给定正整数k，设f(x)=f(x₁，x₂，…，x_k)是域K上的一个多项式，若对{1，2，…，k}的任意一个排列ω，有

则称f(x)是一个k元对称多项式. 令Λ^k为所有k元对称多项式构成的向量空间，则

其中Λ_n^k为所有k元n次齐次对称多项式构成的子空间. 对称的概念出现在很多领域中^[1-4]，而对称多项式在组合数学^[5-10]、对称群和一般线性群表示^[11-13]、几何^[14]以及数学物理^[15-17]等领域都有重要的应用. 本文主要研究线性空间Λ^k的基.

首先，给出一些基本概念及记号.

给定正整数n，如果非负整数序列λ=(λ₁，λ₂，…，λ_k)满足λ₁≥λ₂≥…≥λ_k且λ₁+λ₂+…+λ_k=n，则称λ为n的一个分拆，记为λ⊢n，λ_i称为λ的部分，并称l(λ)=#{i：λ_i>0}为λ的长度. 令Par(n)表示n的所有分拆构成的集合，记$ \operatorname{Par}=\bigcup\limits_{n \geqslant 0} \operatorname{Par}(n) $. 假设λ⊢n，且λ有j_i个部分等于i，记λ=〈1^j₁2^j₂…〉，或简记为λ=1^j₁2^j₂…. 由定义知，整数分拆可以看成元素为正整数的有限多重集，对λ=〈1^i₁2^i₂…〉，μ=〈1^j₁2^j₂…〉，令λ∪μ=〈1^i₁+j₁2^i₂+j₂…〉.

给定非负整数序列α=(α₁，α₂，…，α_k)，记x^α=x₁^α₁x₂^α₂… x_k^α_k. 设λ=(λ₁，λ₂，…，λ_k)⊢n，定义单项式对称多项式为

其中α取遍λ的所有不同排列.

对正整数i，定义

及

给定分拆λ=(λ₁，λ₂，…，λ_l)，定义初等对称多项式e_λ=e_λ1 e_λ2 … e_λl ，完全齐次对称多项式h_λ=h_λ1 h_λ2 … h_λl 以及幂和对称多项式p_λ=p_λ1 p_λ2 … p_λl .

命题1 ^[8]   对任意正整数n，

都是Λ_n^k的基.

注   文献[8]的推论7.8.2实际给出的是(1)，(2)，(3)式以及

是Λ_n^k的基. 根据证明提示容易证明(1)，(2)，(3)，(4)式是Λ_n^k的基. 但(5)式也是Λ_n^k的基这一事实的证明则需要用到对称多项式基本定理. 为了文章的完整性，下面给出这一命题的证明.

命题2   对任意正整数n，{p_λ：λ⊢n，λ₁≤k}是Λ_n^k的一组基.

证   由文献[8]的推论7.7.6，

其中对λ=〈1^j₁2^j₂…〉⊢i，有z_λ=1^j₁j₁!2^j₂j₂!…，ε_λ=(-1)^i-l(λ). 由对称多项式基本定理知，{e₁，e₂，…，e_k}是Λ^k的代数独立生成元，所以{p₁，p₂，…，p_k}是Λ^k的生成元. 因此

由命题1，{e_λ：λ⊢n，λ₁≤k}是Λ_n^k的一组基，而{p_λ：λ⊢n，λ₁≤k}与{e_λ：λ⊢n，λ₁≤k}是同基数的，所以{p_λ：λ⊢n，λ₁≤k}是Λ_n^k的一组基.

定义1   给定正整数n，设A是Par(n)的子集，若

线性无关(相关)，则称A是k-线性无关(相关)的. 记

若A是k-线性无关的且|A|=p(n，k)，则称(6)式为Λ_n^k的一组幂和基.

