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文献[1-2]提出了广义自回归条件异方差(GARCH)模型，该模型主要用于刻画资产收益率的波动规律. 文献[3-4]将GARCH同多种传统模型进行实证比较，结果表明GARCH能更为准确地反映我国某些市场的波动情况. 后续学者根据市场特征和需求的不同对GARCH进行了推广研究，并演化出了一系列GARCH族模型[5].
目前，用于估计GARCH模型参数的方法多种多样. 文献[6]将类极大似然(QML)法用于GARCH和ARMA-GARCH模型的参数估计；文献[7]将QML法扩展到一系列多维GARCH类模型，且实证表明其能很好地刻画汇率序列的波动. 虽然文献[8]指出QML估计对数据分布具有一定的容错性，但其对异常值很敏感，少量异常值就会对QML估计产生巨大的影响，也即QML估计并不稳健，其次，QML法还要求序列4阶矩存在，而金融收益率时序列分布往往呈现出“尖蜂厚尾”的特点，难以满足该条件. 由此，文献[9]提出了较为稳健的偏差绝对值最小(LAD)法. 文献[10]提出了基于传统GARCH模型的分位数回归估计(QR)法，并证明了该估计的一致性. 虽然QR估计一定程度上减少了数据尖峰厚尾所造成的估计误差，但风险水平的选取将直接影响到QR估计的结果. 因此，文献[11]将复合分位数回归(CQR)应用于估计高频数据的GARCH参数，数值模拟结果显示CQR估计较QR估计更为精确有效. CQR通过综合考虑多个风险水平下的条件QR使得估计更为稳健有效，但应对不同的市场损失情况应当赋予不同程度的损失，故文献[12]考虑加权复合分位数回归(WCQR)法，其通过极小化WCQR参数估计的渐进方差得到权重值，对于不同分位数回归给予不同的权重，以此得到更加稳健有效的估计.
近年来，受文献[13]提出的两步QR思想的启发，文献[14]提出了GARCH模型的混合QR估计，该估计主要分为两步：首先计算QML估计下的条件标准差拟合序列，接着将此条件标准差拟合序列的倒数作为QR损失的权重得到估计，数值分析表明混合QR估计可以削弱极端波动的影响，得到更为精确有效的估计；文献[15]还将上述混合QR估计用于探究GARCH-X误差模型，数值模拟显示出该混合估计在大样本下表现最优. 本文进一步将混合估计扩展到CQR，结合WCQR思想，由此提出二次加权分位数回归(BWCQR)技术. 数值模拟及实证分析表明利用BWCQR估计GARCH模型参数在一定准则下相较已有估计技术更加合理有效.
全文HTML
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记yt表示某资产第t天的收益率，则标准GARCH(p，q)模型为
其中：扰动序列{ηt，t≥1}为独立同分布的随机变量序列；vt为yt的条件标准差，vt=Var(yt|
${\mathscr{F}}$ t)；${\mathscr{F}}$ t表示由{ys；s≤t}生成的σ-域. 记参数α=(α1，…，αq)T，β=(β1，…，βp)T，γ=(αT，βT)T且γ≥0，对应的真值分别为α*=(α1*，…，αq*)T，β*=(β1*，…，βp*)T，γ*= (α*T，β*T)T.对应GARCH(p，q)模型的条件τk分位数为
其中ξk*为扰动序列{ηt，t≥1}的第τk个真实分位数，也即满足P(ηt ≤ξk*)=τk.
