系统(1)存在4个平衡点P₀=(0, 0, 0), P₁=($ \widetilde x $ ₁, 0, 0), P₂=(x₁, x₂, 0)和P₃=(x₁^*, x₂^*, E^*), 其中P₀和P₁是显然的, 下面主要考虑P₂和P₃存在的充分性条件.

定理 1  若r₂ < x₁成立, 则平衡点P₂=(x₁, x₂, 0)存在.

证  平衡点P₂=(x₁, x₂, 0)满足下面的方程组：

那么可得

其中

易知方程(4)两根和积都为负, 所以必有一正根x₁, 从而$ {\overline x _2} = \frac{{{{\overline x }_1} - {r_2}}}{{{\gamma _2}}} $, 当定理1中的条件满足时, x₁>0, x₂>0, 平衡点P₂=(x₁, x₂, 0)存在.

定理 2  假设

成立, 则正平衡点P₃=(x₁^*, x₂^*, E^*)存在, 其中$ A = \frac{{(a{r_2} + q)[(p - \tau )q - bc] + abc{r_2}}}{{\alpha \beta [(p - \tau )q - bc] + abc\beta }} $.

证  正平衡点满足方程组

所以可解得

显然当定理2中的条件满足时, x₁^*>0, x₂^*>0, E^*>0, 则P₃=(x₁^*, x₂^*, E^*)是系统(1)的唯一正平衡点.

定理 3

(H₁) P₀=(0, 0, 0)不稳定；

(H₂)当r₂>β$ \widetilde x $ ₁时, P₁=($ \widetilde x $₁, 0, 0)局部渐近稳定；

(H₃)当r₂ < βx₁和τ>p-$ \frac{{bc}}{q} $时, P₂=(x₁, x₂, 0)局部渐近稳定；

(H₄)当$ q < \frac{{{\gamma _2}x_2^*{{(a{E^*} + bx_2^*)}^2}}}{{{E^*}bx_2^*}} $和(5)式成立时, P₃=(x₁^*, x₂^*, E^*)局部渐近稳定.

证  系统(1)的雅克比矩阵为

(Ⅰ) 平衡点P₀=(0, 0, 0)的特征方程为(λ-r₁)(λ+r₂+qE)(λ+α₀c)=0, 因此P₀=(0, 0, 0)不稳定.

(Ⅱ) 平衡点P₁=($ \widetilde x $ ₁, 0, 0)的特征方程为$ \left( {\lambda + \frac{{{r_1}{{\widetilde x}_1}}}{L} + 2{\gamma _1}\widetilde x_1^2} \right)(\lambda + {r_2} - \beta {\widetilde x_1})(\lambda + {\alpha _0}c) = 0 $, 当r₂>β$ \widetilde x $ ₁时, 特征值都为负, 因此P₁=($ \widetilde x $ ₁, 0, 0)局部渐近稳定.

(Ⅲ) 平衡点P₂=(x₁, x₂, 0)的特征方程为$ \left( {\lambda - {\alpha _0}\left[ {\frac{{(p - \tau )q}}{b} - c} \right]} \right) $ (λ²+ω₁λ+ω₂)=0, 其中

当r₂ < x₁和τ>p-$ \frac{{bc}}{q} $成立时, 其特征值均为负, 因此P₂=(x₁, x₂, 0)是局部稳定性的.

(Ⅳ) 系统(1)在平衡点P₃=(x₁^*, x₂^*, E^*)处的雅克比矩阵为

其特征方程为

其中

当系统(1)的正平衡点存在且$ q < \frac{{{\gamma _2}x_2^*{{(a{E^*} + bx_2^*)}^2}}}{{{E^*}bx_2^*}} $即A^* < 0时, 有ω₁>0, ω₃>0,

即ω₁ω₂>ω₃, 由Routh-Hurwitz判别法可知方程(8)的根均有负实部, 所以在条件A^* < 0和(5)式(即正平衡点存在条件)成立下, 正平衡点是局部渐近稳定的.

定理 4  若正平衡点P₃=(x₁^*, x₂^*, E^*)存在, 条件$ aE + b{x_2} > \frac{{qb{E^*}}}{{{\gamma _2}(a{E^*} + bx_2^*)}} $成立时, 则平衡点P₃是全局渐近稳定的.

证  构造如下的Lyapunov函数：

则

令$ {\eta _1} = \frac{\alpha }{\beta }, {\eta _2} = \frac{{\alpha bx_2^*}}{{\beta {\alpha _0}(p - \tau )a{E^*}}}, $则

当$ aE + b{x_2} > \frac{{qb{E^*}}}{{{\gamma _2}(a{E^*} + bx_2^*)}} $时,$ \frac{{{\rm{d}}V}}{{{\rm{d}}t}} < 0 $, 因此, 正平衡点P₃=(x₁^*, x₂^*, E^*)是全局渐近稳定的.

人类对资源需求的不断增加与自然资源的自然供给的相对有限性之间的矛盾日显突出.最优税收政策就是通过调节税收实现资源的人类需求与自然供给之间的平衡, 在保证经济稳步发展的同时, 又能促进资源节约和环境保护, 这个目标值可表示为：

其中δ>0表示贴现率, 利用Pontryagin最大值原理可以找到最优税收水平τ, 使得J在满足方程(3)和控制约束条件τ_min < τ < τ_max时取得最大值.此控制问题顶峰哈密顿函数为

其中λ_i(t), (i=1, 2, 3)是伴随变量.由于H的最大值在区间τ_min < τ < τ_max上取得, 所以

可得

根据Pontryagin最大值原理有

由λ₃(t)=0和(12)式可得

把λ₂的值代入(10)式并在正平衡点P₃=(x₁^*, x₂^*, E^*)处整理可得：

其中

解方程(14)可得

当t→0, K₁=0时, 影子价格λ₁e^δt是有界的.

同理, 由(15)式和(11)式可得

其中

由(13)和(16)式有

把正平衡点P₃=(x₁^*, x₂^*, E^*)代入(18)式得到一个关于τ的方程, 令τ_δ为方程的解, 然后把τ=τ_δ代入x₁^*, x₂^*, E^*得最优解(x_1δ, x_2δ, E_δ)和最优税收$ {\tau _\delta } = p - \frac{{c(a{E_\delta } + b{x_{2\delta }})}}{{q{x_{2\delta }}}} $.

定理2和定理3表明税收、捕获和环境污染对种群的稳定性有着重要的影响, 只有保证$ \tau < p - \frac{{cb}}{q}, L > A, {\gamma _1} < \frac{{\left( {L - A} \right){r_1}}}{{L{A^2}}}, q < \frac{{{\gamma _2}x_2^*{{(a{E^*} + bx_2^*)}^2}}}{{{E^*}bx_2^*}} $, 才能使系统正平衡点局部渐近稳定, 这说明人类在改造世界的同时, 也要注意保护环境, 防止过度开采, 为此我们也给出了最优的税收政策, 为我们开发资源, 保证资源的可持续发展以及保护环境提供了重要的理论依据.

由文章第4部分的结论可知, 通过最优税收的控制, 既可以保证市场的正常秩序, 保证经济的增长, 又可以确保自然资源的可持续利用.