设p为一个素数. Sylow定理告诉我们：若pⁿ‖|G|，则G中必存在pⁿ阶子群.这样的子群叫作G的Sylow p-子群，并且G的所有Sylow p-子群的个数n_p≡1(mod p).文献[1-3]利用Sylow定理刻画一些阶较小的有限群.一个模p同余于1的数是否一定为某个有限群G的所有Sylow p-子群的个数?文献[4]利用有限群的模表示证明了：不存在恰有22个Sylow 3-子群的有限群，不存在恰有21个Sylow 5-子群的有限群，不存在恰有n=3p+1(p≥7)个Sylow p-子群的有限群.文献[5]进行了系统的研究，证明了Huppert猜想.文献[6]进一步推广了文献[5]中关于Sylow的研究成果.本文利用初等方法证明：不存在恰有15个Sylow 7-子群的有限群.

定理 1  不存在恰有15个Sylow 7-子群的有限群.

为证明定理 1  ，需要下面的引理：

引理 1^[7]  设p是奇素数，α是A_2p中两个不相交的p-轮换的乘积，则|C_A2p(α)|=p².

引理 2^[8]  假定G有交换的Sylow p-子群，则必存在P，Q∈Syl_p(G)，使得P∩Q=O_p(G).

引理 3^[9]  设P为群G的p-子群，且|P|=p，则N_G(P)/C_G(P)同构于阶整除p-1的循环群.

引理 4^[9]  若|G|=2n，n为奇数，则G必可解.

引理 5^[10]  设G是有限群，n_p(G)>1.若S，T是G的两个不同的Sylow p-子群且满足|S∩T|最大，则n_p(G)≡1 (mod|S:S∩T|).

引理 6^[11]  若G有一个循环的Sylow 2-子群，那么G有一个指数为2的正规子群.

引理 7^[12]  可解群的极小正规子群N是初等交换p-群.

定理 1  的证明

令G为极小反例，n₇(G)=15.

首先说明G在Syl₇(G)上的共轭作用是忠实的，且G≤A₁₅.

令K是G通过共轭作用在Syl₇(G)上的核.考虑群G/K，则

对任意的P，Q∈Syl₇(G)，且P≠Q，我们证明：若PK=QK，则P=Q.假设PK=QK，因为K是G通过共轭作用在Syl₇(G)上的核，所以对任意的k∈K，都有P^k=P，则P⊴PK.从而P是PK的唯一Sylow 7-子群.同理可得Q是QK的唯一Sylow 7-子群.因PK=QK，故P=Q.这就说明当P，Q为G的两个不同的Sylow 7-子群时，有PK/K≠QK/K.从而n₇(G/K)=15.故由群G的极小性得K=1.因此，G忠实地作用在Syl₇(G)上.

由同态基本定理可以知道G≤S₁₅.因为|S₁₅:A₁₅|=2，所以S₁₅的所有7-元素都在A₁₅中，从而群G的每一个Sylow 7-子群在A₁₅中.进一步得到G∩A₁₅含有G的所有Sylow 7-子群，即n₇(G∩A₁₅)=15.故由群G的极小性得G≤A₁₅.

取定P∈Syl₇(G)，下面说明|P|=7.

因为|S₁₅|=15!，所以由拉格朗日定理可以得到|P||7².于是P是交换群.因为O₇(G)等于G的所有Sylow 7-子群的交，从而O₇(G)在Syl₇(G)上的作用是平凡.由于G忠实地作用在Syl₇(G)上，所以O₇(G)=1.由引理2可得，存在Q∈Syl₇(G)使得P∩Q=1.因为Q⊴N_G(Q)，所以Q是N_G(Q)的唯一Sylow p-子群.又由于N_P(Q)是N_G(Q)的p-子群，所以

从而P通过共轭作用在Syl₇(G)上的Q的轨道长度为|P:N_P(Q)|，因此

则|P|=7.

利用P的阶，我们确定群G的阶.

因为|P|=7，所以P是素数阶循环群，则

又因为N_G(P)是P的正规化子，所以N_G(P)通过共轭作用在Syl₇(G)上保持P不动，从而得到N_G(P)≤S₁₄.又因N_G(P)≤A₁₅，因此

由|P|=7，下面证明P通过共轭作用在Syl₇(G)上的轨道长度为1，7，7.由轨道-稳定子定理可得轨道长度是1或者7.显然P所在轨道长度为1.假设T∈Syl₇(G)(T≠P)所在轨道长度是1，则对任意的x∈P，有T^x=T，故P≤N_G(T).又因T是N_G(T)的唯一Sylow 7-子群，而显然P是N_G(T)的Sylow 7-子群，则T=P，矛盾于T的取法.因此，只有一个轨道长度为1.又由于n₇(G)=15，故轨道长度为1，7，7.

