不变的.

定义 14^[18]  设(F，X)是亚BCI-代数X的一个软集合，若∀x∈X，F(x)≠Ø是X的一个子代数，则称(F，X)为通常的亚BCI-代数X上的软亚BCI-代数.

定义 15^[18]  设X是亚BCI-代数，H：X→P(U)是一个软集，若∀x，y∈X，满足H(x*y)H(x)∩H(y)，则称H是X的一个新型软亚BCI-代数，记为(H，X).

将参数集赋予亚BCI-代数，得到新型反软亚BCI-代数的概念，并研究它们在软集运算下的相关性质.

定义 16  设X是亚BCI-代数，H：X→P(U)是一个软集，若∀x，y∈X，满足H(x*y)H(x)∪H(y)，则称H是X的一个新型反软亚BCI-代数，记为(H，X)_A.在不引起混淆的情况下，简称为反软亚BCI-代数，简记为(H，X).

当U=[0, 1]时，相应地就得到反犹豫模糊亚BCI-代数的定义.

定义 17  设X是亚BCI-代数，H：X→P([0, 1])是一个犹豫模糊集，若∀x，y∈X，满足

则称H是X的反犹豫模糊亚BCI-代数.

因此我们获得的反软亚BCI-代数的性质对反犹豫模糊亚BCI-代数也成立(反犹豫模糊代数到目前为止还未见研究).

下面的例子说明新型反软亚BCI-代数的存在性.

例 1  设有初始集合U=X={0，1，2，3}，在X上*运算的定义为

由文献[26]知(X，*，0)是亚BCI-代数.又令H：X→P(U)，H(0)=Ø，H(1)={1，3}，H(2)={0}，H(3)={0，1，2}，由定义得H是X的反软亚BCI-代数.因为H(1)={1，3}不是X的子代数，所以H不是通常的软亚BCI-代数.又因为H(2*3)=H(0)=Ø不包含H(2)∩H(3)={0}，所以H也不是新型软亚BCI-代数.因此反软亚BCI-代数是一个新的代数结构.

由定义16易知，如果H是一个反软亚BCI-代数，则∀x∈X，有H(0)⊆H(x).

定理3  设X₁，X₂是亚BCI-代数X的两个子代数，H₁，H₂分别是X₁，X₂的反软亚BCI-代数，若(H，X₁∩X₂)=(H₁，X₁)∪_R(H₂，X₂)，则H是X₁∩X₂的反软亚BCI-代数.

证  因X₁，X₂是亚BCI-代数X的两个子代数，由定理1知，X₁∩X₂也是X的子代数. ∀x，y∈X₁∩X₂，有x*y∈X₁，则

所以，H是X₁∩X₂的反软亚BCI-代数.

定义 18  设(F，X₁)，(G，X₂)是U上的软集，X=X₁×X₂，且(H，X)=(F，X₁)∨(G，X₂)，规定：H_X1：X₁→P(U)，H_X1(x)=$\mathop \cap \limits_{y \in {X_2}} $H(x，y)，∀x∈X₁，则称H_X1为(H，X)在X₁上的对偶投影.同理可定义(H，X)在X₂上的对偶投影H_X2.

定理4  设(F，X₁)和(G，X₂)分别是亚BCI-代数X₁和X₂上的软集，X=X₁×X₂，且(H，X)=(F，X₁)∨(G，X₂)，

(ⅰ)如果(F，X₁)和(G，X₂)分别是X₁和X₂上的反软亚BCI-代数，则(H，X)是X上的反软亚BCI-代数；

(ⅱ)如果(H，X)是X上的反软亚BCI-代数，则(H_X1，X₁)和(H_X2，X₂)分别是X₁和X₂上的反软亚BCI-代数.

证  (ⅰ) X₁，X₂是两个亚BCI-代数，由定理2知，X₁×X₂也是亚BCI-代数.∀x，y∈X₁×X₂，x=(x₁，x₂)，y=(y₁，y₂)，其中x_i，y_i∈X_i(i=1，2)，则

则(H，X)是X上的反软亚BCI-代数.

(ⅱ)∀x，y∈X₁，有

所以，(H_X1，X₁)是X₁上的反软亚BCI-代数.同理可证(H_X2，X₂)是X₂上的反软亚BCI-代数.

定义 19  设X是任一参数集，H：X→P(U)是一个软集，λ∈P(U)，对于∀x∈X，H_λ^c(x)=H(x)∩λ称为H相对于λ的一个软压缩.

定理5  设X为亚BCI-代数，H：X→P(U)为一个软集，λ∈P(U)，如果H是X的反软亚BCI-代数，则：

(ⅰ) H相对于λ的软压缩H_λ^c是X的反软亚BCI-代数；

(ⅱ) H相对于λ的软平移H_λ^t是X的反软亚BCI-代数.

证   (ⅰ) ∀x，y∈X，有

因此，H_λ^c是X的反软亚BCI-代数.

(ⅱ) ∀x，y∈X，有

因此，H_λ^t是X的反软亚BCI-代数.

定理6  设X为亚BCI-代数，H：X→P(U)为一个软集，Σ_H=U-$\mathop \cup \limits_{x \in X} $H(x)，如果存在λ⊆Σ_H，使得H相对于λ的软平移H_λ^t是X的反软亚BCI-代数，则H是X的反软亚BCI-代数.

证  若存在λ⊆Σ_H，使得H相对于λ的软平移H_λ^t是X的反软亚BCI-代数，则对∀x，y∈X，有

即

∀z∈H(x*y)，有z∈H(x*y)∪λ⊆[H(x)∪H(y)]∪λ.因为z∉λ，所以z∈H(x*y)，即H(x)∩H(y)⊆H(x*y).

因此，H是X的反软亚BCI-代数.

本节利用对偶合成运算、反对偶软集及软集的反水平集给出了新型反软亚BCI-代数的等价刻画.

定义 20  设X是亚BCI-代数，(F，X)和(G，X)分别为X的两个软集.定义(F$ \circ $G，X)为

则(F$ \circ $G，X)是X的软集，并称F$ \circ $G为两个软集的对偶合成.

因∀z∈X，z*0=z，于是X中的元素均有分解式x*y=z成立，所以定义20是合理的.

定理 7  设X为亚BCI-代数，H：X→P(U)为一个软集，则H是X的反软亚BCI-代数的充要条件是(H²，X)=(H，X).

证  必要性  ∀z∈X，有

故

又由定理1知

故(H²，X)$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{\subseteq }$(H，X)，由注2知(H²，X)=(H，X).

充分性  若(H²，X)=(H，X)，则∀x，y∈X，有

所以H是X的反软亚BCI-代数.

定理 8  设X为亚BCI-代数，则下列结论成立：

(ⅰ) H：X→P(U)为X的反软亚BCI-代数的充要条件是∀u∈U，A_H(u)≠Ø为X的一个亚BCI-子代数；

(ⅱ) A：U→P(X)是一个软集，则∀u∈U，A(u)≠Ø为X的一个亚BCI-子代数的充要条件是H_A为X的反软亚BCI-代数.

证   (ⅰ)必要性   ∀u∈U，若A_H(u)≠Ø，则∀x，y∈A_H(u)，有u∉H(x)且u∉H(y)，故u∉H(x)∪H(y).因H：X→P(U)为X的反软亚BCI-代数，所以H(x*y)⊆H(x)∪H(y)，故u∉H(x*y)，即x*y∈A_H(u)，因此A_H(u)是X的一个亚BCI-子代数.

充分性  ∀x，y∈X，当H(x)∪H(y)=U时，有H(x*y)⊆H(x)∪H(y)；当H(x)∪H(y)≠U时，对∀u∉H(x)∪H(y)，有u∉H(x)且u∉H(y)，进而x∈A_H(u)且y∈A_H(u).由A_H(u)≠Ø为X的一个亚BCI-子代数，所以x*y∈A_H(u)，故u∉H(x*y)，从而H(x*y)H(x)∪H(y)，因此H是X的反软亚BCI-代数.

(ⅱ)必要性  ∀x，y∈X，当H_A(x)∪H_A(y)=U时，有H_A(x*y)⊆H_A(x)∪H_A(y)；当H_A(x)∪H_A(y)≠U时，对∀u∉H_A(x)∪H_A(y)，有x∈A(u)且y∈A(u).由A(u)≠Ø为X的一个亚BCI-子代数，所以x*y∈A(u)，故u∉H_A(x*y)，从而H_A(x*y)⊆H_A(x)∪H_A(y)，因此H_A是X的反软亚BCI-代数.

充分性  ∀u∈U，若A(u)≠Ø，则∀x，y∈A(u)，有u∉H_A(x)且u∉H_A(y)，故u∉H_A(x)∪H_A(y).由H_A为X的反软亚BCI-代数，有H_A(x*y)H_A(x)∪H_A(y)，故u∉H_A(x*y)，即x*y∈A(u)，因此A(u)是X的亚BCI-子代数.

定理 9  设X为亚BCI-代数，H：X→P(U)为软集，则H是X的反软亚BCI-代数的充分必要条件是H的反α-水平集${{\widetilde{H}}_{\alpha }}$={x|H(x)⊆α，α∈P(U)}≠Ø为X的子代数.

证  必要性  若${{\widetilde{H}}_{\alpha }}$≠Ø，∀x，y∈${{\widetilde{H}}_{\alpha }}$，则H(x)⊆α，H(y)⊆α.由H是X的反软亚BCI-代数，则H(x*y)⊆H(x)∪H(y)⊆α∪α=α，即x*y∈${{\widetilde{H}}_{\alpha }}$，所以${{\widetilde{H}}_{\alpha }}$是X的子代数.

