第一个面临的问题就是要向学生介绍余子式和代数余子式的概念，这一点可以通过二阶和三阶行列式来讲授. 实际的教学过程中我们先对n阶行列式引入余子式和代数余子式的概念，然后用二阶和三阶行列式来举例. 假定我们已经在黑板或投影仪上向学生给出了余子式和代数余子式的概念，下面两个简单的例子既能加强对新概念的理解，又能得到一些新的发现，能很好地激发学生的好奇心.

例1  设${D_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| $，则

例2   设$ {D_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|$，则

通过上面两个例子，我们可以带领学生观察和总结出一个事实：

二、三阶行列式能展开成第一行的元素与第一行元素的代数余子式乘积之和.

此时，下面几个提问是重要的：

(1) 既然二阶和三阶行列式能展开成第一行的元素与第一行元素的代数余子式乘积之和，那么一般的n阶行列式能展开成第一行的元素与第一行元素的代数余子式乘积之和吗？

(2) 如果n阶行列式能展开成第一行的元素与第一行元素的代数余子式乘积之和，那么n阶行列式能展开成第i行的元素与第i行元素的代数余子式乘积之和吗？这很有可能是对的，因为由行列式的性质，我们可以把第i行调到第一行.

(3) 如果n阶行列式能展开成第i行的元素与第i行元素的代数余子式乘积之和，那么n阶行列式能展开成第i列的元素与第i列元素的代数余子式乘积之和吗？这也很有可能是对的，因为由行列式的转置性质，我们可以把第i行变成第i列.

通过以上几个提问和猜测，层层递进，让学生充分意识到定理1很可能是对的，然后我们再带领学生一步步探索.

定理1的证明涉及到如下一个基本且重要的观察，如果没有注意到这一点，理解就要出问题，后面解决问题就比较困难.

事实1  设$ D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{j1}}}&{{\rm{ }}{a_{j2}}}& \cdots &{{a_{jn}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right|, \widetilde D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{b_{j1}}}&{{b_{j2}}}& \cdots &{{b_{jn}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right|$，即$\widetilde D $是把D的第j行换成了b_j1，b_j2，…，b_jn所得到的行列式，且M_jk和${\widetilde M_{jk}} $分别是D和的第j行元素的余子式，A_jk和_jk分别是D和的第j行元素的代数余子式，则M_jk=${\widetilde M_{jk}} $，从而A_jk=$ {\widetilde A_{jk}}$，其中k=1，2，…，n.

如果教学过程中，我们像上面这样明确地写出这个事实，那么这个事实的证明几乎是显然的，因为根据余子式的定义，D和$ \widetilde D$的第j行元素总要被删除.

许多教科书和授课者正是省略了这一基本的事实^[2-4]，导致很多学生没有真正掌握定理1的证明过程. 下面我们利用以上的事实阐述定理1证明的难点.

证明定理1一般会用到以下的引理：

引理1   设$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &{{a_{1j}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{i1}}}& \cdots &{{a_{ij}}}& \cdots &{{a_{in}}}\\ \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{n1}}}& \cdots &{{a_{nj}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right|, D' = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &{{a_{1j}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots \\ 0& \cdots &{{a_{ij}}}& \cdots &0\\ \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{n1}}}& \cdots &{{a_{nj}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right| $，则D'_j=a_ijA_ij，其中A_ij是D的第i行j列处元素a_ij的代数余子式.

引理1利用行列式换行换列的性质就可以证明，但是如果用板书讲解的话费时费力，用PPT演示这个引理的证明则比较省时省力(我们省略其证明过程)，但是我们仍然需要强调：D'_j的第i行j列处元素a_ij的代数余子式A'_ij=A_ij.

利用引理1，我们就可以来证明定理1.

