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Darcy-Cahn-Hilliard系统是对于多孔介质或Hele-Shaw细胞中的两相不可压缩流体的一个经典的扩散界面模型[1-3]，形如
而在本文中所考虑的Darcy-Cahn-Hilliard系统是
其中：ΩT=Ω×(0，T)；∂ΩT=∂Ω×(0，T)；∂Ω代表Ω的边界，Ω⊂
$\mathbb{R}$ 2是有界区域，具有光滑边界；f(s)代表非线性项；ε，γ>0，本文为了简化，令ε=γ=1. 方程(1)-(4)具有下列初边值条件：其中：向量u(x，t)代表流体速度，标量p(x，t)代表压力项，标量μ(x，t)代表相场函数，φ(x，t)代表化学势. 在方程(1)中令γ=0可得到Darcy方程[4-5]，当方程(3)，(4)中少了u·▽φ时可得到Cahn-Hilliard方程[6-8].
方程(1)-(7)是由Lee，Lowengrub和Goodman所提出的，其模型是Boussinesq-Hele-Shaw-Cahn-Hilliard模型[1]的特例，将方程(1)-(7)称为DCH(Darcy-Cahn-Hilliard)系统.
定义如下能量方程：
其中F(s)=∫f(s)ds. DCH系统是个耗散系统，它满足下列的耗散规律[9]
系统解的长时间动力学行为和正则性一直备受关注. 文献[2]研究了一类非自治Cahn-Hilliard-Darcy系统解的适定性和长期动力学行为，在H2(Ω)中，他们建立了拉回吸引子的存在性，证明了在时间趋于无穷时，任意全局弱解或强解收敛于单个稳态，并得到了其收敛速度. 众所周知，耗散演化方程解的渐近行为可以用它的全局吸引子来恰当地描述. 在许多问题中，初始状态的影响因子在一段时间以后就消失了，因此永久状态是极其重要的.
总的来说，在某种意义上，全局吸引子是相空间中一个较小的子集，它捕获了所涉及的无限维动力学系统的所有重要信息，其中包括所有的稳态、周期轨道和不稳定流形. 文献[10]对Cahn-Hilliard-Brinkman系统在Hs(Ω)(s=1，2，3，4) 中全局吸引子的存在性以及分数维空间全局吸引子的存在性进行了证明. 本文对Darcy-Cahn-Hilliard系统在L2(Ω)，H1(Ω)中全局吸引子的存在性进行研究.
在本文中，取非线性项条件为f(s)=s3-s，所有的Lp范数都用‖·‖p表示，Hs范数用‖·‖Hs表示，用(·，·) 表示L2内积.
本文将得到弱解的一些能量估计以及渐近估计；定义半群S(t)，通过一些渐近的能量估计以及结合半群理论、空间嵌入定理以及紧性引理来证明L2(Ω)，H1(Ω)全局吸引子的存在性.
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通过分部积分将方程组变形，得到方程弱解[11]的形式
该形式方程组也满足方程(5)，(6)，(7)的初边值条件
定理1 假设φ0∈H1(Ω)和J(φ0)≤C0，方程组(10)-(15)存在以下形式的弱解
当任意的t∈(0，T)，方程组(10)-(15)满足以下估计：
证 利用伽辽金近似方法，即用有限维逼近无限维，对φ，p，μ构造出近似解. 我们将使用H1(Ω)的一组有限维的正交基向量{ωi}i=1，…，m，这些基向量所张成的空间我们记为Wm，其中我们找到
代入方程(10)-(12)可得
在方程(16)中令q=ωi，i=1，2，…，m，并同时乘
$\frac{{{p_{i, m}}}}{\gamma }$ ，然后求和；在方程(17)中令v=ωi，i=1，2，…，m，并同时乘μi，m，再求和；在方程(18)中令ψ=ωi，i=1，2，…，m，同时乘$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}{\varphi _{i, m}}$ ，再求和，最后将3个式子合并得到对方程(19)两边同时对时间变量t求积分，得
因此
利用方程(4)，
故φm∈L2(0，T；H3(Ω)).
在方程(3)中内乘∀v∈H1(Ω)，令Φ表示将标准的L2空间映射到H1空间的投射算子，
对于‖φm‖∞，利用Gagliardo-Nirenberg不等式[12]
得‖φm‖∞8≤c. 结合先验估计，可以得到
最后再结合Aubin-Lions引理以及勒贝格控制收敛定理[13]得证.
