本文所涉及的群均为有限群.子群的正规性对群的结构有非常重要的影响，许多群论学者通过弱化正规性来刻画有限群的结构，并获得了大量深刻的研究成果.文献[1]首次引入了S-拟正规的概念：设H是群G的子群.如果对于G的任意Sylow子群P，都有HP=PH，则称H为G的S-拟正规子群.这个概念已被很多数学工作者广泛研究及推广.我们知道可补性对有限群的结构有一定的影响^[2].文献[3]将S-拟正规性和可补性进一步融合，引入了SS-可补的概念：设H是群G的子群，如果存在G的一个子群K，使得G=HK且H∩K在K中S-拟正规，则称H在G中SS-可补.应用这一概念，人们获得了非常丰富的研究成果(例如文献[3-5]).同时，很多学者研究了局部子群对群结构的影响^[6]，文献[3]证明了：有限群G可解的充分必要条件是G中每个极大子群在G中都有次正规的SS-补.本文主要通过部分极大子群的SS-可补性来研究有限群的可解性，并推广了以上结果.

本文所涉及的所有术语和符号都是标准的，见文献[7-8].

引理 1^[3]   设H是群G的SS-可补子群，则下列结论成立：

(i) 如果H≤M≤G，那么H在M中是SS-可补的；

(ii) 如果N⊴G且N≤H，那么H/N在G/N中是SS-可补的；

(iii) 设π是素数的集合，H是G的π-子群，N是G的正规π′-子群，那么HN/N在G/N中是SS-可补的.

引理 2^[1]   设H是群G的S-拟正规子群，则下列结论成立：

(i) 如果H≤K≤G，那么H在K中是S-拟正规的；

(ii) 如果N⊴G，那么HN/N在G/N中是S-拟正规的，如果还有N≤K≤G，那么K在G中是S-拟正规的当且仅当K/N在G/N中是S-拟正规的；

(3) H⊴⊴G.

引理 3^[9]   如果A是群G的次正规子群，B是G的极小正规子群，那么B≤N_G(A).

设G是一个群，p是|G|的素因子，定义下面一些极大子群的集合：

$\mathscr{F}$(G)={M|M⋖G}；

$\mathscr{F}$_n(G)={M|M∈$\mathscr{F}$(G)且M非幂零}；

$\mathscr{F}$_c(G)={M|M∈$\mathscr{F}$(G)且|G:M|是合数}；

$\mathscr{F}$^p(G)={M|M∈$\mathscr{F}$(G)且N_G(P)≤M，其中P为G的某个Sylow p-子群}；

$\mathscr{F}$_p(G)={M|M∈$\mathscr{F}$(G)且|G:M|_p=1}；

$\mathscr{F}$_pc(G)=$\mathscr{F}$_p(G)∩$\mathscr{F}$_c(G)；

$\mathscr{F}$^pcn(G)=$\mathscr{F}$^p(G)∩$\mathscr{F}$_c(G)∩$\mathscr{F}$_n(G).

定理 1   设G是一个群，p是|G|的最大素因子.则G是可解群的充分必要条件是$\mathscr{F}$_pc(G)中的每个元在G中有次正规SS-补.

证   由文献[3]的定理3.3，必要性显然成立.

我们假定$\mathscr{F}$_pc(G)中的每个元在G中有次正规SS-补.假设定理1结论不成立，且设G为极小阶反例，我们按下列步骤证明定理：

步骤 1   $\mathscr{F}$_pc≠Ø.

如果$\mathscr{F}$_pc(G)=Ø，根据文献[10]的定理8，G可解，矛盾.

步骤 2   G有唯一的极小正规子群N，且G/N可解.

由步骤 1  知，存在M∈$\mathscr{F}$_pc(G).根据定理1的假设，M在G中有次正规SS-补，即存在G的一个次正规子群K，满足G=MK，且M∩K在K中是S-拟正规的.如果K=G，我们有M⊴G，G非单群.如果K < G，G有真正规子群包含K，G也非单群.设N是G的一个极小正规子群，且M/N∈$\mathscr{F}$_pc(G/N)，显然M∈$\mathscr{F}$_pc(G).应用引理1，M/N在G/N中有次正规SS-补，这意味着G/N满足定理1的假设.根据G的极小性，G/N可解.因为可解群类是饱和群系，所以N是G唯一的极小正规子群.

步骤 3   最后的矛盾.

如果N可解，显然G可解，矛盾.因此不妨假设N非可解.设q是|N|的最大素因子，Q∈Syl_q(N).由Frattini论断，G=N_G(Q)N.因为N_G(Q) < G，所以存在G的极大子群M，使得N_G(Q)≤M且N$\nleqslant$ M.显然M_G=1.根据定理1的假设，p≥q.如果p>q，那么

如果p=q，那么N_G(Q)包含G的一个Sylow p-子群.无论在哪种情况下，我们都有|G:M|_p=1，即M∈$\mathscr{F}$_p(G).如果|G:M|=r，其中r为某个素数.因为M_G=1，所以G/M_G⊩G≲S_r.这意味着|N||r!，矛盾于q是|N|的最大素因子.于是M∈$\mathscr{F}$_pc(G).