GARCH模型的CQR估计[11]为
其中：分位数水平τk=
$\frac{k}{1+K}$ ，k=1，…，K；条件分位数qt(θk)=vt(γ)ξk由式(1)可得；τk水平下损失函数定义为ρτk(u)=u(τk-I)(u < 0)，其中I为示性函数；参数空间Θμ的定义见假设1. 记参数ξ=(ξ1，…，ξK)T，θk=(ξk，γT)T，θ=(ξT，γT)T，对应的真值分别为ξ*=(ξ1*，…，ξK*)T，θk*=(ξk*，γ*T)T，θ*=(ξ*T，γ*T)T.注意到，当p，q≥0时，本文初值取为y0=…=y1-q=y1，
$\hat v$ 02=…=$\hat v$ 1-p2=y12，取定初值后的vt2(γ)对应为$\hat v$ t2(γ)=$1+\sum_{i=1}^{q} \alpha_{i} y_{t-i}^{2}+\sum_{j=1}^{p} \beta_{j} \hat{v}_{t-j}^{2}(\boldsymbol{\gamma})$ .将文献[12]提出的WCQR扩展至GARCH模型
其中：
$\hat q$ t(θk)为给定初值下的条件分位数$\hat q$ t(θk)=$\hat v$ t(γ)ξk；ωk表示τk分位数水平下损失函数对应的权重，对任意1≤k≤K有ωk> 0，且$\sum_{k=1}^{K}ω_k=1$ . 关于权重ωk的选取详见注2.将文献[14]提出的混合QR加权思想扩展到CQR，由此衍生出估计
其中
$\hat v$ t为给定初值下CQR估计的条件标准差，$\hat v$ t=$\hat v$ t($\tilde γ$ n)，$\tilde γ$ n由式(2)计算可得.将式(3)和式(4)相整合，即可得到本文提出的BWCQR估计
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在给出BWCQR估计的渐进性质之前，须引入一些记号和模型假设：记向量a的欧几里得范数为‖a‖；C表示在不同的计算过程中不尽相同的任一正数；定义矩阵A=(aij)的欧几里得范数为‖A‖ =
$\sum_{i，j}$ |aij|；V表示一广义可积随机变量；{St}表示一平方可积非负平稳遍历过程且满足St∈${\mathscr{F}}$ t-1；变量ρ满足0 < ρ < 1；ρτk(u)关于u的导数为ψτk(u)=τk-I(u <0).假设1 模型的真值θ*为Θμ的内点，其中参数空间Θμ定义为
其中实数μ∈(0，1)且使得θ*∈Θμ.
假设2 令多项式A(x)=
$\sum_{i=1}^{q}$ αi* xi，B(x)=1-$\sum_{j=1}^{p}$ βj*xj，对p，q>0有αq*＞0，βp*≠0. 多项式A(x)和B(x)没有公因子.假设3 (i) 扰动ηt满足E(ηt2) < ∞；(ii) 记ηt的累积分布函数为F，对应的密度函数为f. f可积且对1≤k≤K满足f(F-1(τk))>0，且有supx|f(x)|≤C1，supx|f′(x)|≤C2，其中实数C1，C2>0，f在ξk*的邻域内连续.
