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三支决策(Three-Way Decision)是由文献[1]提出的一种决策理论，该理论深刻地刻画了决策者对不确定事物的决策行为. 在实际决策过程中，对具有充分把握做出判断的事物采取接受或拒绝决策，对不能立即做出判断的事物，采取延迟决策，即通过分治模型和序贯策略，采取三分而治和化繁为简的方法来分析和解决复杂决策问题[2]，由于三支决策符合人们的决策思维，它一经提出便受到国内外学者的广泛关注. 文献[3]将三支决策与形式概念分析结合，提出了三支形式概念分析，拓展了三支决策理论. 此外，文献[4]将半概念与三支概念分析结合，提出了必然-可能半三支概念，拓展了三支概念分析理论. 文献[5]将三支决策思想引入到概念簇中，提出了三支概念簇的概念，使其能够检索到更加符合需求的对象.
模糊集(Fuzzy Sets)是由文献[6]提出的. 该理论将经典集合进行了扩充、推广[7]，准确地阐述了模糊性的含义. 然而非隶属度同样发挥着重要作用，文献[8]提出并定义了直觉模糊集的概念及其运算，从而能够细腻地刻画客观世界的模糊性本质，进一步拓展了模糊集. 文献[9]基于隶属度与非隶属度的平方和不超过1的假设，提出了毕达哥拉斯模糊集，毕达哥拉斯模糊集相较于直觉模糊集具有更强的表达模糊性的能力并且受到广泛关注，文献[10]在冲突分析中利用毕达哥拉斯模糊数来表达局中人对议题的态度，并进一步应用到群体决策中. 文献[11]对具有多参数的毕达哥拉斯集，提出了新的相似性度量，并将其应用到模式识别.
本文在毕达哥拉斯模糊集的优势关系下，建立了毕达哥拉斯模糊三支决策模型，相较于文献[12]，计算方法简单，实用性强，并且不需要求解条件概率. 根据现实需要，构建了区间毕达哥拉斯模糊三支决策模型. 另外，根据决策者的风险偏好，讨论了乐观型毕达哥拉斯模糊三支决策和悲观型毕达哥拉斯模糊三支决策.
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定义1 [12] 设U={x1，x2，…，xn}是一个有限非空集合，则U上的一个毕达哥拉斯模糊集为
其中uP(x)，vP(x)∈[0, 1]表示U中的元素x属于毕达哥拉斯模糊集P的隶属度和非隶属度，并且满足
$\pi_P(x)=\sqrt{1-u_P^2(x)-v_P^2(x)} $ 表示U中的元素x属于毕达哥拉斯模糊集P的犹豫度，称p(x)=〈uP(x)，vP(x)〉为毕达哥拉斯模糊数.定义2 [13-14] 设U={x1，x2，…，xn}是一个有限非空集合，对于任意的
$ X \subseteq U$ ，X上的一个区间毕达哥拉斯模糊集A被定义为其中
$ \tilde{u}_A(x)=\left[u_A^{-}(x), u_A^{+}(x)\right] \subseteq[0, 1] $ 表示A的隶属度区间，$\tilde{v}_A(x)=\left[v_A^{-}(x), v_A^{+}(x)\right] \subseteq[0, 1] $ 表示A的非隶属度区间，并且满足$\tilde{\pi}_A(x)=\left[\pi_A^{-}(x), \pi_A^{+}(x)\right] \subseteq[0, 1] $ 表示A的犹豫度区间，其中称
$ \left\langle\tilde{u}_A(x), \tilde{v}_A(x)\right\rangle$ 为区间毕达哥拉斯模糊数.定义3 [12] 设p(x)=〈uP(x)，vP(x)〉为毕达哥拉斯模糊数，其得分函数与精确函数分别为
假设
$ p_1(x)=\left\langle u_{P_1}(x), v_{P_1}(x)\right\rangle, p_2(x)=\left\langle u_{P_2}(x), v_{P_2}(x)\right\rangle$ 为两个毕达哥拉斯模糊数，则：(a) 如果Score(p1(x)) <Score(p2(x))，则p1(x) <p2(x)；
(b) 如果Score(p1(x))=Score(p2(x))且Accuracy(p1(x)) < Accuracy(p2(x))，则p1(x) < p2(x).
定义4 [15] 假设四元组S=(U，A，VPF，f)为一个毕达哥拉斯模糊信息系统，对于
$ \forall x_1, x_2 \in U, $ $ \forall a \in A, x_1, x_2$ 在属性a下对应的毕达哥拉斯模糊数分别为称
为毕达哥拉斯模糊信息系统的优势关系，记[x]R1为包含元素x的优势类，则S是一个具有优势关系的毕达哥拉斯模糊信息系统.
