实验装置的模型示意图如图 1所示。该装置主要由3个核心组件构成：圆锥体、扭簧以及连接圆锥体的细手柄。在实验过程中，通过对手柄施加微小的外力扰动，使圆锥体产生旋转运动。这一创新性设计能够通过观察圆锥在各种液体介质中的旋转行为，深入分析液体的黏滞阻尼效应。通过比较不同液体中圆锥运动的特征参数，间接测定液体的黏滞系数。

在空气中进行实验时，轻轻拨动圆锥使其转动后释放。忽略空气阻力的作用，扭簧和圆锥系统的总能量E_total由扭簧的弹性能量和圆锥的动能组成，其表达式为：

式中：k是扭簧的扭转刚度(扭转弹簧常数)；θ是扭簧的扭转角度；I是圆锥的转动惯量；ω是角速度。

根据$\boldsymbol{\omega}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\theta}}{\mathrm{~d} t}$，系统总能量公式可表示为：

根据拉格朗日方程$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{\partial \boldsymbol{l}}{\partial \dot{\boldsymbol{\theta}}}\right)-\frac{\partial \boldsymbol{l}}{\partial \boldsymbol{\theta}}=0$，其中l = K - U是拉格朗日量，K、U分别是系统的动能和势能，可得：

计算得：

式中：$\dot{\boldsymbol{\theta}}$为角度对时间的导数。

将公式(1)、公式(2)代入拉格朗日方程，简化得：

其解的形式为$\boldsymbol{\theta}(t)=\Theta \cos (\boldsymbol{\omega} t+\varphi)$，其中振动频率ω的模为：

根据角频率ω与周期T的关系$T=\frac{2 \mathsf{π}}{|\boldsymbol{\omega}|}$，可得圆锥系统的振动周期T为：

将部分圆锥浸没在液体中，在圆锥转动角度较小(θ≤5°)的情况下，可以测量液体的黏滞系数。当圆锥旋转时，会带动周围的流体运动，黏性边界层的厚度会随着流动距离的增加而逐渐增大。然而，由于圆锥的形状几何特征，流体在流动方向上会加速运动，导致边界层相对变薄，因此边界层的厚度通常是较小的。这种特性有助于提高液体黏滞系数测量的精确性。

建立理论模型，如图 2所示。假设圆锥半径为R，高度为H，圆锥浸没液体高度为H₀(H₀＜H)，角速度为ω。液体密度为ρ_液，液体的黏滞系数为η，系统的液体最大边界层厚度为Δr(根据边界层理论Δr＜R)，根据壁面不滑移条件可知，特征速度v的模小于最大圆锥边界转速v_max的模。

本实验中的雷诺数可以表示为：

当旋转圆锥系统后释放，通过能量守恒定律计算旋转的最大旋转角速度，扭簧的弹性势能等于系统在静止状态下的总动能：

则最大角速度和线速度可以分别表示为：

将式(5)、式(6)代入式(4)可得：

式中：以水为例，相关参数如下：k≈1.79×10^-4 N·m/rad，$\left|\boldsymbol{\theta}_0\right|=\frac{\mathsf{π}}{36} \mathrm{rad}$，I≈1.1×10^-4 kg·m²，Δr＜R＜4.0×10^-2 m，ρ_水=1.0×10³ kg/m³，η为液体黏滞系数，η=1.0×10^-3 Pa·s。计算得到雷诺数Re＜110，表示液体运动处于层流状态^[23]。

当圆锥部分浸没在液体中旋转时，圆锥在扭簧恢复力矩作用下，绕中心轴做往返扭转运动。圆锥表面附着的液体在黏滞阻力的作用下，将跟随圆锥做相同的扭转运动。圆锥在液体扭转时受到扭簧恢复力矩和液体内摩擦力矩的作用，根据刚体定轴转动定律可知：

