根据图 1，车轮滚动距离S₁和轮心平面行驶距离S₂由下式计算得到：

式中：w为车轮转速，r/min；R为车轮有效半径，m；v为轮心速度，km/h.当S₁＜S₂时，车轮处于滑移状态，S₁＞S₂时处于滑转状态.若S₁与S₂相差较大，则会产生轮胎过度滑移或者滑转，导致车辆操纵稳定性下降、轮胎磨损、寿命降低.因此，为了解决前轮独立驱动电动汽车在转弯行驶或在不同附着系数路面行驶时的差速问题，本文对前轮独立驱动电动汽车电子差速控制策略进行了研究.

双电机前轮驱动汽车行驶过程中车身、车轮以及地面所受力和力矩情况(省略垂直方向作用力)如图 1所示.任意时刻车轮行驶动力学方程可以表示为

式中：I为车轮转动惯量，kg·m²；M_R为车轮驱动转矩，N·m；M_wheel为车轮质量，kg；F为车轮与车身之间作用力，N.

由式(2)可知，当车轮转速w与轮心速度v不协调时，便会产生相互作用力F自适应调节车轮转速w.因此，为了减小或消除由于车速与轮速不协调引起的附加在车辆质心上的力矩，针对传统的前轮独立驱动电动汽车等转矩电子差速控制策略^{[6-11, 40-42]}无法解决低附着系数路面出现滑转的问题，建立了一种新的驱动轮等功率分配电子差速控制策略，其原理如图 2.

电子差速策略首先对驾驶员需求转矩T进行等转矩分配，接着根据左、右驱动轮电机反馈转速(w₁和w₂)和初始平均分配转矩T/2，计算出左、右轮驱动电机需求功率P₁与P₂；然后依据驱动电机等功率分配原则，根据平均分配的功率(P₁+P₂)/2与实时反馈的左、右轮电机转速(w₁与w₂)，在满足整车驾驶员需求力矩T的约束下，对左、右轮驱动电机转矩进行调整，输出两侧驱动电机实际需求转矩T₁与T₂，计算方法如式(3)与式(4)所示.

如图 3所示为前轮独立驱动电动汽车电子差速控制系统结构图.首先，根据由VCU得到的方向盘转角信息、制动及加速踏板开度信息，基于驾驶员需求驱动力矩解析方法^[43]，得到需求转矩T，然后，以等功率分配为目标，将得到的需求转矩T分别分配给左、右驱动轮(T₁与T₂).最后，电机作为执行器，通过离散小波变换来控制IPMSM电机的电流，从而控制电机转矩，最终达到电子差速的目的.

d-q坐标系下，内置式永磁同步电机电压方程为

式中：u_d，u_q分别表示d轴电压和q轴电压；ψ_d，ψ_q分别表示d轴和q轴磁链；w为电角度；P为微分算子.

d-q坐标系下磁链方程为

式中：L_sd，L_sq分别为定子绕组的d轴和q轴电感；ψ_r为转子磁链.

电磁转矩由下式得到：

电机运动方程为

式(7)和式(8)中：J为电机转动惯量；B为阻尼系数；T_L为负载转矩；p_n为电机极对数.

IPMSM驱动控制策略中，d轴电流i_d通常设置为0，此时IPMSM磁阻转矩为0.然而，电感L_sq＞L_sd，为了重复发挥磁阻转矩的作用，当转速小于电机额定转速时，采用最大转矩电流比进行控制(MTPA)，此时i_d为^[32]

将式(9)带入式(7)中，得i_q和T_e之间的关系为^[35]：

当转速大于电机额定转速时，采用弱磁控制(FW)，忽略定子绕阻的电压降，此时i_d为^[32]

式(11)中，V_m^′为忽略定子绕阻电压降后的最大电压值，定义为

式(12)中，v_d0=-wL_sqi_q，v_q0=wL_sdi_d+wψ_r.

如图 4所示，为IPMSM最大转矩电流比控制(MTPA)与弱磁控制(FW)的基本原理图.首先，基于驾驶员需求转矩T，电机控制器分别产生相应的d、q轴目标电流(i_dref，i_qref)，输入给电流控制器，接着，电流控制器通过比较实际电流(i_d，i_q)与目标电流(i_dref，i_qref)的差值，得到d、q轴目标电压(v_dref，v_qref)，并基于反Park变换，得到α-β坐标系下的目标电压(v_αref，v_βref)，最终，基于电压空间矢量脉宽调制(SVPWM)，驱动IPMSM电机.