假设4 矩阵
$E\left(\frac{\partial q_{t}\left(\boldsymbol{\theta}_{k}^{*}\right)}{\partial \boldsymbol{\theta}} \frac{\partial q_{t}\left(\boldsymbol{\theta}_{k}^{*}\right)}{\partial \boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}}}\right)$ 为正定矩阵.定理1 在假设1-3满足的条件下，有n→∞时
$\hat{\boldsymbol{\theta}}_{n} \stackrel{p}{\longrightarrow} \boldsymbol{\theta}^{*}$ .为了简便，记vt=vt(γ*)，
$\tilde v$ t=vt($\tilde {{\mathit{\pmb{γ}}}}_n$ )，$\hat v$ t=$\hat v$ t($\tilde {\mathit{\pmb{γ}}}_n$ )，其中$\tilde {\mathit{\pmb{γ}}}_n$ 表示复合分位数的参数估计(CQRE)；qt(θk)=ξkvt(γ)和$\hat q$ t(θk)=ξk$\hat v$ t(γ)分别表示未给定初值和给定初值τk水平下的条件分位数. 文献[10]的推论A.1-A.7给出了qt(θk)，$\hat q$ t(θk)，vt(γ)和$\hat v$ t(γ)及其导数的相关性质，本文中简记为A.1-A.7.证明 分别定义
其中lk(θ)=ρτk(yt-qt(θk))，
$\hat l$ k(θ)=ρτk(yt-$\hat q$ t(θk))，qt(θk)=ξkvt(γ)，$\hat q$ t(θk)=ξk$\hat v$ t(γ). 为了方便，定义dt(θk)=qt(θk)-qt(θk*)，$\hat d$ t(θk)=$\hat q$ t(θk)-$\hat q$ t(θk*)，ηtk=ηt -ξk*.本文主要证明定理2及推论3，定理1不作详细证明. 关于定理1可参考文献[15]中定理1的证明，分证四点即可：
1)
$\sup\limits _{\boldsymbol{\theta} \in \Theta_{\mu}}\left|\hat{S}_{n}(\boldsymbol{\theta})-S_{n}(\boldsymbol{\theta})\right|=o_{p}(1)$ ；2)
$\sum_{k=1}^{K} \omega_{k} E\left(\sup\limits _{\boldsymbol{\theta} \in \Theta_{\mu}} v_{t}^{-1} l_{k}(\boldsymbol{\theta})\right)<\infty$ ；3)
$\sum_{k=1}^{K} \omega_{k} E\left(v_{t}^{-1} l_{k}(\boldsymbol{\theta})\right)$ 在θ*处有唯一最小值；4) 对任一θ#∈Θμ，当
$\ell$ →0时有$\sum_{k=1}^{K} \omega_{k} E\left(\sup\limits _{\boldsymbol{\theta} \in B_{\ell}(\boldsymbol{\theta} ^{\#})} v_{t}^{-1}\left[l_{k}(\boldsymbol{\theta})-l_{k}\left(\boldsymbol{\theta}^{\#}\right)\right]\right)$ →0，其中B$\ell$ (θ#)={ θ#∈Θμ：|θ#-θ| <$\ell$ }表示以θ#为中心$\ell$ 为半径的邻域.定理2 在假设1-4满足的条件下，有
$\sqrt{n}\left(\hat{\boldsymbol{\theta}}_{n}-\boldsymbol{\theta}^{*}\right) \stackrel{d}{\longrightarrow} N\left(\bf{0}, \boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{C D}^{-1}\right)$ ，其中矩阵C，D分别为：注1 当K=1，ω= 1 且vt=1时，定理2退化为QR估计的渐进性质，详见文献[10]定理2；当K=1且ω= 1 时，定理2退化为混合QR的渐进性质，详见文献[15]定理2；当ω= 1 且vt=1时，定理2退化为CQR的渐进性质，详见文献[11]定理2.