定理1的证明   由行列式的性质显然有

由引理1就可以得到如下事实的证明：

事实2   设$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{j1}}}&{{\rm{ }}{a_{j2}}}& \cdots &{{a_{jn}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right|, \widetilde D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{b_{j1}}}&{{b_{j2}}}& \cdots &{{b_{jn}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right| $，即$ \widetilde D$是把D的第j行换成了b_j1，b_j2，…，b_jn所得到的行列式，A_jk是D的第j行元素的代数余子式，则$\widetilde D $=b_j1A_j1+b_j2A_j2+…+b_jnA_jn，其中k=1，2，…，n.

证   由定理1知$\widetilde D $=${b_{j1}}{\widetilde A_{j1}} + {b_{i2}}{\widetilde A_{j2}} + \cdots + {b_{jn}}{\widetilde A_{jn}} = {b_{j1}}{A_{j1}} + {b_{j2}}{A_{j2}} + \cdots + {b_{jn}}{A_{jn}} $.

定理2的证明

构造

即是把$ \widetilde D$的第j行换成了D的第i行所得到的行列式. 由行列式的性质可知=0.

由上述事实可知$ \widetilde D$=a_i1A_j1+a_i2A_j2+…+a_inA_jn. 故a_i1A_j1+a_i2A_j2+…+a_inA_jn=0.

在实际教学过程中，我们发现大多数学生普遍感觉自己能做出以下的例3，但计算太繁琐. 然而通过我们提供的授课思路和讲解，几乎所有的学生都能准确理解和进一步运用课堂的知识求解例3，并且比一些参考书上的解答更能令人满意.

例3   设

求：

(a) 3A₁₁+4A₁₂+5A₁₃+6A₁₄；

(b) A₁₁+A₁₂+A₁₃+A₁₄；

(c) M₁₁+M₁₂+M₁₃+M₁₄．

设置例3的基本思想就是巩固前面的概念和运用定理1.

(a) 的设置目的是运用定理1，将将3A₁₁+4A₁₂+5A₁₃+6A₁₄看成行列式$\widetilde D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&5&6\\ 2&3&4&5\\ 3&4&5&6\\ 4&5&6&8 \end{array}} \right| $按第一行展开的结果，即$ 3{A_{11}} + 4{A_{12}} + 5{A_{13}} + 6{A_{14}} = 3{\widetilde A_{11}} + 4{\widetilde A_{12}} + 5{\widetilde A_{13}} + 6{\widetilde A_{14}} = \widetilde D = 0$；

(b) 的设置目的是运用定理1，将A₁₁+A₁₂+A₁₃+A₁₄看成行列式$ \widetilde D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 2&3&4&5\\ 3&4&5&6\\ 4&5&6&8 \end{array}} \right|$按第一行展开的结果，即${A_{11}} + {A_{12}} + {A_{13}} + {A_{14}} = {\widetilde A_{11}} + {\widetilde A_{12}} + {\widetilde A_{13}} + {\widetilde A_{14}} = \widetilde D $；

(c) 的设置目的是复习余子式和代数余子式的联系，并进一步利用定理1.

实际教学过程中，我们总结出下面几点：

(1) 在讲授余子式和代数余子式的时候，通过举例得到二、三阶行列式可以写成第一行元素与对应元素代数余子式乘积之和，然后进行提问，这会让学生自己初步接触到定理1要表达的意思，也会促使学生思考这一定理的正确性；

(2) 强调事实1而淡化处理引理1，原因是相比较而言，事实1对后面的理解至关重要，而引理1的证明又要用到事实1，引理1的证明可以通过PPT展示一下即可；

(3) 强调事实2，并用来证明定理2；

(4) 有回顾性和针对性地讲解例题，会让学生更加深刻地体会定理证明的思想，从而学会灵活运用.

此外，我们强调，即使是数学专业类课程高等代数，上面所讲的方法也完全适用. 事实上，无论是线性代数还是高等代数，我们在实际的教学过程中都采用了上述的教学方法，取得了良好的教学效果.