-
考虑如下方程：
其中Ω⊂
$\mathbb{R}^3$ 是光滑的有界区域，a，ε，λ>0，fλ=λf++f-∈L∞(Ω)，f±=±max{± f，0}$\not \equiv$ 0，1 < q < 2，0≤s < 1，2*(s)=2(3-s)是临界Sobolev-Hardy指数，$\|u\|^{2}=\left(\int_{\mathit{\Omega}}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}}$ .长期以来，学者们研究了如下Kirchhoff方程：
其中Ω是
${{\mathbb{R}}^{N}}$ (N≥3)上的有界光滑区域，a，b，λ>0. 这类方程解的存在性与多重性一直受到很多学者的关注[1-8]. 特别地，文献[9]研究了如下一类带变系数项的超线性Kirchhoff方程：其中Ω是
${{\mathbb{R}}^{N}}$ (N≥3)上的有界光滑区域，a是常数，m，f：${{\mathbb{R}}_{+}}\to {{\mathbb{R}}_{+}}$ 是连续函数. 当ε充分小时，通过变分法和迭代法，文献[9]得到了方程(3)至少有一个正解. 对于m=1，文献[10]考虑了临界项和凹凸非线性项问题，通过变分法和集中紧性原理得到了方程(3)至少有两个正解.据我们所知，涉及临界Sobolev-Hardy指数的情形没有结果，为此我们研究该情形，并给出相关结果：
定理1 设a>0，0≤s < 1，1 < q < 2，fλ∈L∞(Ω)，则当ε>0充分小时，存在λ* >0使得对∀λ∈(0，λ*)，方程(1)至少存在两个正解.
全文HTML
-
记
$|u{{|}_{p}}={{\left({{\int_{\mathit{\Omega }}{\left| u \right|}}^{p}}~\text{d}x \right)}^{\frac{1}{p}}}$ 和${\left| u \right|_\infty } = \mathop {\sup }\limits_{x \in \mathit{\Omega }} {\mkern 1mu} \left\{ u \right\}$ . Br和∂Br分别是以0为圆心，以r为半径的闭球和球面. un±(x)=max{±un，0}. C1，C2，C3，…是正常数.是Sobolev最佳嵌入常数. 如果对∀φ∈H01(Ω)，
则称u是方程(1)的解. 众所周知，方程(1)对应的能量泛函为
其临界点是方程(1)的解.
引理1 若定理1的条件成立，则存在常数R，ρ，Λ0>0，使得对∀λ∈(0，Λ0)，
$\inf\limits _{u \in \overline{B_{R}}} I_{\lambda}(u) < 0$ ，$\left.I_{\lambda}(u)\right|_{u \in \partial B_{R}}>\rho$ .证 由Sobolev嵌入定理知，存在C>0，使得
$\int_{\mathit{\Omega}} u^{q} \mathrm{d} x \leqslant C \int_{\mathit{\Omega}}|\nabla u|^{2} \mathrm{d} x(1 \leqslant q \leqslant 6)$ .令
$g(t)=\frac{a}{2} t^{2-q}-\frac{1}{2^{*}(s)} S^{-\frac{2^{*}(s)}{2}} t^{2^{*}(s)-q}$ ，则存在正常数R，使得$g(R)={\max\limits _{t>0}}g(t)>0$ ，记${{\mathit{\Lambda }}_{0}}=\frac{qg(R)}{2C{{\left| {{f}_{+}} \right|}_{\infty }}}$ ，对∀λ∈(0，Λ0)，存在常数ρ>0，有$\left.I_{\lambda}(u)\right|_{u \in \partial B_{R}}>\rho$ .根据文献[11]中引理3.1，存在φ0∈C0∞(Ω)，使得
$\int_{\mathit{\Omega}} f_{\lambda}(x)\left(\varphi_{0}^{+}\right)^{q} \mathrm{d} x>0$ . 由1 < q < 2知，当t充分小时，Iλ(tφ0) < 0. 因此，$d=\inf \limits_{u \in B_{R}} I_{\lambda}(u) < 0$ .定理2 若定理1的条件成立，则∀λ∈(0，Λ0)，方程(1)存在正解u1，满足I(u1) < 0.
证 由引理1知，对任意的λ∈(0，Λ0)，
$d=\inf\limits _{u \in B_{R}} I_{\lambda}(u) < 0 < \inf \limits_{\|u\|=R} I_{\lambda}(u)$ . 由于BR是闭凸集，在BR上运用Ekeland变分原理，获得Iλ的一个局部极小解u1. 对∀ψ∈H01(Ω)，让t>0足够小，使得u0±tψ∈BR，有$\lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{I_{\lambda}\left(u_{1} \pm t \psi\right)-I_{\lambda}\left(u_{1}\right)}{t} \geqslant 0$ . 故在(6)式中取测试函数ψ=-u1-，通过计算得‖u1-‖=0，这意味着u1≥0. 因此，u1是方程(1)的非负非平凡解. 根据强极大值原理可得u1>0. 因此，u1是方程(1)的正解且Iλ(u1)=d < 0.
-
引理2 若定理1的条件成立，则当λ∈(0，Λ0)时，对于给定的R0>0，存在v0∈H01(Ω)且‖v0‖>R0，使得Iλ(v0) < 0.
证 对∀t>0，
由0≤s < 1知，2*(s)>4. 因此，当t+∞时，Iλ(tu)-∞. 故存在v0∈H01(Ω)满足‖v0‖>R0，使得Iλ(v0) < 0.