式中：α表示圆锥系统的角加速度；$I=\frac{3 m R^2}{10}$表示圆锥的转动惯量；-kθ表示扭簧的恢复力矩；M_阻表示液体内摩擦力矩。

为研究旋转液体的力矩，如图 2所示，设任意位置距离锥顶的距离为z，相对应的圆锥半径为r_z，此处对应的流体边界层厚度为dr_z(0≤dr_z≤Δr，0≤z≤H₀)，z处的线速度为v _z。进一步假设液体运动速度随着半径的增大呈现均匀递减趋势^[24-25]，递减梯度为$\frac{\boldsymbol{v}_z}{\Delta r}$。

由牛顿黏滞定律可知液体的黏滞阻力F_阻为：

则液体所受的阻力力矩为：

由于$\frac{\Delta r}{d r_z}=\frac{H_0}{z}, \frac{r_z}{R}=\frac{z}{H}, \boldsymbol{v}_z=r_z \boldsymbol{\omega}$，联立式(8)、式(9)两式可得：

则液体黏滞阻力的力矩M_阻为：

设$A=\frac{2 \mathsf{π} R^3 H_0^4}{3 \Delta r \cdot H^3}$，则式(10)变为：

将式(11)代入式(7)中，得：

对上式移项求解, 得:

式中：A和k是常数，这是一个标准的阻尼简谐振动方程，可以用特征方程的方法求解。特征方程为：

根据判别式$\Delta=\left(\frac{A \eta}{I}\right)^2-4 \frac{k}{I}$，本实验的Δ＜0，因此为欠阻尼情况，复数根$r=\beta \pm \mathrm{i} \boldsymbol{\omega}_d$，式(12)的解为：

式中：$\beta=-\frac{A \eta}{2 I}, \left|\boldsymbol{\omega}_d\right|=\sqrt{\frac{k}{I}-\left(\frac{A \eta}{2 I}\right)^2}$，C₁和C₂是由初始条件确定的常数。

在无阻尼情况下，系统的周期T_n由式(3)可知：

在欠阻尼情况下，系统的周期T_d由频率ω_d决定：

比较两个周期可得：

进行数学变形可得：

当圆锥系统分别在两种不同的黏滞系数液体中进行实验时，根据式(15)可知，通过不同液体中圆锥系统的欠阻尼运动周期，可以推导得到不同液体的黏滞系数之比为：

本实验的实验装置图如图 3所示，包括立杆、扭簧、光电门、圆锥、水缸、升降台、底座以及计时计数仪。此外，实验中还用到以下测量装置：游标卡尺、电子天平、直尺和水银温度计。基本参数如表 1所示。

本实验使用计时计数仪对圆锥运动的周期进行测量。拨动圆锥上的L型挡杆，使其周期地通过光电门，进而捕捉并记录圆锥的扭转周期。在扭簧与圆锥的连接设计上，采用SolidWorks建模软件在圆锥顶部设计凹型卡槽，使用3D打印技术进行实物制造，如图 4a所示。扭簧的下部圆环稳固地卡入圆锥的凹槽中，实现圆锥与扭簧的稳定连接，确保圆锥能够进行水平扭转。此外，固定和悬挂组件的设计如图 4b所示，采用轻型卡扣管夹将长杆与扭簧的上部固定，扭簧和圆锥被垂直悬挂在实验装置上，以确保实验过程中圆锥的水平扭转特性。最后，升降台的设计如图 4c所示，用于精确控制圆锥浸入液体的深度，其具体规格详见表 1。

为验证式(13)所描述的理论模型的正确性，本部分通过实验方法对圆锥体阻尼周期运动进行系统研究，并对实验过程中可能存在的误差来源进行评估。实验系统由圆锥体、L型挡杆及液体介质构成，通过将圆锥体部分浸入液体并轻微拨动L型挡杆，观察并记录其阻尼周期运动特征。实验数据的采集与处理均围绕式(13)的验证展开。采用追踪器(Tracker)视频分析软件对圆锥体运动过程进行记录，具体分析流程如下：首先建立以圆锥体几何中心为原点，L型挡杆中心连线及其法线分别为x轴和y轴的坐标系；随后选取圆锥体上特征点作为追踪目标，利用追踪器(Tracker)的自动追踪功能获取其运动轨迹；最后基于采集数据执行函数拟合，将实验结果与式(13)的理论预测值进行对比分析。实验拟合结果如图 5所示，很显然，特征点的运动轨迹拟合曲线呈现典型的阻尼周期运动特征，拟合结果如下：