引理1 在假设1-3满足的条件下，定义δ=
$\sqrt n$ (θ-θ*)，有其中Gn(θ)=Sn(θ)-Sn(θ*)，
$\tilde G$ n(θ)=$\tilde S$ n(θ)-$\tilde S$ n(θ*)，$\hat G$ n(θ)=$\hat S$ n(θ)-$\hat S$ n(θ*).证明
可分别证
$\tilde R$ 1n(θ)=op(|δ|)与$\tilde R$ 2n(θ)=op(|δ|2).1) 分别对dt(θk)及
$\hat d$ t(θk)进行泰勒展开注意到，对∀τ∈(0，1)有ρτ(x)≤|x|. 由ρτ(x)的Lipschitz连续性及式(6)，有
其中θ′为介于θ*与
$\boldsymbol{\theta}^{*}+\frac{\boldsymbol{\delta}}{\sqrt{n}}$ 之间的p+q+K维向量，θ′k为θ′的p+q+1维子向量(ξ′k，γ′T)T. 由A.4及|vt2|≥1不难得到因此，由式(8)及A.2有
2) 定义
由文献[16]有等式
定义ηtk=ηt-ξk*，对∀c>0，ψτ(x)=ψτ(cx)且由式(9)可以得到等式
将式(10)和式(11)代入
$\tilde R$ 2n(θ)有$\tilde R$ 2n(θ)$\triangleq \widetilde{\Pi}_{1}$ (δ)+$\widetilde{\Pi}_{2}$ (δ)+$\widetilde{\Pi}_{3}$ (δ)+$\widetilde{\Pi}_{4}$ (δ)，其中将式(6)代入
$\widetilde{\Pi}_{1}$ (δ)，由A.4及|ψτ(x)| < 1有据ψτ(x)的定义对其应用Fubini定理及泰勒展开有
其中ξk1介于ξk*和ξk*
$\tilde v$ tvt-1之间. 故由假设3、重期望、A.2与A.7及式(6)可得注意到|
$\tilde B$ tk|≤2，由此同对$\widetilde{\Pi}_{1}$ (δ)的讨论类似，可以得到$\widetilde{\Pi}_{3}$ (δ)=op(|δ|).最后考虑
$\widetilde{\Pi}_{4}$ (δ). 由Fubini定理及泰勒展开有其中ξk2=ξk*
$\hat v$ t(γ*)vt-1+vt-1$\hat d$ t(θk)s2和ξk3=ξk*+vt-1dt(θk)s3，0 < s2，s3 < s≤1. 故由假设3、式(6)及A.2与A.4可得引理2 在假设1-3满足的条件下，有
证明 引理2的证明同引理1的证明类似
据文献[17]定理3.1和式(9)易证K1n(δ)=op(|δ|)与K2n(δ)=op(|δ|2).
引理3 在假设1-3满足的条件下，有
其中
证明 由式(9)有
对R1n(δ)泰勒展开：R1n(δ)=-δTCn-δTK3n(θ′)δ，其中
其中θ′为介于θ*与θ*+
$\frac{\boldsymbol{\delta}}{\sqrt{n}}$ 之间的p+q+K维向量，θ′k为θ′的p+q+1维子向量(ξ′k，γ′T)T. 由文献[10]A.2及St为二阶可积广义平稳遍历过程可得Var(K3n(θ′))→0，因此K3n(θ′)=op(1)，也即R1n(δ)=-δTCn+op(|δ |2).定义Btk=Btk1+Btk2，其中
对R2n(δ)泰勒展开有R2n(δ)
$\triangleq$ K4n(δ)+K5n(δ)+K6n(δ)+K7n(δ)，其中对E(Btk1|
${\mathscr{F}}$ t-1)应用Fubini定理及泰勒展开，则K4n(δ)=$\frac{1}{2}$ δTDnδ+δT${{{{\mathbf{\Pi}}}}}$ 1n(δ)δ，其中0 < s′ < s≤1，由中值定理、文献[10]A.2及假设3，对∀ζ>0
当ζ→0时，式(14)趋于0. 也即对∀ε，λ>0，存在ζ0=ζ0(ε)>0使得对∀n≥1有P(
$ \begin{array}{c} \sup\limits_{\mid \boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\theta}^{*} \mid \leqslant \zeta_{0}} \end{array}$ ‖Π1n(δ)‖>λ) <$\frac {ε}{2}$ . 当n足够大时，θ-θ*=op(1)，因此P(|θ-θ*|>ζ0) <$\frac {ε}{2}$ . 当n足够大时故K4n(δ)=
$\frac {1}{2}$ δTDnδ+op(|δ|2).对K5n(δ)进行放缩后
应用文献[15]引理3可得K5n(δ)=op(|δ|+|δ |2). 由文献[10]A.2及|Btk2|≤2、|Btk|≤2可分别得到K6n(δ)=op(|δ|)，K7n(δ)=op(|δ|2)，由此R2n(δ)=
$\frac {1}{2}$ δTDnδ+op(|δ|+|δ |2).定理2证明 结合引理1-3和定理1，同文献[15]中定理2的证明类似即可证明该定理.