引理3 若定理1的条件成立，则当
$c < c^{*}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{*}(s)}\right)(a S)^{\frac{3-s}{2-s}}-D \lambda^{\frac{2}{2-q}}$ 时，Iλ满足(PS)c条件，其中$D=\left(\frac{4-q}{4 q}\left|f_{+}\right|_{\infty} C\right)^{\frac{2}{2-q}}\left(\frac{2 q}{a}\right)^{\frac{2}{2-q}}$ ，C为引理1中提到的常数.证 令{un}⊂H01(Ω)是Iλ的一个(PS)c序列，当n→∞时，有
根据Sobolev嵌入定理和(7)式，有
由1 < q < 2 < 2*(s)知，{un}⊂H01(Ω)有界. 因此，存在其子列(仍记为{un})和u0∈H01(Ω)，使得在H01(Ω)上，有un⊂u0；在L2*(s)(Ω，|x|-sdx)上，有un
$\rightharpoonup$ u0；在Lp(Ω)(1≤p < 2*(s))上，有un→u0；在Ω上几乎处处有un(x)→u0(x). 利用集中紧性引理和Sobolev-Hardy不等式，有其中J是一个至多可数的指标集，δxj是在xj上的Dirac测度. 我们可以找到序列{xj}⊂Ω， μj，νj，使得
接下来，证明J=Ø. 假设J≠Ø，对ε>0，设ψε，j(x)∈C0∞满足条件0≤ψε，j≤1，
$\left|\nabla \psi_{\varepsilon, j}(x)\right| \leqslant \frac{4}{\varepsilon}$ ，当$x \in B\left(x_{j}, \frac{\varepsilon}{2}\right)$ 时，ψε，j=1，当x∈B(xj，ε)时，ψε，j=0. 根据(4)式，可知由{un}有界知，
$\lim \limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{{\mathit{\Omega}}} f_{\lambda}\left(u_{n}^{+}\right)^{q-1} \psi_{\varepsilon, j}(x) u_{n} \mathrm{d} x=0$ . 由于{ψε，jun}在H01(Ω)上有界，则(Iλ′ (un)，ψε，jun)→0. 因此结合(8)式，可推得：(ⅰ)
$\mu_{j} \geqslant\left(a S^{\frac{2^{*}(s)}{2}}\right)^{\frac{2}{2^{*}(s)-2}}=a^{\frac{3}{2-s}} S^{\frac{3-s}{2-s}}$ ，或者(ⅱ) μj=νj=0. 下面证明(ⅰ)不成立. 由(7)式和Young不等式，可推出此与c < c*是矛盾的. 故μj=νj=0，即J=Ø，这意味着当n→∞时，
$\int_{\mathit{\Omega}} \frac{\left|u_{n}\right|^{2^{*}(s)}}{|x|^{s}} \mathrm{~d} x \rightarrow \int_{\mathit{\Omega}} \frac{\left|u_{0}\right|^{2^{*}(s)}}{|x|^{s}} \mathrm{~d} x$ . 可推出{un}在H01(Ω)上强收敛于u0.定义
其中C3(s)为与s有关的常数，Uε(x)是方程
$-\Delta U_{\varepsilon}=U_{\varepsilon}^{5}\left(x \in \mathbb{R}^{3}\right)$ 的解，并且满足$\int_{\mathbb{R}^{3}}\left|U_{\varepsilon}\right|^{6} \mathrm{~d} x=\int_{\mathbb{R}^{3}}\left|\nabla U_{\varepsilon}\right|^{2} \mathrm{~d} x={{S}^{\frac{3}{2}}}$ . 令η∈C0∞(Ω)满足条件0≤η≤1，|▽η|≤C，且当|x| < R0时，η(x)=1；|x|>2R0时，η(x)=0. 设uε(x)=η(x)Uε(x)，有引理4 若定理1的条件成立，则存在λ1>0，当λ∈(0，λ1)时，
$\sup\limits _{t \geqslant 0} I_{\lambda}\left(u_{1}+t u_{\varepsilon}\right) <c^{*}$ .证 对p，q>0，有
从定理2的证明，不难看出u1是有界的. 因此，存在M>0，使得‖u1‖ < M. 注意到Iλ(u1) < 0，由(12)式、Hölder不等式和Young不等式知
利用文献[10]的方法知，存在tε>0和与ε，λ无关的常数t1，t2，满足0 < t1≤tε≤t2 < ∞，使得
$\sup \limits_{t \geqslant 0} J\left(t u_{\varepsilon}\right)$ =J(tεuε). 根据(10)式，我们得到注意到
$\int_{\mathit{\Omega }}{u_{\varepsilon }^{q}}\text{d}x\le {{C}_{8}}{{\varepsilon }^{\frac{q}{2}}}$ ，由(11)和(13)式知记
$\varepsilon=\lambda^{\frac{4}{q(2-q)}}$ , 当$0 < \lambda < \lambda_{1}=\left(\frac{C_{12}}{C_{9}+D}\right)^{q(2-s)}$ 时，有即
因此
$\sup \limits_{t \geqslant 0} I_{\lambda}\left(u_{1}+t u_{\varepsilon}\right) < c^{*}$ .定理3 若定理1的条件成立，则存在λ*>0，使得∀λ∈(0，λ*)，方程(1)有一个正解u2，并且满足Iλ(u2)>0.
证 令λ*=min{Λ0，λ1}，当0 < λ < λ*时，由引理1和2知，Iλ(u)具有山路几何结构. 令
由引理3和引理4知c < c*，且Iλ(u)满足(PS)c条件. 由山路引理[12-13]获得方程(1)的非平凡解u2满足Iλ(u2)>0. 类似定理2的论述，不难得到u2是方程(1)的一个正解.
定理1的证明由定理2和定理3知，方程(1)有两个正解u1和u2，满足Iλ(u1) < 0 < Iλ(u2).
下载: