假设将人群分为两组，第一组通过语言1传播谣言，第二组通过语言2传播谣言. 考虑到有人掌握多种语言或者会使用翻译软件，使得信息可以在不同的群体之间交换，因此谣言的交叉传播机制是存在的. 将每组分为4类：从未听过谣言，但易受谣言影响的人S_i(t)，传播谣言的人I_i(t)，网络上的谣言信息量M_i(t)(I_i(t)在网络上产生的谣言信息量)，知道谣言但不传播的人R_i(t)，i=1，2. 建立模型如下：

模型中所有的参数都是正的，并且A=(α_ij)_2×2，B=(β_ij)_2×2是不可约的，i，j=1，2. 在谣言传播过程中，易受谣言影响的人与传播谣言的人相遇后，可能产生传播谣言的兴趣，以β_ij的传播率变为传播谣言的人，β_ii表示S_i和I_i的接触传播率，β_ij表示S_i和I_j的交叉接触传播率(i≠j)；易受谣言影响的人看到网络谣言信息后，可能产生传播谣言的兴趣，以α_ij的传播率变为传播谣言的人，α_ii表示S_i和M_i的接触传播率，α_ij表示S_i和M_j的交叉接触传播率(i≠j)；传播谣言的人与知道谣言但不传播的人相遇后，可能失去传播谣言的兴趣，以φ_i的传播率变为知道谣言但不传播的人；A_i表示S_i的输入率；μ_i表示自然死亡率；σ_i表示I_i的自然遗忘率；δ_i表示单位时间内一个谣言传播者在网络上产生的谣言量；d_i表示网络谣言信息的自然消除率.

模型(1)存在无谣言平衡点$\boldsymbol{E}^0=\left(S_1^0, 0, 0, 0, S_2^0, 0, 0, 0\right), S_i^0=\frac{A_i}{\mu_i}, i=1, 2 $. 模型(1)的可行域为$ X=\left\{S_1, I_1, M_1, R_1, S_2, I_2, M_2, R_2 \in \mathbb{R}_{+}^8 \mid S_i+I_i+R_i \leqslant \frac{A_i}{\mu_i}, 0 \leqslant M_i \leqslant \frac{A_i \delta_i}{\mu_i d_i}, i=1, 2\right\}$.

根据下一代矩阵法^[8]，得到

计算模型(1)的基本再生数为$R_0=\rho\left(\boldsymbol{F} \boldsymbol{V}^{-1}\right)=\rho\left(\frac{\left(\beta_{i j}+\alpha_{i j} \frac{\delta_j}{d_j}\right) S_i^0}{\mu_j+\sigma_j}\right)_{2 \times 2}, i, j=1, 2 $. 令$\boldsymbol{M}(\boldsymbol{S}^0)=\left(\frac{\left(\beta_{i j}+\alpha_{i j} \frac{\delta_j}{d_j}\right) S_i^0}{\mu_i+\sigma_i}\right)_{2 \times 2} $，其中$ \boldsymbol{S}^0=\left(S_1^0, S_2^0\right)^T$，易验证$R_0=\rho\left(\boldsymbol{M}\left(\boldsymbol{S}^0\right)\right) $.

定理1  当R₀ < 1时，模型(1)的无谣言平衡点E⁰是局部渐近稳定的.

证  为了证明无谣言平衡点E⁰是局部渐近稳定的，需要检验文献[8]中的假设(A1)－(A5). 假设(A1)－(A4)是显然成立的，条件(A5)需要证明下列8×8矩阵的全部特征根具有负实部.

其中：$ \boldsymbol{W}=\boldsymbol{F}-\boldsymbol{V}=\left(\begin{array}{cccc} \beta_{11} S_1^0-\left(\mu_1+\sigma_1\right) & \beta_{12} S_1^0 & \alpha_{11} S_1^0 & \alpha_{12} S_1^0 \\ \beta_{21} S_2^0 & \beta_{22} S_2^0-\left(\mu_2+\sigma_2\right) & \alpha_{21} S_2^0 & \alpha_{22} S_2^0 \\ \delta_1 & 0 & -d_1 & 0 \\ 0 & \delta_2 & 0 & -d_2 \end{array}\right)$,

定义s(W)为矩阵W的最大特征值，由文献[8]中的定理2可知下列等式成立：

计算J₄的特征根，可知$ \lambda_1=\lambda_2=-\mu_1<0, \lambda_3=\lambda_4=-\mu_2<0 \text {. 如果 } R_0<1 \text {, 则 } s(\boldsymbol{W})<0$，所以$s\left(\boldsymbol{J} \mid \boldsymbol{E}^0\right)<0 $，条件(A5)成立. 因此，当R₀ < 1时，无谣言平衡点E⁰是局部渐近稳定的.

定理2  当R₀≤1时，模型(1)的无谣言平衡点E⁰是全局渐近稳定的.