根据定理1的假设，M在G中有次正规SS-补，即存在G的次正规子群K，满足G=MK，且M∩K在K中是S-拟正规的.应用引理2，M∩K⊴⊴G.如果M∩K≠1，设L是包含于M∩K的G的极小次正规子群.因为N⊴G，所以L∩N⊴L.根据L的极小性，L∩N=1或L≤N.由引理3，N≤N_G(L)，即N正规化L.如果

且N非交换，那么

矛盾.如果

那么L=1，矛盾.因此M∩K=1.同理，设L是G的极小次正规子群.因为L∩N⊴L，所以L∩N=1或L≤N.如果L∩N=1，同理得L=1，矛盾.于是L≤N，即G的所有极小次正规子群都包含于N.因为N是G的极小正规子群且不可解，所以N为同构非交换单群的直积.设N=N₁×...×N_r，显然N₁，...，N_r为G的所有极小次正规子群.不失一般性，我们可以假设N₁≤K.故存在素数q整除|K|=|G:M|.根据文献[11]的引理3，N可解，矛盾.

以下的推论是显然的：

推论 1^[3]  群G可解当且仅当G的每个极大子群有次正规SS-补.

根据另外一些极大子群的SS-可补性，我们可以得到有限群的p-可解性：

定理 2   设G是一个群，p是|G|的最大素因子.如果$\mathscr{F}$^pcn(G)中的每个元在G中有次正规SS-补，那么G是p-可解的.

证  假设结论不成立，且设G为极小阶反例，我们按下列步骤证明定理：

步骤 1   $\mathscr{F}$^pcn(G)≠Ø.

如果$\mathscr{F}$^pcn(G)=Ø，那么根据文献[12]的引理2.4，G是p-可解的，矛盾.

步骤 2   G有唯一的极小正规子群N，且G/N是p-可解的.

由步骤 1  知，存在M∈$\mathscr{F}$^pcn(G)，根据定理2的假设，M在G中有次正规SS-补，即存在G的一个次正规子群K，满足G=MK，且M∩K在K中是S-拟正规的.应用引理2，M∩K⊴⊴G.如果K=G，我们有M⊴G，G非单群.如果K < G，G有真正规子群包含K，G也非单群.设N是G的一个极小正规子群，由引理1，G/N满足定理2的假设.根据G的极小性，G/N是p-可解的.如果G有两个不同的极小正规子群N₁和N₂，那么G/N₁和G/N₂是p-可解的.因此G/N₁∩N₂⊩G是p-可解的，矛盾.所以N是G唯一的极小正规子群.

步骤 3   最后的矛盾.

如果N是p-群或p′-群，显然G是p-可解的，矛盾.设

根据Frattini论断，G=N_G(N_p)N.设P∈Syl_p(G)，使得N_p=P∩N.因为N_G(N_p)≠G，所以存在G的极大子群M，使得

因此M∈$\mathscr{F}$^p(G)，M_G=1.显然|G:M|_p=1.如果|G:M|=r，其中r为某个素数，因为M_G=1，所以G/M_G⊩G≲S_r.这意味着|N||r!，矛盾于p的极大性.因此M∈$\mathscr{F}$^pc(G).我们断言M∈$\mathscr{F}$^pcn(G).事实上，如果M∈$\mathscr{F}$^pc(G)且M是幂零的.根据文献[8]的定理10.4.2，M是偶数阶群，即M的Sylow 2-子群M₂≠1.设M_2′是M的Hall 2′-子群.如果M_2′=1，我们有p=2，G是一个2-群，矛盾.因此M_2′≠1.由文献[13]的定理1，M_2′⊴G.因为P char M_2′，所以P⊴G，从而G是p-可解的，矛盾.于是M∈$\mathscr{F}$^pcn(G).

根据定理2的假设，M在G中有次正规SS-补，即存在G的次正规子群K，满足G=MK，且M∩K在K中是S-拟正规的.应用引理2，M∩K⊴⊴G.如果M∩K≠1，设L是包含于M∩K的G的极小次正规子群.因为N⊴G，所以L∩N⊴L.根据L的极小性，L∩N=1或L≤N.由引理3，N≤N_G(L)，即N正规化L.如果

且N非交换，那么

矛盾.如果

可得L=1，矛盾.因此M∩K=1.同理，设L是G的极小次正规子群.因为L∩N⊴L，所以L∩N=1或L≤N.如果L∩N=1，同理可得L=1，矛盾.所以L≤N，即G的所有极小次正规子群都包含于N.因为N是G的极小正规子群且不可解，所以N是同构非交换单群的直积.不妨设N=N₁×...×N_r，显然N₁，...，N_r为G的所有极小次正规子群.因为

所以p$\nmid$|K|.又因为K⊴⊴G，不妨设N₁≤K，p||N|，所以p||N₁|.于是p||K|，矛盾.