由命题1及命题2知

及

都是Λ_n^k的幂和基. 令

自然地，我们会问是否s(n，k)的任意p(n，k)元子集都是Λ_n^k的幂和基. 答案是否定的，例如：n=4，k=2时，p(4，2)=3，且有

即p_{(1，1，1，1)}(x₁，x₂)，p_(2，1，1)(x₁，x₂)，p_(3，1)(x₁，x₂)线性相关.

一般地，n≥4时，对任意μ⊢(n-4)，在(7)式左右两端同时乘p_μ(x₁，x₂)，得Λ_n²的一组线性关系

因此s(n，2)的任意包含{p_{μ∪(1，1，1，1)}(x₁，x₂)，p_{μ∪(2，1，1)}(x₁，x₂)，p_μ∪(3，1)(x₁，x₂)} 的p(n，2)元子集都是线性相关的. 更一般地，我们有：

命题3   设A是Par(n)的一个p(n，k)元子集，若存在μ∈Par，及A′⊆Par，使得A′是k-线性相关的，且{λ∪μ：λ∈A′}⊆A，则A也是k-线性相关的.

本文主要研究Λ_n^k的幂和基. 一般地，刻画Λ_n^k的幂和基是很困难的事情，本文考虑k=2时的特殊情形，给出一个构造Λ_n²的幂和基的递推方法，主要结果如下：

定理1   设A⊆Par(n)，令

其中λ^*⊢(n+1)且各部分都是偶数. 若{p_λ：λ∈A}是Λ_n²的幂和基，则{p_λ：λ∈A′}是Λ_n+1²的幂和基.

证   对正整数n，有

其中$\lfloor t\rfloor $表示不大于t的最大整数，则$ p(n, 2)=\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1$. 对$0 \leqslant i \leqslant\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor $，有

由命题1，$ \left\{m_{(n-i, i)}\left(x_1, x_2\right): 0 \leqslant i \leqslant\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right\}$是Λ_n²的基.

当n=2r时，p(n，2)=p(n+1，2)=r+1，由A线性无关易知A′也线性无关，即{p_λ：λ∈A′}是Λ_n+1²的幂和基.

当n=2r-1时，|A|=r，将A中分拆按反字典序排列为λ¹，λ²，…，λ^r，则存在s(0≤s≤r)，使得A′中的分拆按反字典序排列为λ¹∪(1)，λ²∪(1)，…，λ^s∪(1)，λ^*，λ^s+1∪(1)，…，λ^r∪(1). 对任意1≤i，j≤r，记c_ij表示p_λi(x₁，x₂)中x₁^n-j+1x₂^j-1的系数，即

以下用反证法证明当n=2r-1时，A′也线性无关. 若不然，则存在常数a₁，a₂，…，a_r，使得

一方面，考虑到

因此我们有

另一方面，设λ^*=〈2^m₂4^m₄…2r^m_2r〉，则我们有

将(9)，(10)式代入(8)式并比较m_(n+1-j，j)(0≤j≤r)的系数得如下r+1个等式：

由前r个等式，有

因此当r为偶数时，$ \sum\limits_{i=1}^r a_i c_{i r}<0$；当r为奇数时，$ \sum\limits_{i=1}^r a_i c_{i r}>0$，这与(11)式矛盾.

根据定理1，从Λ₄²的9组幂和基出发，可以得到Λ₅²的9组幂和基，取λ^*∈{(6)，(4，2)，(2，2，2)}，可以得到Λ₆²的27组幂和基. 一般地，应用定理1我们可以得到Λ_n²的很多组幂和基，但是根据计算机编程，当n较大时得到的幂和基只占Λ_n²的所有幂和基的一小部分，如何刻画Λ_n²甚至更一般的Λ_n^k的幂和基则有待进一步研究. 除此以外，在接下来的研究工作中，我们还将考虑与本研究有关的其他问题，比如：

1) 令c(n，k)表示Λ_n^k的幂和基的个数，研究数列{c(n，k)}的组合性质；

2) 如何刻画Λ_n^k的其他特殊形式的基，如完全齐次基、Schur基.