证  构造一个Lyapunov函数

其中$\boldsymbol{I}(t)=\left(I_1(t), I_2(t)\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{w}^{\mathrm{T}}=\left(w_1, w_2\right), \boldsymbol{w}^{\mathrm{T}} \text { 为 } \boldsymbol{M}\left(\boldsymbol{S}^0\right) $关于特征值ρ(M(S⁰))的一个正的左特征向量，$S_i^0=\frac{A_i}{\mu_i}, i=1, 2 $.

计算V₀(t)沿着模型(1)解的全导数，

故$R_0 \leqslant 1 \text { 时, } \frac{\mathrm{d} V_0(t)}{\mathrm{d} t} \leqslant 0 \text {, 且 } \frac{\mathrm{d} V_0(t)}{\mathrm{d} t}=0 \text { 时, } I_i(t)=0, i=1, 2 $. 即当E⁰= $\left(\frac{A_1}{\mu_1}, 0, 0, 0, \frac{A_2}{\mu_2}, 0, 0, 0\right) \text { 时, } \frac{\mathrm{d} V_0(t)}{\mathrm{d} t}=0 \text {. 集合 }\left\{\left(S_1, I_1, M_1, R_1, S_2, I_2, M_2, R_2\right) \mid V_0^{\prime}(t)=0\right\} $的最大不变集为单点集{E⁰}，根据LaSalle不变集原理^[9]，当R₀≤1时，无谣言平衡点E⁰是全局渐近稳定的.

定理3  对于模型(1)，R₀>1时，模型是一致持续的，即存在一个正数ε，使得$\liminf _{t \rightarrow \infty}\left(I_i(t), M_i(t)\right) \geqslant(\varepsilon, \varepsilon), i=1, 2 $.

证  定义

首先，容易验证X₀是正不变集. 根据模型(1)的有界性，可知模型(1)是点耗散的.

令$M_{\partial}=\left\{S_i, I_i, M_i, R_i \mid S_i, I_i, M_i, R_i \in \partial X_0, \forall t \geqslant 0, i=1, 2\right\} $.

下面证明

由于$ \left\{S_i(t), 0, 0, R_i(t) \mid S_i(t) \geqslant 0, R_i(t) \geqslant 0, i=1, 2\right\} \subseteq M_{\partial}$恒成立，所以只需证$M_{\partial} \subseteq\left\{S_i(t), 0, 0, R_i(t) \mid S_i(t) \geqslant 0, R_i(t) \geqslant 0, i=1, 2\right\} $即可. 假设不成立，那么存在i₀，不失一般性，假设$i_0=2 \text {, 当 } t_0 \geqslant 0 \text { 时, } I_2\left(t_0\right)>0, M_2\left(t_0\right)=0 $，则有

即存在正数τ，当$t_0<t<t_0+\tau \text { 时 } \frac{\mathrm{d} M_2}{\mathrm{~d} t}>0 \text {. 这说明 } t_0<t<t_0+\tau \text { 时, }\left(S_i(t), I_i(t), M_i(t)\right. \text {, }\left.R_i(t)\right) \notin M_a, i=1, 2 $. 这与假设矛盾，即证明了$ M_{\partial}=\left\{S_i(0), 0, 0, R_i(0) \mid S_i(t) \geqslant 0, R_i(t) \geqslant 0, i=1, 2\right\}$.

下面证明$ W^S\left(\boldsymbol{E}^0\right) \cap X_0=\varnothing$，利用反证法，假设$W^S\left(\boldsymbol{E}^0\right) \cap X_0 \neq \varnothing $.

由文献[10]可知，设ε₁为任意充分小的正数，存在一个正常数η=η(ε₁)，使得

由模型(1)可以得到

考虑一个辅助系统

系统(3)在平衡点的雅可比矩阵为

其中$b_1=\beta_{11}\left(S_1^0-\varepsilon_1\right)-\varphi_1 \varepsilon_1-\left(\mu_1+\sigma_1\right), b_2=\beta_{22}\left(S_2^0-\varepsilon_1\right)-\varphi_2 \varepsilon_1-\left(\mu_2+\sigma_2\right) \text {, 由于 } R_0>1 \Leftrightarrow s(\boldsymbol{W})>0 $，则当R₀>1时，存在充分小的正数$ \zeta\left(\zeta \geqslant \varepsilon_1\right) \text { 使得 } s\left(\boldsymbol{W}-\zeta \boldsymbol{W}_0\right)>0 \text {, 进而有 } s\left(\boldsymbol{W}_2\right)=s\left(\boldsymbol{W}-\varepsilon_1 \boldsymbol{W}_0\right) \geqslant s\left(\boldsymbol{W}-\zeta \boldsymbol{W}_0\right)>0$，其中

这说明矩阵W₂至少有一个正的特征根. 因此系统(3)是不稳定的，则系统(3)的解满足下列式子

通过比较定理可得

这与$ I_i(t)<\varepsilon, M_i(t)<\varepsilon \text { 矛盾, 因此 } W^S\left(\boldsymbol{E}^0\right) \cap X_0=\varnothing \text { 成立. 集合 } M_{\partial}$内的每条轨线都收敛到E⁰，且E⁰是非周期的. 根据文献[11]可知，模型(1)关于$\left(X_0, \partial X_0\right) $是一致持续的. 结合文献[12]可知，模型(1)至少存在一个谣言盛行平衡点$\boldsymbol{E}^*=\left(S_i^*, I_i^*, M_i^*, R_i^*\right), i=1, 2 $.