令P=〈α〉，则α是A₁₄中两个不相交的7-轮换的乘积.下面我们证明C_G(α)=C_A14(α)∩G.显然

下证

对任意的x∈C_G(P)，有x∈A₁₄，从而x∈C_A14(α)，因此

由引理1可得|C_A14(α)∩G||p²，故C_G(α)为p-群，又因P是交换群，故P≤C_G(α).从而P=C_G(P).

接下来，由引理3得

则

从而

若|N_G(P)/C_G(P)|=1，此时|G|=3·5·7.由Sylow定理得，Sylow 5-子群的个数n₅=1，21.当n₅=1时，则G存在正规的Sylow 5-子群T.这样PT是阶为5·7的子群.继续用Sylow定理可得P是PT唯一的Sylow 7-子群，则有P⊴PT，即PT≤N_G(P).进一步得T≤N_G(P).从而|G:N_G(P)| < 15矛盾.当n₅=21时，则G有21个Sylow 5-子群，它们都是循环群，因此每两个Sylow 5-子群的交只含单位元，从而G恰有84个5阶元.同理G恰有90个7阶元，而|G|=105，显然矛盾.

若|N_G(P)/C_G(P)|=2，此时|G|=2·3·5·7.因为

则

因为|G:N_G(P)|=15是奇数，所以N_G(P)含有G的Sylow 2-子群.因为G有循环的Sylow 2-子群，由引理5得，G存在正规子群N，且|N|=3·5·7.应用Sylow定理得，N至少存在1个G的Sylow 7-子群，不妨记为P₁.则对任意的g∈G，都有P₁^g≤N^g=N，由Sylow第二定理得，N包含G的每一个Sylow 7-子群，则矛盾于群G的极小性.

若|N_G(P)/C_G(P)|=3，此时|G|=3²·5·7.若n₃(G)=1，则G存在正规的Sylow 3-子群T.这样PT是阶为3²·7的子群.继续用Sylow定理可得P是PT唯一的Sylow 7-子群，则有P⊴PT，即PT≤N_G(P)，进一步得T≤N_G(P).从而|G:N_G(P)| < 15矛盾.若n₃(G)>1，则由Sylow定理得n₃(G)=7.令S，T是G的两个不同的Sylow 3-子群且满足|S∩T|最大，则由引理4得

故有|S∩T|=3.令D=S∩T，由于S，T是交换群，故D⊴S，T.这就推出S，T≤N_G(D).从而N_G(D)中恰有7个Sylow 3-子群.故|N_G(D)|=7·9或者|N_G(D)|=7·9·5.

当N_G(D)=G时，则D⊴G.故M=PD是阶为3·7的子群.由Sylow定理得P是M唯一的Sylow 7-子群，则P⊴M.因此

考虑群G/D，则

对任意的P，Q∈Syl_p(G)，且P≠Q，我们证明若PD=QD，有P=Q.假设PD=QD，因为P⊴PD，所以P是PD唯一的Sylow 7-子群.同理，Q是QD唯一的Sylow 7-子群.又因PD=QD，故P=Q.这就说明G/D的Sylow 7-子群的个数等于G的Sylow 7-子群的个数，则矛盾于群G的极小性.

当|N_G(D)|=7·9时，则由Sylow定理得P⊴N_G(D).这就推出N_G(D)≤N_G(P).从而

矛盾.

最后只需讨论|N_G(P)/C_G(P)|=6的情形.此时|G|=2·3²·5·7.由引理6可得，G是可解群.设N是G的极小正规子群.由引理7得N是初等交换p-群，因此|N|=7，5，3，2，9.

当|N|=7时，由于N⊴G，则G有一个正规的Sylow 7-子群，从而G有唯一的Sylow 7-子群，显然矛盾.

当|N|=5时，由于N⊴G，则M=PN是阶为5·7的子群.由Sylow定理可得P是M唯一的Sylow 7-子群，则P⊴M.因此

考虑群G/N，则

对任意的P，Q∈Syl_p(G)，且P≠Q，我们证明若PN=QN，有P=Q.假设PN=QN，因为P⊴PN，所以P是PN唯一的Sylow 7-子群.同理，Q是QN唯一的Sylow 7-子群.又因PN=QN，故P=Q.这就说明G/N的Sylow 7-子群的个数等于G的Sylow 7-子群的个数，矛盾于群G的极小性.

同理，|N|=3，2，9可得到矛盾.