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对于最优化领域中的多目标最优化问题的研究近些年来是一个焦点，且取得了很大成果，许多学者将凸函数进行了推广，得到了广义凸函数类. 文献[1-3]先提出了(C，α，ρ，d)-凸函数，接着定义了广义(C，α，ρ，d)型广义凸函数；文献[4]给出了B－(C，α)－I型广义凸函数，并给出了B－(C，α)－I型一系列广义凸函数的定义和最优性条件；文献[5]定义了(V，η)－I型对称不变凸函数.
本文在文献[4-5]的基础上引入了一类带有支撑函数的广义(C，α)－I型凸函数，利用Clarke广义梯度并在新广义凸性的情况下，对一类多目标规划问题进行了讨论和研究，并得出了若干个最优性结果.
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考虑下面多目标优化问题
其中：X为
${{\mathbb{R}}^{n}}$ 上的非空开集；令K={1，2，…，k}，M={1，2，…，m}，fi(x)：X→$\mathbb{R}$ ，i∈K，gj(x)：X→$\mathbb{R}$ ，j∈M，fi(x)和gj(x)皆为x0∈X处局部Lipschitz函数；Ci，Dj是${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中对于每一个i∈K和j∈M的紧凸集.对于∀x，y∈
${{\mathbb{R}}^{n}}$ ，x$\leqq $ y$\Leftrightarrow $ xi$\leqq $ yi；x≤y$\Leftrightarrow $ xi$\leqq $ yi，但x≠y；x < y$\Leftrightarrow $ xi<yi，i=1，…，n.令X0={x∈X|gj(x)+s(x|Dj)
$\leqq $ 0，j∈M}为MVP的可行解集.令J(x0)={j|gj(x0)+s(x0|Dj)=0}，其中s(x|Ci)和s(x|Dj)表示在X上的支撑函数，其定义如下：
本文采用如下符号：
定义1 [6] 设X是
${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中的开集，函数f：X→${{\mathbb{R}}^{n}}$ 在x∈X上是局部Lipschitz的，若存在，则称此极限为函数f在x处沿方向d的Clarke广义方向导数，记作
并记f在x处沿方向d的Clarke广义次梯度为
定义2 [7] (弱有效解)设x*∈X0，如果不存在x∈X0，使得
则称x*是MVP的弱有效解.
定义3 [4] (凸泛函线性定义)设X是
${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中的开集，若对任意固定的(x，y)∈${{\mathbb{R}}^{n}}$ ×${{\mathbb{R}}^{n}}$ ，∀λ∈(0，1)，∀z1，z2∈${{\mathbb{R}}^{n}}$ ，有则称函数C：X×X×
${{\mathbb{R}}^{n}}$ →$\mathbb{R}$ 在${{\mathbb{R}}^{n}}$ 上是关于第3个变量的凸泛函.性质1 [4] C：X×X×
${{\mathbb{R}}^{n}}$ →$\mathbb{R}$ 在${{\mathbb{R}}^{n}}$ 上是关于第3个变量的凸泛函，则对∀λi∈(0，1)，$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}}=1$ ，∀zi∈${{\mathbb{R}}^{n}}$ ，有$C\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}; \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} z_{i}\right) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} C\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}; \boldsymbol{z}_{i}\right)$ .注1 特殊地，若λ=0，则C(x，y；λz)=0，z∈
${{\mathbb{R}}^{n}}$ .定义4 如果存在ai，bj，α，使得
成立，则称(fi(x)+xTωi，gj(x)+xTυj)在x∈X处是广义(C，α)－I型凸函数.
注2 上述定义中，如果α(x，u)=1，C[x，u；y]=yη(x，u)，ξi换成fis(u)，ζj换成gjs(u)就能够得到文献[5]中相应的不变凸函数.
定义5 如果存在ai，bj，α，使得
成立，则称(fi(x)+xTωi，gj(x)+xTυj)在u∈X处是广义严格拟(C，α)－I型凸函数.
定义6 如果存在ai，bj，α，使得
称(fi(x)+xTωi，gj(x)+xTυj)在u∈X处是广义严格伪拟(C，α)－I型凸函数.
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定理1 假设x0∈X，如果满足下列条件
(Ⅰ) (fi(x)+xTωi，gj(x)+xTυj)在x0∈X处是广义(C，α)－I型凸函数.
(Ⅱ) 存在λ=(λ1，λ2，…，λk)≥0，μ=(μ1，μ2，…μm)
$\geqq $ 0，使得a)
$0=\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i}\left(\xi_{i}+\boldsymbol{\omega}_{i}\right)+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}\left(\zeta_{j}+\boldsymbol{v}_{i}\right), \exists \xi_{i} \in \partial f_{i}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right), \exists \zeta_{j} \in \partial g_{j}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)$ ，b)
$\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}\left(g_{j}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{v}_{j}\right)=0$ ，(Ⅲ)
$a_{i}\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)>0, b_{j}\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)>0$ ，(Ⅳ)
$\left(\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i} \rho_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j} \tau_{j}\right)\left\|\theta\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\|^{\sigma} \geqq 0$ .则x0是MVP的弱有效解.