可得拟合角速度的模为| ω_拟合|=1.25 rad/s。根据式(14)计算得到理论角速度的模为| ω_理论|= $\sqrt{\frac{k}{I}-\left(\frac{A \eta}{2 I}\right)^2} \approx 1.281\;2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$，两者之间存在约2.5%的相对误差。排除软件误差、实验装置偏差以及人为操作等干扰因素，实验结果验证了圆锥在液体中进行水平扭转后呈现出阻尼周期运动的特性。这表明设计的实验平台的理论模型具有较高的可靠性和精确性。

测量步骤如下：①组装实验装置：连接计时计数仪，调整光电门的位置，连接并固定圆锥与扭簧；②启动计时计数仪；③扭转圆锥：用双手轻轻拨动L型挡杆，使圆锥轻微转动，角度约为5°；④数据记录：待圆锥转动稳定后，启动计时计数仪，预设周期数为15，记录圆锥在空气中的扭转周期T_n；⑤重复实验：重复步骤③和④，共进行3次，记录圆锥在空气中的扭转周期T_n，并计算平均周期$\overline{T_n}$；⑥向水缸中加水，并调节升降台，使圆锥浸没液体至合适位置，重复步骤③和④，计录圆锥在水中的扭转周期T_d1，并计算平均扭转周期$\overline{T_{d_1}}$；⑦清空水缸，加入酒精，并调节升降台，使得圆锥浸没液体至合适位置，重复步骤③和④，计录圆锥在酒精中的扭转周期T_d2，并计算平均扭转周期$\overline{T_{d_2}}$。实验测量数据如表 2所示。

实验测量结果显示，水的温度为T_水=24 ℃，酒精的温度为T_酒精=21 ℃。根据表 2测量数据，并根据式(16)，计算得出水与酒精黏滞系数的比值为：

查阅文献[23]，水在24 ℃时的理论黏滞系数η_水-理论=0.916×10^-3 Pa·s，酒精在21 ℃时的理论黏滞系数η_{酒精-理论}=1.17×10^-3 Pa·s。则酒精黏滞系数的实验值为：

对比酒精黏滞系数的理论值和实验值，计算得出其相对误差为0.4%。在多次不同条件下重复进行实验，结果显示实验相对误差控制在1% 以内。经过对测量值进行不确定度分析，得到的相对不确定度为4.8%。因此，酒精的黏滞系数最终结果可以表示为：

本研究设计并开发了一种基于圆锥系统的新型实验平台，通过创新性的圆锥系统实现对液体黏滞系数的精确测量，并借助追踪器(Tracker)软件验证理论模型的正确性。实验结果表明，该平台能够有效测量无阻尼和有阻尼的简谐运动周期，通过比较法获得高精度的黏滞系数数据，实验相对误差控制在1% 以内，并通过不确定度分析为测量结果提供合理的误差范围评估。与传统液体黏滞系数测量方法相比，该装置显著简化了操作流程并提高了测量精度，为液体黏滞系数的测量提供了一种简便且高效的实验方案。

本实验方法在水和酒精等低黏度液体中表现良好，但在极高黏度液体(如蜂蜜)或极低黏度液体(如某些有机溶剂)中的应用仍存在一定的局限性，需进一步验证和优化。对于极高黏度液体，圆锥系统的运动会受到显著阻尼，导致测量精度下降；而对于极低黏度液体，由于液体黏滞性极低，对测量周期的设备精度要求显著提高。此外，该方法对液体的均匀性和温度敏感性有一定要求，非均匀液体或温度变化较大的液体可能影响测量结果的准确性。在实验过程中，一些细微影响因素，如人为扭转导致的圆锥轻微摆动以及浸入高度难以保持一致等问题，也可能对测量结果产生一定影响。

未来，通过进一步优化实验装置的设计和操作流程，有望进一步减小误差并提高测量精度，例如引入自动化控制技术以减少人为误差，并改进浸入高度的调节机制。此外，拓展该方法在复杂流体体系中的应用也将成为下一步研究的重点。