定义5 [15] 设U是一个非空集合，R1为定义在非空集合U上的优势关系，记apr=(R1，U)为优势空间，对
$ \forall X \subseteq U$ ，其下近似和上近似被分别定义为下近似和上近似将论域划分为3个部分，即
定义6 [1] 设三元组(U，AT，f)为一个信息系统，其中U为所有对象的有限非空集合，AT是所有属性的有限非空集合，f表示U与AT之间的关系. 状态空间
$\varTheta=\{X, \quad ^{\neg }X\} $ 表示对象x是否属于集合X. aP，aB，aN分别表示对象x确定属于、可能属于、确定不属于X的行动，不同状态下对应的3种不同行动的风险代价函数如表 1所示.当一个对象x属于X时，采取aP，aB，aN所需的代价分为λPP，λBP，λNP. Pr(X|[x])表示对象x所在的等价类属于集合X的条件概率，对于特定的对象x，采取一个决策行动的期望损失为R(ai|[x]) (i=P，B，N)，如(2)式所示：
由Bayes风险决策理论，给出最小决策代价规则：
(P) 如果R(aP|[x])≤R(aB|[x])且R(aP|[x])≤R(aN|[x])成立，那么x∈POS(X)；
(B) 如果R(aB|[x])≤R(aN|[x])且R(aB|[x])≤R(aP|[x])成立，那么x∈BND(X)；
(N) 如果R(aN|[x])≤R(aP|[x])且R(aN|[x])≤R(aB|[x])成立，那么x∈NEG(X).
另外还需考虑两个因素：
$ \operatorname{Pr}(X \mid[x])+\operatorname{Pr}(\urcorner X \mid[x])=1 ; \lambda_{P P} \leqslant \lambda_{B P} \leqslant \lambda_{N P}, \lambda_{N N} \leqslant \lambda_{B N} \leqslant \lambda_{P N}$ . 因此得到简化的最小决策代价规则：(PP) 如果Pr(X|[x])≥α且Pr(X|[x])≥γ成立，那么x∈POS(X)；
(PB) 如果Pr(X|[x])≤α且Pr(X|[x])≥β成立，那么x∈BND(X)；
(PN) 如果Pr(X|[x])≤β且Pr(X|[x])≤γ成立，那么x∈NEG(X).
其中
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对于优势空间，根据定义6，采取aP，aB和aN这3种决策行动的期望损失分别为
在毕达哥拉斯模糊集中，隶属度u与非隶属度v之和等于1是不定的，因此本文参考文献[16]的方法，设置纠偏参数ε(－1≤ε≤1)，使得u2+v2+ε2=1，对于特定对象x的第i个毕达哥拉斯模糊数〈ui(x)，vi(x)〉，采取接受、延迟、拒绝决策的期望损失分别如(4)式所示
(PP′)如果采取接受决策，则有
进一步整理(5)式后得
(PB′) 类似于(PP′)，若采取延迟决策，则经化简后可得
(PN′) 类似于(PP′)，若采取拒绝决策，则经化简后可得
为保证边界域有解空间，令αi(x)>βi(x)，从而有
因此
当ui(x)≥αi(x)时，采取接受决策；当βi(x) <ui(x) <αi(x)时，采取延迟决策；当ui(x)≤βi(x)时，采取拒绝决策. 因此得到决策规则1：
决策规则1 设S=(U，A，VPF，f)为毕达哥拉斯模糊信息系统，对于
$ X \subseteq U$ ，x∈X，(i) 当ui(x)≥αi(x)时，采取接受决策；
(ii) 当βi(x) <ui(x) <αi(x)时，采取延迟决策；
(iii) 当ui(x)≤βi(x)时，采取拒绝决策.
其中
εi为纠偏参数，且满足ui2+vi2+εi2=1.