推论1 在假设1-4满足的条件下，有
$\sqrt{n}\left(\hat{\boldsymbol{\gamma}}_{n}-\boldsymbol{\gamma}^{*}\right) \stackrel{d}{\longrightarrow} N(\bf{0}, \boldsymbol{U})$ ，其中U为D-1CD-1的右下角(p+q)×(p+q)维矩阵：其中Σ=
$\operatorname{Var}\left(\frac{1}{v_{t}} \frac{\partial v_{t}}{\partial {\boldsymbol{\gamma}}}\right)$ .注2 令
据推论1可知Σ与权重ω无关，因此在
$\sum_{k-1}^{K} \omega_{k}=1$ 及ω> 0 的条件下，通过极小化σ2(ω)即可得到权重向量ω的数值解.推论1证明 矩阵C可分为4块分块矩阵
其中：C11为K×K维矩阵，其(i，j)元素为ωiωj(τi∧τj-τiτj)；C12为K×(p+q)维矩阵，其第i行向量为
$\sum_{j=1}^{K}$ ωiωj(τi∧τj-τiτj)ξj*$E\left(\frac{1}{v_{t}} \frac{\partial v_{t}}{\partial \boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}}\right)$ 且C21=C12T；C22为(p+q)× (p+q)维矩阵，C22=$\sum_{i=1}^{K}\sum_{j=1}^{K}$ ωiωj(τi∧τj-τiτj)ξi*ξj*$E\left(\frac{1}{v_{t}^{2}} \frac{\partial v_{t}}{\partial \boldsymbol{\gamma}} \frac{\partial v_{t}}{\partial \boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}}\right)$ .同样可以将矩阵D分为4块分块矩阵
其中：D11为K× K维对角矩阵，其第i个元素为ωif(ξi*)；D12为K×(p+q)维矩阵，其第i行向量为ωif(ξi*)ξi*
$E\left(\frac{1}{v_{t}} \frac{\partial v_{t}}{\partial \boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}}\right)$ 且D21=D12T；D22为(p+q)×(p+q)维矩阵D22=$\sum\limits_{k=1}^{K} \omega_{k} f\left(\xi_{k}^{*}\right) \xi_{k}^{* 2} E\left(\frac{1}{v_{t}^{2}} \frac{\partial v_{t}}{\partial \boldsymbol{\gamma}} \frac{\partial v_{t}}{\partial \boldsymbol{\gamma}^{T}}\right)$ .注意到，在假设4及权重向量ω> 0 的条件下矩阵D，C均为严格正的可逆矩阵，矩阵D-1 CD-1的右下块(p+q)× (p+q)维矩阵U为
其中
经计算可得推论1成立.
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将本文提出的BWCQR分为如下6个步骤：
(i) 运用式(2)计算出CQR估计
$\widetilde{\boldsymbol{\theta}}_{n}=\left(\widetilde{\boldsymbol{\xi}}_{n}^{\mathrm{T}}, \widetilde{\boldsymbol{\gamma}}_{n}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}$ ；(ii) 据步骤(i)可计算出条件标准差序列
$\hat v$ t=$\hat v$ t($\tilde γ$ n)，进而计算出扰动序列$\hat \eta_{t}=\frac{y_{t}}{\hat {v}_{t}\left(\tilde \gamma_{n}\right)}$ ；(iii) 对步骤(ii)中的
$\hat \eta$ t采用核光滑估计可以得到其密度函数f(·)的估计；(iv) 计算步骤(ii)中的
$\hat \eta$ t的τk经验分位数$\tilde ξ$ k*；(v) 据步骤(iii)和(iv)即可确定权重目标函数σ2(ω)，由此可解得ω的非参数数值解
$\tilde {\boldsymbol{ω}}$ ；(vi) 将步骤(ii)中
$\hat v$ t和步骤(v)中$\tilde {\boldsymbol{ω}}$ 代入式(3)、式(4)及式(5)，可得估计$\hat {\boldsymbol{θ}}$ n1，$\hat {\boldsymbol{θ}}$ n2和$\hat {\boldsymbol{θ}}$ n.