证 假设x0不是MVP的弱有效解，则存在x ∈X0使得
由(7)式得
则有
由条件(Ⅲ)可知
由条件(Ⅰ)可知
由(9)式知
也即
当j∈J(x0)时
也即
由条件(Ⅰ)知
当j∉J(x0)时，由b)知μj=0，根据(11)式得
等价于
将(10)式和(12)式相加并结合条件(Ⅳ)得
令
${\mathit{\Gamma}}=\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}$ ，由定义3以及性质1得由a)得
这与(13)式矛盾.
故x0是MVP的弱有效解.
定理2 假设x0∈X，如果满足下列条件
(Ⅰ) (fi(x)+xTωi，gj(x)+xTυj)在x0∈X处是广义严格拟(C，α)－I型凸函数.
(Ⅱ) 存在λ=(λ1，λ2，…，λk)≥0，μ=(μ1，μ2，…μm)
$\geqq $ 0，使得下列条件成立：a)
$0=\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i}\left(\xi_{i}+\boldsymbol{\omega}_{i}\right)+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}\left(\zeta_{j}+\boldsymbol{v}_{i}\right), \exists \xi_{i} \in \partial f_{i}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right), \exists \zeta_{j} \in \partial g_{j}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)$ ，b)
$\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}\left(g_{j}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{v}_{j}\right)=0$ ，(Ⅲ)
$a_{i}\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)>0, b_{j}\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)>0$ ，(Ⅳ)
$\left(\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i} \rho_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j} \tau_{j}\right)\left\|\theta\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\| \sigma \geqq 0$ .则x0是MVP的弱有效解.
证 假设x0不是MVP的弱有效解，则存在x ∈X0使得
由(14)式得
则有
由条件(Ⅲ)可知
由(16)式和条件(Ⅰ)可得
也即
当j∈J(x0)时，gj(x0)+x0Tυj=gj(x0)+s(x0|Dj)=0，即
由条件(Ⅰ)知
当j∉J(x0)时，由b)知μj=0，根据(18)式得
等价于
将(17)式和(19)式相加并结合(Ⅳ)得
令
${\mathit{\Gamma}}=\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}$ ，由定义3以及性质1得由a)得
这与(20)式矛盾，则x0是MVP的弱有效解.
定理3 假设x0∈X，如果满足下列条件
(Ⅰ) (fi(x)+xTωi，gj(x)+xTυj)在x0∈X处是广义严格伪拟(C，α)－I型凸函数.
(Ⅱ) 存在λ=(λ1，λ2，…，λk)≥0，μ=(μ1，μ2，…μm)
$\geqq $ 0，使得下列条件成立：a)
$0=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}}\left({{\xi }_{i}}+{{\mathrm{ }\!\!\omega\!\!\text{ }}_{i}} \right)+\sum\limits_{j=1}^{m}{{{\mu }_{j}}}\left({{\zeta }_{j}}+{{\mathrm{v}}_{i}} \right), \exists {{\xi }_{i}}\in \partial {{f}_{i}}\left({{x}_{0}} \right), \exists {{\zeta }_{j}}\in \partial {{g}_{j}}\left({{\mathrm{x}}_{0}} \right)$ ，b)
$\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}\left(g_{j}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{v}_{j}\right)=0$ ，(Ⅲ)
$a_{i}\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)>0, b_{j}\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)>0$ ，(Ⅳ)
$\left(\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i} \rho_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j} \tau_{j}\right)\left\|\theta\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\|^{\sigma} \geqq 0$ .则x0是MVP的弱有效解.
证 假设x0不是MVP的弱有效解，则存在x ∈X0使得，
由(21)式得fi(x0)+x0Tωi=fi(x0)+s(x0|Ci)>fi(x)+s(x|Ci)=fi(x)+xTωi，则fi(x)+xTωi－(fi(x0)+x0Tωi) < 0.
由条件(Ⅲ)可知
由(23)式和条件(Ⅰ)可得C[x，x0；α(x，x0)(ξi+ωi)]+ρi‖θ(x，x0)‖σ < 0，即
当j∈J(x0)时，gj(x0)+x0Tυj=gj(x0)+s(x0|Dj)=0，即－(gj(x0)+x0Tυj)=0，j∈J(x0)，－bj(x，x0)[gj(x0)+x0Tυj]=0，j∈J(x0).
由条件(Ⅰ)知
当j∉J(x0)时，由b)知μj=0，根据(25)式得，
等价于
将(24)式和(26)式相加并结合条件(Ⅳ)得
令
${\mathit{\Gamma}}=\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}$ ，由定义3以及性质1得由a)得
这与(27)式矛盾，则x0是MVP的弱有效解.
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