充分性  ∀x，y∈X，令H(x)∪H(y)=α，有H(x)⊆α且H(y)⊆α，那么x∈${{\widetilde{H}}_{\alpha }}$且y∈${{\widetilde{H}}_{\alpha }}$.由${{\widetilde{H}}_{\alpha }}$≠Ø是X的子代数知x*y∈${{\widetilde{H}}_{\alpha }}$，则H(x*z)⊆α=H(x)∪H(y).

因此，H是X的反软亚BCI-代数.

本节给出反软亚BCI-代数的反像与原像的性质.

定理 10  设X₁，X₂为两个亚BCI-代数，U是初始集合. f：X₁→X₂为同态映射，H₁：X₁→P(U)，H₂：X₂→P(U)为两个软集，那么下列结论成立：

(ⅰ)若H₁为X₁的反软亚BCI-代数，则$\widetilde{f}$(H₁)为X₂的反软亚BCI-代数；

(ⅱ)若H₂为X₂的反软亚BCI-代数，则$\widetilde{f}$^-1(H₂)为X₁的反软亚BCI-代数.

证  (ⅰ) ∀x₂，y₂∈X₂，若x₂或y₂没有原像，由反扩张原理知，$\widetilde{f}$(H₁)(x₂)=U或$\widetilde{f}$(H₁)(y₂)=U，所以$\widetilde{f}$(H₁)(x₂)∪$\widetilde{f}$(H₁)(y₂)=U⊇$\widetilde{f}$(H₁)(x₂*y₂).若x₂，y₂均有原像，当$\widetilde{f}$(H₁)(x₂)∪$\widetilde{f}$(H₁)(y₂)=U时，结论显然成立；当$\widetilde{f}$(H₁)(x₂)∪$\widetilde{f}$(H₁)(y₂)≠U时，∞u∉$\widetilde{f}$(H₁)(x₂)∪$\widetilde{f}$(H₁)(y₂)，有u∉$\mathop \cap \limits_{f\left( x \right) = {x_2}} $ H₁(x)且u∉$\mathop \cap \limits_{f\left( x \right) = {y_2}} $ H₁(x).故存在x₁∈X₁，使得f(x₁)=x₂且u∉H₁(x₁)，且存在y₁∈X₁，使得f(y₁)=y₂且u∉H₁(y₁)，因此u∉H₁(x₁)∪H₁(y₁).若H₁为X₁的反软亚BCI-代数，有H₁(x₁*y₁)⊆H₁(x₁)∪H₁(y₁)，则u∉H₁(x₁*y₁).因f是同态映射，有f(x₁*y₁)=f(x₁)*f(y₁)=x₂*y₂，故u∉ $\mathop \cap \limits_{f\left( {{x_1} * {y_1}} \right) = {x_2} * {y_2}} $ H₁(x₁*y₁)=$\widetilde f$(H₁)(x₂*y₂)，即$\widetilde f$(H₁)(x₂*y₂)⊆$\widetilde f$(H₁)(x₂)∪$\widetilde f$(H₁)(y₂).

(ⅱ)由于H₂为X₂的反软亚BCI-代数，所以∀x₁，y₁∈X₁，有

故f^-1(H₂)为X₁的反软亚BCI-代数.

定理 11  设X₁，X₂为两个亚BCI-代数，f：X₁→X₂为一个满同态映射，H₂：X₂→P(U)为软集，则H₂为X₂的反软亚BCI-代数的充要条件是f^-1(H₂)为X₁的反软亚BCI-代数.

证  必要性  由定理10(ⅱ)知结论成立.

充分性  ∀x₂，y₂∈X₂，因为f是满同态映射，所以存在x₁，y₁∈X₁，使得x₂=f(x₁)，y₂=f(y₁)，且x₂*y₂=f(x₁)*f(y₁)=f(x₁*y₁).又因为f^-1(H₂)是X₁的反软亚BCI-代数，所以

故H₂为X₂的反软亚BCI-代数.

定理 12  设X₁，X₂为两个亚BCI-代数，U是初始集合. f：X₁→X₂为一个同态映射，H₁：X₁→P(U)为软集，且H₁是关于f不变的，则H₁为X₁的反软亚BCI -代数的充要条件是$\widetilde f$(H₁)为X₂的反软亚BCI-代数.

证  必要性  由定理10(ⅰ)知结论成立.

充分性  ∀x₁，y₁∈X₁，设f(x₁)=x₂，f(y₁)=y₂，因f是同态映射，有

由反扩张原理和H₁是f-不变的，有

又因$\widetilde f$(H₁)为X₂的反软亚BCI-代数，所以有

因此H₁是X₁的反软亚BCI -代数.

本文给出了新型反软亚BCI-代数的新的逻辑结构，运用软集的多种运算研究了它们的一系列基本性质.特别地，当U=[0, 1]时，得到了反犹豫模糊亚BCI-代数的定义及性质，是对当前犹豫模糊代数相应结果的推广.进一步将研究亚BCI-代数的其它新型反软理想.