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相较于整数阶微积分而言，分数阶微积分的优势在于能够更加精确地描述复杂的机械和力学过程. 特别地，分数阶积分不等式有助于确定某些分数阶偏微分方程的解，为分数阶边界解提供上界和下界. 通过引入分数阶积分算子来探索某些扩展和推广凸性，在数学问题解的优化中起着非常重要的作用[1-3].
在本文中，记
$\mathbb{R}$ 是实数域，I⊂$\mathbb{R}$ ，Io是I的内部. 文献[4]给出了凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式.定理 1[4] 设f：I⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是凸函数，对于任意a，b∈I，a < b，则关于Hermite-Hadamard型积分不等式的各种新证明、改进、加细和推广，可参见文献[4-14].
Hermite-Hadamard型积分不等式提供了连续凸函数平均值的估计方法，与之有密切关系的还有Ostrowski型积分不等式. 如果f：I→
$\mathbb{R}$ 是I上的可导函数，且f′∈L[a，b]，|f′(x)|≤M，则下面不等式称为Ostrowski型积分不等式[4]：Riemann-Liouville分数阶积分算子是非整数阶积分算子的第一个公式.
定义 1[6] 设α>0，f∈L1[a，b]，则函数f的α阶左Riemann-Liouville分数阶积分和α阶右Riemann-Liouville分数阶积分分别定义为
其中Γ(α)是Gamma函数，即
$\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t} t^{\alpha-1} \mathrm{~d} t.$ 文献[7]引入了Riemann-Liouville分数阶积分，证明了与(1)式的第二个不等式有关的结论：
引理 1[7] 设f：Io⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，∀a，b∈Io，a < b. 如果f′∈L[a，b]，则下面Riemann-Liouville分数阶积分等式成立：定理 2[7] 设f：Io⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，∀a，b∈Io，a < b. 如果|f′|是[a，b]上的凸函数，则下面Riemann-Liouville分数阶积分不等式成立：关于Riemann-Liouville分数阶积分不等式的最新结果可参见文献[11-12]. 文献[15]引入了Riemann-Liouville分数阶积分，证明了与(1)式的第一个不等式有关的结论：
引理 2[15] 设f是在I上的实值函数，且在Io上可微，a，b∈I且a＜b，f′∈L[a，b]，则下面Riemann-Liouville分数阶积分等式成立：
定理 3[15] 设f：Io⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，∀a，b∈Io，a < b. 如果|f′|是[a，b]上的凸函数，则下面Riemann-Liouville分数阶积分不等式成立：文献[16]提出了Riemann-Liouville分数阶积分的推广，即k-Riemann-Liouville分数阶积分：
定义 2[16] 设α>0，f∈L1[a，b]，函数f的α阶左k-Riemann-Liouville分数阶积分和α阶右k-Riemann-Liouville分数阶积分分别定义为
其中k>0，Γk(α)是k-Gamma函数，即
$\Gamma_k(\alpha)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{t^k}{k}} t^{\alpha-1} \mathrm{~d} t .$ 明显地，当k=1时，k-Riemann-Liouville分数阶积分就是Riemann-Liouville分数阶积分. 若k=1且α=1，则k-Riemann-Liouville分数阶积分就是Riemann积分.
本文的目的是引入k-Riemann-Liouville分数阶积分和h-凸函数，通过建立Ostrowski型积分不等式，由取特殊值法，构造出更多点处新的Hermite-Hadamard型积分不等式，从而拓宽Hermite-Hadamard型积分不等式的适用范围，并且推广已有的一些结论.
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要建立Ostrowski型k-Riemann-Liouville分数阶积分不等式，首先给出相关的等式.
定理 4 设f：Io⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，∀a，b∈Io，a < b. 如果f′∈L[a，b]，则对∀x，y∈(a，b)，有k-Riemann-Liouville分数阶积分等式：证 由分部积分法及变量代换
$u=t x+(1-t) a, $ 利用k-Riemann-Liouville分数阶积分的定义，有类似地，
由(8)式和(9)式，经过简单的计算，则(7)式成立.
推论 1 设f：Io⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，∀a，b∈Io，a < b. 如果f′∈L[a，b]，则对∀x∈(a，b)，有k-Riemann-Liouville分数阶积分等式：证 在定理4中，利用(7)式，令x=y即推论1得证.
推论 2[11] 设f：Io⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，∀a，b∈Io，a < b. 如果f′∈L[a，b]，则对∀x∈(a，b)，有Riemann-Liouville分数阶积分等式：证 由推论1，利用(10)式，取k=1即推论2得证.
推论3 设f：Io⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，∀a，b∈Io，a < b. 如果f′∈L[a，b]，r≥1且r≥m≥0，则下面k-Riemann-Liouville分数阶积分等式成立：证 在定理4中，利用(7)式，取
$x=\frac{(r-m) a+m b}{r}$ 和$y=\frac{m a+(r-m) b}{r}, $ (12)式成立.注 1 利用推论3的结果，对参数α，k，m，r取特殊的值，可得到函数在一些特殊点处的普通积分或者分数阶积分等式. 比如，令m=r，k=1，经简单计算，则引理1成立. 利用这些等式，可以讨论函数在特殊点处的梯形积分不等式，即推广Hermite-Hadamard型积分不等式(1)中右侧项与中间项差值的估计.
推论 4 设f：Io⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，∀a，b∈Io，a < b. 如果f′∈L[a，b]，r≥1且r≥m≥0，则有k-Riemann-Liouville分数阶积分等式：证 由推论1，利用(10)式，取
$x=\frac{(r-m) a+m b}{r}，$ 经过简单的计算，则可得(13)式成立.推论 5 设f：Io⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，∀a，b∈Io，a < b. 如果f′∈L[a，b]，则有k-Riemann-Liouville分数阶积分等式：证 由推论4，利用(13)式，取r=2m，经过简单的计算，则可得(14)式成立.
