设(S，·)是半群，+和*是S上的两个一元运算. 据文献[10]，若对任意x，y∈S，下列等式成立：

则称(S，·，⁺，^*)为P-限制半群，此时，称P_S={a⁺|a∈S}={a^*|a∈S}为S的投射元集. P-限制半群有如下一些基本性质：

引理1^[10]  设(S，·，⁺，^*)是P-限制半群，x，y∈S，e，f∈P_S. 则：

(1°) (x⁺y)⁺=x⁺y⁺x⁺，(xy^*)^*=y^*x^*y^*；

(2°) x⁺(xy)⁺x⁺=(xy)⁺，y^*(xy)^*y^*=(xy)^*；

(3°) e⁺=e，e^*=e，ef$\mathscr{R}$efe=(ef)⁺=(fe)^*∈P_S；

(4°) 若e$\mathscr{L}$f或e$\mathscr{R}$f，则e=f.

据文献[10]，若P_S是S的子半格，则称P-限制半群(S，·，⁺，^*)为限制半群，类似于广义逆*-半群，若对任意e，f，g，h∈P_S，有

则称P-限制半群(S，·，⁺，^*)为广义限制的P-限制半群. 显然，限制半群一定是广义限制的P-限制半群. 但反之不然(见文献[15]中的例2.9).

据文献[11]，若P-限制半群(S，·，⁺，^*)的投射元集P_S生成的子半群C_S=〈P_S〉是S的子带，即S的任意有限个投射元的乘积均为幂等元，则称其为纯正P-限制半群.

引理2^[11]  设(S，·，⁺，^*)是纯正P-限制半群. 则C_S=P_S².

设S是纯正P-限制半群. 在S上定义关系γ如下：

其中$\mathscr{D}$_CS是C_S上的格林关系. 则有以下结果：

引理3^[11]  设(S，·，⁺，^*)是纯正P-限制半群，a，b∈S，

(1°) aγb当且仅当a=a⁺ba^*，b=b⁺ab^*. 特别地，当e，f∈P_S时，eγf当且仅当e=efe，f=fef；

(2°) γ是最小的(2，1，1)-限制半群同余，且S/γ的投射元半格为

引理4^[1]  设B为正规带，则：

(1°) B上的格林关系$\mathscr{R}$是同余且商半群B/$\mathscr{R}$为左正规带；

(2°) B是左正规带当且仅当它是左零带的强半格.

具体来说，若B是左正规带，则B上$\mathscr{L}$关系是同余，且商半群Y=B/$\mathscr{L}$是半格. 设B的全体$\mathscr{L}$-类为{L_α|α∈Y}. 当α，β∈Y且α≥β时，定义

其中u是L_β中任意元素. 则B=(Y，L_α，ψ_α，β).

由等式(1)，容易验证以下结果：

引理5   设(S，·，⁺，^*)是广义限制的P-限制半群. 则C_S是正规带.

本节的目的是利用左正规带与限制半群的拟直积给出广义限制的P-限制半群的一个结构定理. 先介绍左正规带与限制半群的拟直积.

命题1   设(S，·，⁺，^*)是限制半群，L=(P_S，L_α，ϕ_α，β)是左正规带. 对∀(a，x，b)，(c，y，d)∈Q，在

上定义

则(Q，·，⁺，^*)是广义限制的P-限制半群，称其为左正规带L与限制半群S的拟直积.

证   设(a，x，b)，(c，y，d)∈Q. 则a∈L_x⁺，b∈L_x^*，c∈L_y⁺，d∈L_y^*. 由引理1(2°)知(xy)⁺≤x⁺，(xy)^*≤y^*，故Q上定义的二元运算是合理的. 此外，注意到x^+*=x⁺，x^*+=x^*，x⁺⁺=x⁺，x^**=x^*，Q上的两个一元运算也是合理的.

现设(a，x，b)，(c，y，d)，(m，z，n)∈Q. 则

由上述事实及其对偶知(Q，·)是半群.

下证(Q，·，⁺，^*)是P-限制半群. 设(a，x，b)，(c，y，d)∈Q，由对称性，分以下几步证明：

步骤1   对S利用等式(ⅰ)及引理1(3°)知x⁺x=x及x⁺⁺=x⁺. 故

步骤2   对S利用等式(ⅱ)知(xy⁺)⁺=(xy)⁺. 故

步骤3   对S利用引理1及等式(ⅲ)，(ⅴ)知x⁺⁺=x⁺=x^+*，(x⁺y⁺x⁺)⁺=x⁺y⁺x⁺=(x⁺y⁺x⁺)^*=(x⁺y⁺)⁺. 故

步骤4   对S利用引理1(3°)及等式(ⅳ)和(ⅴ)知x⁺⁺=x⁺=x⁺x⁺=x^+*. 故

步骤5   对S利用引理1(3°)知x^+*=x⁺. 故

步骤6   对S利用引理1(3°)知(xy)⁺⁺=(xy)⁺和x^**=x^*，而对S利用等式(ⅵ)知(xy)⁺x=xy⁺x^*. 故

综上所述，(Q，·，⁺，^*)是P-限制半群，且其投射元集为

设(a，x⁺，a)，(b，y⁺，b)，(c，z⁺，c)，(d，w⁺，d)∈P_Q. 则由S是限制半群知y⁺z⁺=z⁺y⁺，故

这就说明(Q，·，⁺，^*)是广义限制的P-限制半群.