定理4  当R₀>1时，模型(1)存在唯一的一个谣言盛行平衡点$\boldsymbol{E}^*=\left(S_i^*, I_i^*, M_i^*, R_i^*\right), i=1, 2 $.

证  首先，计算模型(1)的谣言盛行平衡点

得到$S_i=\frac{A_i}{\mu_i}-I_i-\frac{\sigma_i I_i}{\mu_i-\varphi_i I_i}, M_i=\frac{\delta_i I_i}{d_i}, R_i=\frac{\sigma_i I_i}{\mu_i-\varphi_i I_i}, i=1, 2 $.

模型(1)的平衡点等价于

根据文献[13]的方法，假设$I_i^*=h>0, I_i^*=k>0 $是模型的两个常数解，如果h≠k，那么至少存在一个i(i=1，2)，使得h_i≠k_i. 不失一般性，假设$h_1>k_1 \text {, 进一步可设 } \frac{h_1}{k_1} \geqslant \frac{h_i}{k_i} $对任意的i(i=1，2)成立. 将h和k带入(4)式得

进行变换得到

对任意的i(i=1，2)有$k_i \geqslant k_1\left(\frac{h_i}{h_1}\right) $成立，且

进一步得到

这与(6)式矛盾，因此模型(1)存在唯一的谣言盛行平衡点$\boldsymbol{E}^*=\left(S_i^*, I_i^*, M_i^*, R_i^*\right), i=1, 2 $.

定理5  当R₀>1时，模型(1)的谣言盛行平衡点E^*是全局渐近稳定的.

证  令$J_1(t)=\left(S_i-S_i^*-S_i^* \ln \frac{S_i}{S_i^*}\right)+\left(I_i-I_i^*-I_i^* \ln \frac{I_i}{I_i^*}\right)+\frac{\varphi_i R_i^*}{\varphi_i R_i^*+\sigma_i}\left(R_i-R_i^*-R_i^* \ln \frac{R_i}{R_i^*}\right)， $$ J_2(t)=\sum\limits_{j=1}^2 \alpha_{i j} S_i^* M_j^* \frac{1}{\delta_j I_j^*}\left(M_j-M_j^*-M_j^* \ln \frac{M_j}{M_j^*}\right), i=1, 2 \text {. 令 } f(x)=1-x+\ln x \text {, 则对 } \forall x>0 \text {, }$f(x)≤0，当且仅当x=1时，f(x)=0.

J₁(t)，J₂(t)沿着模型(1)解的全导数分别为

构造Lyapunov函数

V(t)沿着模型(1)解的全导数为

由于A=(α_ij)_2×2，B=(β_ij)_2×2是不可约的，根据文献[14]中的定理2.3，有$\sum\limits_{i, j=1}^2 v_i\left(\beta_{i j} S_i^* I_j^*+\right. $$\left.\alpha_{i j} S_i^* M_j^*\right)\left(\frac{I_j}{I_j^*}-\ln \frac{I_j}{I_j^*}\right)=\sum\limits_{i, j=1}^2 v_i\left(\beta_{i j} S_i^* I_j^*+\alpha_{i j} S_i^* M_j^*\right)\left(\frac{I_i}{I_i^*}-\ln \frac{I_i}{I_i^*}\right) \text {, 于是得到 } \frac{\mathrm{d} V(t)}{\mathrm{d} t} \leqslant 0 $，当且仅当$\boldsymbol{E}^*=\left(S_i^*, I_i^*, M_i^*, R_i^*\right), i=1, 2 \text { 时, } \frac{\mathrm{d} V(t)}{\mathrm{d} t}=0 \text {. 那么, } V^{\prime}(t)=0 $的最大不变集为单点集{E^*}，根据LaSalle不变集原理^[9]可知，当R₀>1时，谣言盛行平衡点E^*是全局渐近稳定的.

本文基于谣言传播的若干特点，考虑个体和媒介交叉传播这一风险因素，建立SIMR模型来研究交叉传播的影响. 首先，通过下一代矩阵的方法定义基本再生数R₀；其次，构造Lyapunov函数证明了当基本再生数R₀≤1时，模型的无谣言平衡点是全局渐近稳定的；然后根据持续性理论，证明了当基本再生数R₀>1时，模型是一致持续的，且存在唯一的谣言盛行平衡点；最后，利用Lyapunov函数和图论知识，证明了谣言盛行平衡点是全局渐近稳定的. 结果说明交叉传播会影响模型的基本再生数，但不会影响谣言传播的动力学属性. 该研究丰富了谣言传播动力学的研究方法，拓展了人们对谣言传播动力学的认识，有益于谣言控制措施的制定.