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当隶属度与非隶属度为区间值时，决策者采取aP，aB和aN这3种决策行动的期望损失分别为
由于
$ \tilde{u}_A(x), \tilde{v}_A(x)$ 为区间值，从而导致3种决策下的期望损失会在一定区间内取值，然而在实际决策中需要用到具体的隶属度与非隶属度，本文借鉴文献[17]的方法来实现区间值向确定值的转化.定义7[17] 对于任一区间[a，b]，风险参数θ∈[0, 1]，有
当θ=0时，函数值为区间左端点；当θ=1时，函数值为区间右端点；当0 < θ < 1时，函数值为区间[a，b] 上的任意实数. 因此3种决策下的区间损失函数就可以转化为实值损失函数，分别为
$f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_P \mid[x]_{R^1}\right)\right), $ $f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_B \mid[x]_{R^1}\right)\right), f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_N \mid[x]_{R^1}\right)\right) $ . 根据Bayes风险决策理论，可得：(PP″) 如果
$ f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_P \mid[x]_{R^1}\right)\right) \leqslant f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_B \mid[x]_{R^1}\right)\right), f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_P \mid[x]_{R^1}\right)\right) \leqslant f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_N \mid[x]_{R^1}\right)\right)$ 成立，那么x∈POS(X)；(PB″) 如果
$ f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_B \mid[x]_{R^1}\right)\right) \leqslant f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_N \mid[x]_{R^1}\right)\right), f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_B \mid[x]_{R^1}\right)\right) \leqslant f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_P \mid[x]_{R^1}\right)\right)$ 成立，那么x∈BND(X)；(PN″) 如果
$f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_N \mid[x]_{R^1}\right)\right) \leqslant f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_P \mid[x]_{R^1}\right)\right), f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_N \mid[x]_{R^1}\right)\right) \leqslant f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_B \mid[x]_{R^1}\right)\right) $ 成立，那么x∈NEG(X).(i) 对于规则(PP″)，
(6) 式化简为
(ii) 类似于(i)，对于规则(PB″)，经化简后得
(iii) 类似于(i)，对于规则(PN″)，经化简后得
为保证边界域有解空间，令α1>β1，则当
$ f_\theta\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \beta^1$ 时，x∈NEG(X)；当$ \beta^1 \leqslant f_\theta\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \alpha^1$ 时，x∈BND(X)；当$ f_\theta\left(\tilde{u}_A(x)\right) \geqslant \alpha^1$ 时，x∈POS(X). 因此可以得到决策规则2：决策规则2 在毕达哥拉斯模糊系统S=(U，A，VPF，f)中，对于任意的x∈U，有：
(i) 当
$f_\theta\left(\tilde{u}_A(x)\right) \geqslant \alpha^1 $ 时，采取接受决策；(ii) 当
$\beta^1 \leqslant f_\theta\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \alpha^1 $ 时，采取延迟决策；(iii) 当
$ f_\theta\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \beta^1$ 时，采取拒绝决策.其中
$\tilde{\varepsilon} $ 为区间纠偏参数，且满足由定义7知，当风险参数θ=0时，决策时要求隶属度最小，将集合元素划分到正域、负域或边界域的期望损失最小；当θ=1时，决策时要求隶属度最大，将集合元素划分到正域、负域或边界域的期望损失最大. 由此，进一步可以得到上述模型的两类重要类型：
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令风险参数θ=0，当x∈POS(X)时，对于(PP″)有
$f_0\left(\tilde{u}_A(x)\right) \geqslant \alpha^1 $ ，进而有当x∈BND(X)时，对于(PB″)有
$\beta^1 \leqslant f_0\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \alpha^1 $ ，进而有当x∈NEG(X)时，对于(PN″)有
$ f_0\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \beta^1$ ，进而有 -
令风险参数θ=1，当x∈POS(X)时，对于(PP″)，有
$f_1\left(\tilde{u}_A(x)\right) \geqslant \alpha^1 $ ，从而有当x∈BND(X)时，对于(PB″)，有
$ \beta^1 \leqslant f_1\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \alpha^1$ ，进一步得当x∈NEG(X)时，对于(PN″)，有
$ f_1\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \beta^1$ ，进而有
3.1. 乐观型区间毕达哥拉斯模糊三支决策
3.2. 悲观型区间毕达哥拉斯模糊三支决策
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例1 U1中含有8个数据对象，如表 2所示.
不同状态下对应的3种不同行动的代价损失函数取值分别为λPP=0.6，λPN=2.2，λBP=1.3，λBN=1.4，λNP=2.2，λNN=0.4. 在毕达哥拉斯模糊三支决策模型中，根据决策规则1，所得决策结果如表 3所示.
例2 U2中含有7个数据对象，如表 4所示.
不同状态下对应的3种不同行动的代价损失函数的取值分别为λPP=0.3，λPN=3.0，λBP=1.1，λBN=1.4，λNP=3.0，λNN=0.6.
乐观型决策者
当风险参数θ=0时，根据乐观型区间毕达哥拉斯模糊三支决策模型的决策规则，相应的决策结果如表 5所示.
悲观型决策者
当风险参数θ=1时，由悲观型区间毕达哥拉斯模糊三支决策模型的决策规则，相应的决策结果如表 6所示.
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本文基于毕达哥拉斯模糊集的优势关系，构建了集合优势类，对论域进行了划分. 根据Bayes最小风险决策理论，构建了毕达哥拉斯模糊三支决策模型，并对阈值进行了讨论. 进一步构建了区间毕达哥拉斯模糊三支决策模型，讨论了该模型的乐观型和悲观型两类特殊情况. 本文是对三支决策理论的有益补充，细腻地刻画了不同风险偏好下的决策问题.
毕达哥拉斯模糊集具有较强的处理不确定信息的能力，用毕达哥拉斯模糊数表示对象与属性之间的关系具有重要意义. 然而在现实决策中，并不能确定对象与属性关系的真假，换言之，在这种形式背景下会出现真、假隶属度，如何确定对象与属性间的真实关系并进行决策将是我们未来所研究的内容.