命题2   任意广义限制的P-限制半群均(2，1，1)-同构于某个左正规带与某个限制半群的拟直积.

证   设(S，·，⁺，^*)是广义限制的P-限制半群. 据引理2、引理4、引理5知C_S=P_S²是正规带且C_S/$\mathscr{R}$={R_x|x∈C_S}是左正规带. 对任意x∈C_S，由C_S=P_S²知，存在e，f∈P_S，使得x=ef. 据引理1(3°)知x⁺=(ef)⁺=efe$\mathscr{R}$ef=x. 故R_x=R_x⁺. 于是

记L=C_S/$\mathscr{R}$并取R_e，R_f∈L，其中e，f∈P_S. 则据引理3(1°)知：R_e$\mathscr{L}$R_f当且仅当R_eR_f=R_e；R_fR_e=R_f当且仅当R_ef=R_e；R_fe=R_f当且仅当efe=e；fef=f当且仅当e γf. 由引理3(2°)，(S/γ，·，⁺，^*)是限制半群，其投射元半格为Y=P_S/γ={pγ|p∈P_S}. 对任意α∈Y，记L_α={R_e∈L|eγ=α，e∈P_S}. 设R_e，R_f∈L_α，e，f∈P_S. 则eγ=α=fγ. 因此R_e$\mathscr{L}$R_f.

设R_e∈L_α，R_g∈L，R_e$\mathscr{L}$R_g，e，g∈P_S. 则eγg，因此gγ=eγ=α. 故R_g∈L_α. 由此可知L_α是L的$\mathscr{L}$-类. 显然，对任意R_e∈L，e∈P_S，总有R_e∈L_eγ，eγ∈Y. 故{L_α|α∈Y}是L的全体$\mathscr{L}$-类. 据引理4，L=(Y，L_α，ψ_α，β)，其中，当α，β∈Y且α≥β时，有ψ_α，β：L_α→L_β，R_e|→R_ef，这里R_f∈L_β，f∈P_S. 考虑拟直积

下证映射

是S到[L∶S/γ]的(2，1，1)-同构.

设x，y∈S. 若(R_x⁺，xγ，R_x^*)=xφ=yφ=(R_y⁺，yγ，R_y^*)，则R_x⁺=R_y⁺，xγ=yγ，R_x^*=R_y^*. 据引理1(4)，有x⁺=y⁺，x^*=y^*和xγy，而利用引理3(1°)可得x=x⁺yx^*=y⁺yy^*=y. 故φ是单射.

对任意(R_e，xγ，R_f)∈[L∶S/γ]，有eγ=x⁺γ和fγ=x^*γ. 故

由于

据引理3(2)°，有(xf)⁺ γx⁺，进而由引理3(1°)知x⁺(xf)⁺x⁺=x⁺. 由eγ=x⁺γ及引理3(1°)知ex⁺e=e. 故由等式(ⅲ)及引理1(3°)，(2°)知

类似地，(exf)^*=f. 因此(exf)φ=(R_e，xγ，R_f). 故φ是满射.

设x，y∈S. 注意到

由ψ_{(xγ)⁺，((xy)γ)⁺}和ψ_{(yγ)^*，((xy)γ)^*}的定义及引理1，有

此外，据引理1(3°)，有x⁺⁺=x⁺=x^+*. 故

类似地，(xφ)^*=x^*φ.

结合命题1和2，得到本节的主要结果：

定理1   同构意义下，广义限制的P-限制半群是且仅是左正规带和限制半群的拟直积.

本节的目的是刻画广义限制的P-限制半群这一半群类的自由对象. 为此，需要自由限制半群的相关概念和结论.

设X是非空集合，X^-1={x^-1|x∈X}是与X之间存在双射的集合且X∩X^-1=∅. 记Y=X∪X^-1，并用Y^*表示Y上的自由幺半群. 对任意x∈X及w=y₁ y₂ …y_n∈Y^*，y_i∈Y，i=1，2，…，n，规定1^-1=1，(x^-1)^-1=x，w^-1=y_n^-1…y₂^-1 y₁^-1，w^↓={1，y₁，y₁y₂，…，y₁y₂…y_n}. 用G表示Y上的全部约化字构成的集合，并记