下面进行一些能量估计.
在方程(10)中取q=p，在方程(11)中取v=μ，在方程(11)中取ψ =-φt，并将3式相加得到：
对任意的T＞0，同时对方程(20)取积分(0，t)，t∈(0， T)，则有：
并利用F(s)≥-c0，(F(φ)，1)≥
$\frac{1}{2}\left\| \varphi \right\|_2^2 - \frac{3}{4}|\mathit{\Omega }|$ ，可得到再利用方程(21)，得到
对方程(4)的空间变量进行求导，得到
利用范数估计以及Ladyzhenskaya不等式
我们得到
因此有
利用嵌入不等式
则有
接下来证明弱解的唯一性.
定理2 假设φ0∈H1(Ω)和J(φ0)≤C0，若函数空间Γ满足额外的光滑性条件：
则在函数空间Γ中，方程组(10)-(15)存在唯一弱解.
证 假设(φ1，p1，μ1)和(φ2，p2，μ2)是方程组(10)-(15)的两组弱解，令φ=φ1-φ2，u=u1-u2，p=p1-p2，μ=μ1-μ2. 我们将两组弱解分别代入方程(10)-(12)，再合并得到
在方程(28) 两边同时乘φ，在方程(29)两边同时乘μ，再对空间变量求积分，将两个方程相加，并利用Ladyzhenskaya不等式以及Agmon不等式，得
在方程(29)中乘Δφ，对空间变量积分，得
在方程(27)中乘u，在方程(28)中乘μ，在方程(29)中乘-φt，分别同时积分并相加
结合
$\mathop {f(s)}\limits^ \cdot \ge - 1$ ，利用拉格朗日中值定理因此方程(31)可变形为
由方程(30)，(31)，(32) 可得
结合定理假设条件以及Gronwall不等式[14]，知
即φ1=φ2.
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在方程(11)中令v=1，得到
$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\int_\mathit{\Omega } {\varphi {\rm{d}}x = 0} $ ，即令〈φ〉 =$\frac{1}{{|\mathit{\Omega }|}}\int_\mathit{\Omega } {\varphi {\rm{d}}x} $ ，${I_0} = \frac{1}{{|\mathit{\Omega |}}}\int_\mathit{\Omega } {\varphi {\rm{d}}x} = \frac{1}{{|\mathit{\Omega }|}}\int_\mathit{\Omega } {{\varphi _0}{\rm{d}}x} $ . 在方程(1)，(3)，(4)中分别乘u，μ，φ，并同时对空间变量求积分，3个方程相加，由分部积分得对于等号右边的项，我们利用庞加莱不等式以及不等式估计有
利用2F(s)≤f(s)s，Young不等式以及方程(33)，(34)得到
通过Gronwall不等式得
最后通过(F(φ)，
$1) \ge \frac{1}{2}\left\| \varphi \right\|_2^2 - \frac{3}{4}|\mathit{\Omega }|$ 可知，存在时间T，当时间t满足t≥T时，有在方程(11)中令v=Δ2φ，则有
利用Young不等式与Ladyzhenskaya's不等式得
以及Agmon不等式
接着
利用(22)，(24)，(25)，(26)式以及Gronwall引理，当t≥T+1，得
为了得到全局吸引子，先介绍引理1. 首先定义半群S(t)，即一簇作用在H1上的非线性算子
并且满足：
引理1[15] 若S(t)有一个有界的吸收集B1，并且这个吸收集B1在H1(Ω)是相对紧的，则S(t)存在全局吸引子Λ.
定理3 假设u0∈H1(Ω)，在L2(Ω)，H1(Ω)中，方程组(10)-(15)存在全局吸引子Λ0，Λ1.
证 令
由方程(35)以及方程(37)知，对S(t)来说，在L2(Ω)中， B0是一个有界的吸收集，在H1(Ω)中B1是一个有界的(H1，H1)吸收集. 再由引理1和紧性嵌入定理知H1
$ \circlearrowleft $ L2，H2$ \circlearrowleft $ H1，得到在L2(Ω)，H1(Ω)中，方程组(10)-(15)分别存在全局吸引子Λ0，Λ1.
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