考虑实系统

其中：X_k(x，y)，Y_k(x，y)是关于x，y的k次齐次多项式；λ∈Λ为系统的系数集.通过变换z=x+iy，w=x-iy，T=it，i=$\sqrt{-1}$，可化为如下复系统

其中z，w，T为复变量，并且

称系统(2)与(3)互为伴随系统.

引理1^[11]  对系统(3)可逐项确定形式级数M(z，w)=$\sum\limits_{k=2}^{\infty} C_{a \beta} z^{\alpha} w^{\beta}$，且

其中C₀₀=1，μ_m是系统(3)在原点的第m个奇点量.对任意的α，β，当α≠β时，

当α < 0，β < 0或α=β>0，置C_αβ=0.对任意的正整数m，有

定义1  μ_m称为系统(3)在原点处的第m个奇点量，若μ₁=μ₂=…=μ_m-1=0且μ_m≠0，称原点为m阶细奇点.

由文献[12]可知，系统(2)的首个非零的焦点量v_2m+1(2π)与其伴随复系统的首个非奇点量μ_m满足v_2m+1(2π)=iπμ_m，可将系统(2)的焦点量的计算转化为系统(3)的奇点量的计算.

系统(2)通过变换x=r·cosθ，y=r·sinθ，可得到

其中k=2，3，4，…，

记r(θ，h)为满足初始条件r|_θ=0=h的系统(4)的解，对于足够小的实常数h，有如下的周期函数

文献[7]已证明P_2k+1=0(k=0，1，2，3…).因此，在原点充分小的邻域内，系统(2)过点(h，0)的闭轨的最小正周期P(h，λ)的展开式如下

其中P_2k称为系统(2)原点的第k个周期常数.如果对某个λ^*∈Λ，P₂=P₄=P₆=…=P_2k=0，P_2k+2≠0，称系统(2)的原点为k阶细中心，当k=0时称之为粗中心.若对于任意的正整数m，有P_2m=0，称原点为系统(2)的等时中心.

引理2^[13]  对于系统(3)可找到如下的形式级数

满足c_k+1，k=d_k+1，k=0，k=1，2，3….使得

其中c_k，j，d_k，j，p_j，q_j满足如下方程

记τ_k=p_k+q_k为系统(3)原点的复周期常数.系统(2)原点的第一个非零周期常数P_2k与它的共轭复系统原点的第一个非零的复周期常数τ_k有如下的关系P_2k=-πτ_k.

引理3^[14]  假定复系统的周期常数τ_i依赖于k个独立的参数a₁，a₂，a₃，…，a_k，即τ_i=τ_i(λ)=τ_i(a₁，a₂，a₃，…，a_k).如果λ^*=(a_1c，a_2c，…，a_kc)满足

则在λ=λ^*处给予适当的扰动，系统(3)在原点处有k个局部临界周期分支.

通过变换z=x+iy，w=x-iy，T=it，i=$\sqrt{-1}$，系统(1)可化为如下的伴随复系统

由引理1，利用数学软件Mathematica进行计算化简，可得系统(7)前6个奇点量μ_m的表达式.

定理1  系统(7)原点的前6个奇点量为

情形1  若b₁=0，则μ₃=μ₄=μ₅=μ₆=0.

情形2  若b₁≠0，b₂=0，则μ₃=μ₄=μ₅=μ₆=0.

情形3  若b₁b₂≠0，b₆=$\frac{1}{3}$(-15+6b₂²+7b₄)，则

其中：

在计算μ_k时，已置μ₁=μ₂=…=μ_k-1=0，k=2，3，4，5，6.

定理2  系统(7)原点处的前6个奇点量为零当且仅当下面的条件之一成立

(ⅰ) b₅=0，b₁=0；

(ⅱ) b₅=0，b₂=0.

证  充分性显然成立，下证必要性.由定理1知，当μ₁=0时，b₅=-2b₁b₂.在此条件下有μ₂=-$\frac{\mathrm{i} b_{1} b_{2}}{24}$(-15+6b₂²+7b₄-3b₆).若定理1中的情形1成立，则条件(ⅰ)成立.同理，由情形2可得条件(ⅱ).针对情形3，通过数学软件Mathematica计算〈F₀，F₁，F₂，F₃〉关于独立参数b₁，b₂，b₄的Gröbner基，可得GroebnerBasis[{F₀，F₁，F₂，F₃}，{b₁，b₂，b₄}]={1}.即F₀=0，F₁=0，F₂=0，F₃=0没有公共根，所以这种情形下前6个奇点量不可能全为零.

定理3  对于系统(7)，系统原点所有奇点量为零的充要条件为系统前6个奇点量同时为零，即定理2的两个条件为系统(7)原点的中心条件，相应的也是系统(1)原点的中心条件.

证  当b₅=0，b₁=0时，系统(1)可化简为

可知系统关于x轴对称，即证原点是中心.

当b₅=0，b₂=0时，同理可知系统关于y轴对称，即证原点是中心.

由定理1情形3和定理3可知，系统(7)在原点处的细奇点的阶数最高是6.原点成为6阶细奇点(即μ₁=μ₂=μ₃=μ₄=μ₅=0，μ₆≠0)当且仅当以下条件成立

由于当F₀=0，F₁=0，F₂=0时，其精确符号解过于复杂，用数学软件解此方程，可得到16组实数解(精确到小数点后50位)，其中一组解为

故可分别求出b₅，b₆

通过计算

因此有：

定理4  对于系统(1)，当系数满足式(8)时，原点为6阶细焦点，通过对系统系数进行扰动，系统在原点处可分支出6个小振幅极限环.

据引理2中的递推算法，分别计算式(ⅰ)、式(ⅱ)条件下伴随复系统(7)的周期常数，系统(1)原点成为3阶细中心(即τ₁=τ₂=τ₃=0，τ₄≠0)当且仅当以下条件之一成立

当b₅=0，b₁=0时，可得系统(7)的前4个周期常数如下

其中：

在计算τ_k过程中，令τ₁=τ₂=…=τ_k-1=0(k=2，3，4).计算〈M₀，M₁，M₂〉关于变量b₂，b₆的Gröbner基，可得

即M₀=0，M₁=0，M₂=0没有公共根，系统(1)原点是3阶细中心.通过数值计算可得到M₀=0，M₁=0的4组实数解(精确到小数点后50位)，其中一组解为

代入式(11)可求出b₄，

将b₂，b₄，b₆的解代入M₂的表达式可得

并且

同理，当b₅=0，b₂=0时，类似也可证明系统(7)有3个局部临界周期分支.因此有：

定理5  对于系统(1)，当系数满足式(11)或式(12)时，原点成为3阶细中心，在原点处可分支出3个局部临界周期分支.

本文讨论了一类三次广义Riccati系统在原点处的极限环分支与局部临界周期分支问题.通过符号计算与数值计算，得到了该系统原点成为6阶细焦点和3阶细中心的充分必要条件，并运用行列式方法证明了该系统在6阶细焦点条件下从原点处可分支出6个极限环以及该系统在3阶细中心条件下从原点处可分支出3个局部临界周期分支.据我们所知，这是三次广义Riccati系统关于极限环数和局部临界周期分支数的最好结果.