对任意g，h∈G，用gh表示g与h先连接再约简得到的约化字. 由文献[1]，FIM(X)={(A，g)∈E×G|g∈A}关于下列二元运算和一元运算：

构成以({1}，1)为单位元的逆半群，其中gB={gw|w∈B}. 易见FR(X)={(A，g)∈FIM(X)|g∈X^*}\{({1}，1)}是FIM(X)的子半群. 据文献[8]，若考虑FR(X)上的一元运算+和*：

及映射ε：X→FR(X)，x|→({1，x}，x)，则(FR(X)，ε)为X上的自由限制半群. 特别地，Xε生成FR(X). 不难看出，FR(X)的投射元半格为P_FR(X)={(A，1)|A∈E\{{1}}}且

在L={(x，A)∈Y×E|x∈A}上定义二元运算如下：对任意(x，A)，(y，B)∈L，(x，A)(y，B)=(x，A∪B). 则由文献[6]知L是左正规带. 易知，对任意(x，A)，(y，B)∈L，(x，A)$\mathscr{L}$(y，B)当且仅当A=B. 记L_(A，1)={(x，A)∈L|x∈A}. 则{L_(A，1)|(A，1)∈P_FR(X)}就是L的全部$\mathscr{L}$-类. 当(A，1)，(B，1)∈P_FR(X)，(A，1)≥(B，1)时，定义

其中(y，B)是L_(B，1)中某元素. 据引理4，有L=(P_FR(X)，L_(A，1)，ψ_{(A，1)，(B，1)}). 考虑拟直积

据命题1，([L∶FR(X)]，·，⁺，^*)是广义限制的P-限制半群. 设((x，A)，(A，g)，(y，g^-1A))，((u，B)，(B，h)，(v，h^-1B))∈[L∶FR(X)]，注意到

及(3)式，有

下面的定理给出了非空集合X上的自由广义限制的P-限制半群的刻画.

定理2   定义映射

则([L∶FR(X)]，i)是X上的自由广义限制的P-限制半群.

证   设T为任意广义限制的P-限制半群，η：X→T是映射. 则由命题2，存在左正规带M及限制半群(S，·，⁺，^*)，使得T=[M∶S]，M=(P_S，M_e，τ_e，f). 定义映射α，β：X→M及π：X→S，使得对任意x∈X，有xη=(xα，xπ，xβ). 将α扩展成Y到M的映射：x^-1α=xβ，x∈X. 因为π是X到限制半群S的映射，而(FR(X)，ε)是X上的自由限制半群，因此存在(2，1，1)-同态ϕ：FR(X)→S，使得εϕ=π，其中ε：X→FR(X)，x|→({1，x}，x).

设x∈X. 则xη=(xα，xπ，xβ)∈T=[M∶S]. 于是

对偶地，可知xβ∈M_{({1，x^-1}，1)ϕ}. 故对任意y∈Y，都有yα∈M_{({1，y}，1)ϕ}. 设((x，A)，(A，g)，(y，g^-1A))∈[L∶FR(X)]. 则1，x∈A. 据(2)式知({1，x}，1)≥(A，1). 由({1，x}，1)，(A，1)∈P_FR(X)及ϕ是(2，1，1)-同态可知

故可定义映射σ：[L∶FR(X)][M∶S]，

下证σ是(2，1，1)-同态且iσ=η. 设((x，A)，(A，g)，(y，g^-1A))，((u，B)，(B，h)，(v，h^-1B))∈[L∶FR(X)]. 据(4)，(6)式和(7)式知

另外，注意到((A，g)ϕ)⁺=(A，g)⁺ϕ=(A，1)ϕ及(5)式，有

类似地，(((x，A)，(A，g)，(y，g^-1A))σ)^*=((x，A)，(A，g)，(y，g^-1A))^*σ. 故σ是(2，1，1)-同态.设x∈X. 由x^-1{1，x}={1，x^-1}及εϕ=π知

故iσ=η. 最后证Xi能生成[L∶FR(X)]. 任取z∈X. 则

从而

对偶可知

设((x，A)，(A，g)，(y，g^-1A))∈[L∶FR(X)]. 则(A，g)∈FR(X). 由FR(X)是自由限制半群知Xε生成FR(X). 因此存在x₁，x₂，…，x_n∈X，使得x₁ε，x₂ε，…，x_nε在FR(X)的运算·，⁺，^*下生成(A，g). 根据[L∶FR(X)]中的运算，必存在a，b∈Y，使得x₁i，x₂i，…，x_ni可按照x₁ε，x₂ε，…，x_nε生成(A，g)的方式生成元素((a，A)，(A，g)，(b，g^-1A))(参考(4)式). 若x，y∈X，则利用(4)式，1，x∈A及1，y∈g^-1A，可得

类似可证其他情况. 由以上讨论知Xi能生成((x，A)，(A，g)，(y，g^-1A)). 于是Xi能生成[L∶FR(X)]. 这表明满足iσ=η的σ是唯一的. 故([L∶FR(X)]，i)是X上的自由广义限制的P-限制半群.