注 2 利用推论4的结果，当参数α，k，m，r取特殊的值时，可得到函数在一些特殊点处的普通积分或者分数阶积分等式. 比如，令r=2m，k=1，则引理2成立. 利用这些等式，可以讨论函数在特殊点处的积分不等式，即推广Hermite-Hadamard型积分不等式(1)中左侧项与中间项差值的估计.
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作为通常凸函数的推广，文献[6]介绍了h-凸函数的定义：
定义 3 [6] 设(0，1)⊂J，h：J⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 为非负函数. 如果对于非负函数f：I⊂$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ ，∀x，y∈I，λ∈(0，1)，有则称f是I上的h-凸函数. 如果不等式(15)反向，则称f是I上的h-凹函数.
明显地，若h(λ)=λs，s∈(0，1)，则h-凸函数就是第二意义上的s-凸函数；若h(λ)=λ，则h-凸函数就是通常的凸函数，h-凹函数就是通常的凹函数；分别当
$h(\lambda)=1, h(\lambda)=\frac{1}{t}, h(\lambda)=\frac{1}{t^s}(s \in(0, 1))$ 时，利用(15)式，分别可定义P-函数、Godunova-Levin函数、第二意义上的s-Godunova-Levin函数. 关于凸函数的经典概念在各种不同的方向上的推广研究可参见文献[8-10].我们首先建立h-凸函数的Ostrowski型k-Riemann-Liouville分数阶积分不等式. 然后通过取函数的特殊值，就可以得到多个Hermite-Hadamard型积分不等式的推广形式. 比如，得到的某些结论就是对定理2、定理3的推广.
定理 5 设f：Io⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，∀a，b∈Io，a < b. 如果f′∈L[a，b]且|f′|是[a，b]上的h-凸函数，|f′|≤M，则对∀x，y∈(a，b)，有k-Riemann-Liouville分数阶积分不等式：证 因为|f′|是[a，b]上的h-凸函数且|f′|≤M，所以有
和
由定理4，则
推论 6 设f：Io⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，∀a，b∈Io，a < b. 如果f′∈L[a，b]且|f′|是[a，b]上的h-凸函数，|f′|≤M，则对∀x，y∈(a，b)，有k-Riemann-Liouville分数阶积分不等式：证 由定理5，利用(16)式，令x=y，则推论6得证.
注 3 在推论6的条件下，如果令k=1，则由(17)式，可得文献[17]中的定理1，即给出关于Riemann-Liouville分数阶积分的Ostrowski>型积分不等式；如果令α=1，k=1，注意|f′(tx+(1-t)a)| ≤M和|f′(tx+(1-t)b)| ≤M，采用定理5的证明可得(2)式成立.
定理 6 设(0，1)⊂J，h：J⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 为非负函数，f：Io⊂$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，a，b∈Io，a < b，f′∈L[a，b]，如果|f′|是[a，b]上的h-凸函数，则下面k-Riemann-Liouville分数阶积分不等式成立：证 因为
且|f′|是[a，b]上的h-凸函数，所以
同理
由推论5，有
推论 7 设(0，1)⊂J，h：J⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 为非负函数，f：Io⊂$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，a，b∈Io，a < b，f′∈L[a，b]，如果|f′|是[a，b]上的凸函数，则下面k-Riemann-Liouville分数阶积分不等式成立：注 4 令k=1，利用(19)式可得文献[11]中的结论，即定理3.
定理 7 设(0，1)⊂J，h：J⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 为非负函数，f：Io⊂$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，a，b∈Io，a < b，f′∈L[a，b]，r≥1且r≥m≥0，如果|f′|是[a，b]上的h-凸函数，则下面k-Riemann-Liouville分数阶积分不等式成立：证 因为
且|f′|是[a，b]上的h-凸函数，所以
同理
利用(12)，(21)和(22)式，则(20)式成立.
推论 8 设该推论条件与定理7相同，则下面k-Riemann-Liouville分数阶积分不等式成立：
定理 8 设f：Io⊂
$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$ 是Io上的可微函数，∀a，b∈Io，a < b. 如果|f′|是[a，b]上的凸函数，则下面k-Riemann-Liouville分数阶积分不等式成立：证 由推论3，有
于是
其中K1，K2分别为
在(25)式中，带入K1，K2则有(24)式成立.
注 5 令k=1，利用(24)式可得文献[5]中的结论，即定理2.
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令X是区间[a，b]上的连续型随机变量，X的概率密度函数为p(x)：[a，b]→(0，+∞)，则其分布函数为
r阶矩为
若
$\left[x_1, x_2\right] \subset[a, b], $ 记$E_{\left[x_1, x_2\right]}\left(X^r\right)=\int_{x_1}^{x_2} t^r p(t) \mathrm{d} t .$ 利用k-Riemann-Liouville分数阶积分的定义及随机变量函数的矩计算公式，则
定理 9 设连续型随机变量X的分布函数F(x)在[a，b]上可微，密度函数F′(x)是[a，b]上的凸函数且|F′(x)|≤M，则
证 利用分部积分法，分布函数的性质及随机变量函数的矩计算公式，有
和
由推论6，利用(17)，(26)，(27)式以及概率密度函数F′(x)的有界性和凸性，则定理9得证.
推论 9 设定理9的条件满足，则当k=α=1时，对∀x∈
$\mathbb{R}$ ，有
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