1.1. GARCH模型的BWCQR估计
1.2. 假设及定理
1.3. 参数估计步骤
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基于GARCH(1，1)模型
利用蒙特卡洛数值模拟检验本文所提BWCQR方法在有限样本下相较QML，QR和CQR方法的稳健性和有效性. 数值模拟模型参数选取如下：
(i) 分别考虑扰动项序列ηt服从标准正态分布N(0，1)，t(5)分布和t(3)分布；
(ii) 样本容量分别取n=300，500，1 000和1 500进行300次重复抽样；
(iii) 复合分位数回归模型中K值取5，9和19，QR估计的风险水平取0.3，0.5和0.7；
(iv) 本文采用估计量的偏差(Bias)、标准差(SD)和均方误差(MSE)作为估计的评价标准.
为了方便起见，分别将K时的
$\tilde {{\mathit{\pmb{θ}}}}$ n，$\hat {{\mathit{\pmb{θ}}}}$ n1，$\hat {{\mathit{\pmb{θ}}}}$ n2和$\hat {{\mathit{\pmb{θ}}}}$ n的估计方法记为CQRK，WCQRK1，WCQRK2和BWCQRK. 表 1-3给出了3种分布下的数值模拟结果.分析结果得到：
(i) 无论扰动序列的分布如何，对任一估计，随着样本量n的增大，MSE愈小；
(ii) 各类复合分位数估计对K值的敏感程度不强；
(iii) 样本规模n一定时，K越大，MSE越小，也即K取19时各类复合分位数回归估计最优；
(iv) 当扰动项服从正态分布时，QMLE最优；
(v) 当扰动项服从重尾分布时，总体而言，BWCQR估计明显优于WCQR1，略优于WCQR2，且随着K的增加BWCQR估计的竞争力愈强.
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选取上证和沪深300股指作为研究对象，实证区间为2015年1月5日至2021年5月11日，共计1 544个样本数据. 记pt为第t交易日的收盘价，rt为百倍对数收益率：rt=100×(lnpt-lnpt-1).
表 4给出rt序列的描述性统计分析值. 均值大于0，说明股指整体趋势上行，且序列不服从正态分布、不独立同分布. 综上所述，足以表明rt序列具有典型的高峰厚尾特征. Ljung-Box检验Q统计量和ADF检验表明序列具有明显的长记忆性且平稳.
本文选用GARCH(1，1)对该时间序列进行建模分析，采用向前一步滚动窗口预测方法，并将2015年1月5日至2020年1月23日作为初始滚动窗口. 本文对rt分别采用QMLE，MLE-t和BWCQR19进行拟合，对应标准化残差序列的ARCH-LM检验通过率列于表 5. 表 5结果符合数值模拟结论，BWCQR估计明显优于QMLE和MLE-t.
进一步，上证指数全序列和沪深300股指全序列在BWCQR估计下的标准化残差序列的自相关(ACF)图和偏自相关(PACF)图，如图 1，2所示，可见BWCQR估计下股指的标准化残差序列是白噪声序列，这再次验证了BWCQR估计的优良性.
2.1. 蒙特卡洛模拟
2.2. 实证分析
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本文提出了GARCH模型的BWCQR估计并探究其大样本性质. 数值模拟结果显示：当扰动项序列服从正态分布时，QML估计略优于BWCQR估计；当扰动项序列服从厚尾分布时，BWCQR估计明显优于传统估计. 我们将提出的BWCQR拟合分析上证和沪深股指波动系统，结果表明BWCQR估计能更为合理有效地刻画股指时序的波动规律.