大多数文献采用传统的PI/PID控制器作为d，q轴电流控制器，由于小波控制器具有更优的处理非线性系统的能力，在此，选择离散小波变换(DWT)对IPMSM的电流进行控制.

小波变换能够通过任意伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度(多分辨率)的细化分析^{[38, 43]}.信号f(t)的离散小波变换为

式中，ψ_a，b(t)为离散小波函数；a为离散尺度因子；b为离散平移因子.

正交小波分析能够使WT_f(t)(a，b)完整重构原始信号f(t)，即通过对小波函数、尺度因子和平移因子进行特殊选择，得到一个时频定位特性良好的小波函数

在L²(R)中构成正交基，满足这种特性的ψ(t)便称为正交小波.

1986年，Mallat和Meyer提出了多分辨率分析方法，解决了正交小波难得到的问题.多分辨率分析按照标准的正交基(尺度函数空间和小波函数空间，尺度函数空间表述信号低频信息，小波函数空间表述信号高频信息)对信号f(t)进行表述^[33].信号f(t)的N级离散小波级数表述可以定义为^[37]

其中

式(14-16)中，$\overline {\varphi (t)} $与$\overline {\psi (t)} $分别为尺度函数φ(t)与小波函数ψ(t)的共轭.

定义离散电流偏差信号为

如图 5所示，针对偏差信号的离散小波变换主要包括低通滤波、高通滤波、下采样3个步骤，由此得到电流偏差信号的离散小波变换的一级分解近似部分与细节部分c¹，d^{1[33-34, 39, 44]}：

接着，c¹继续重复上述步骤，分别得到电流偏差信号离散小波变换的二级分解近似部分与细节部分c²，d^{2[33-34, 39, 44]}：

当达到设定的分解级数时，该分解过程停止，最终，得到经过S级分解后的离散信号为^[37]

式中：S=1，2，…，log₂N；dⁱ(i=1表示高频信号，i=2…S表示中频信号)；c^S表示低频信号.

基于PID的电机电流控制策略中，PID控制的比例、积分、微分参数分别作用于电流的偏差、偏差积分、偏差微分上，最终，对应得到电流的比例偏差、积分偏差、微分偏差，其中比例与积分作用于低频信号，微分作用于高频信号^{[37, 45]}.同样，通过对IPMSM电流偏差信号进行离散小波变换，也能够分别得到高、中、低频段信号.因此，基于离散小波变换的d，q轴电流控制器如图 6所示，具体表达式为

式(23)和图 6中，i_lref为目标电流；i_l为实际电流；e_l为电流偏差信号；v_lref为电流控制器输出；K_{d¹_l}K_{dⁱ_l}K_{c^S_l}分别为高频、中频、低频偏差信号，对应的偏差信号系数为e_{d¹_l}，e_{dⁱ_l}，e_{c^S_l}.

小波函数的类型和分解级数的选择对离散小波变换至关重要，分解级数决定了小波控制器增益的数目，在此，基于香农熵(Shannon entropy)原则，得到最佳分解级数^{[4-5, 33, 46]}，定义离散电流偏差信号的熵为

由此，可得到信号经过每级分解后的熵值，当满足以下条件时，可得到最优分解级数为p-1

一般根据要解决问题的需求及信号本身的特性对小波函数类型进行选择^[34].在此，基于最小描述长度(MDL)准则确定最佳小波函数类型，得到最佳保留分解系数的个数^{[33, 40, 46-48]}.

定义小波函数库为B={B₁，B₂，…，B_M}，由此可得到信号f的表达式为^[47]

式中：α_n^(k)表示分解系数矢量，k表示其包含系数的个数；W_n表示正交矩阵，其列向量为B_n，n表示小波函数库中小波函数的编号.

理论上来说，k值越小，数据量越少，计算则越简单，k值越大，则对真实信号的描述越详细，误差越小^[46]，在此，基于MDL准则对k值进行选择：

式中：N表示信号的长度；M表示小波函数库中小波函数的总数量；k表示信号f的小波分解系数矢量中非零系数的数目；ã_n=W_n^Tf为基于小波函数B_n的信号f小波分解系数矢量；α_n^(k)=Θ^(k)ã_n表示经过Θ^(k)运算后，得到只包括k个非零系数的信号f小波分解系数矢量.

式(27)中，第一项为罚函数，与分解系数k成正比关系，第二项为ã_n和α_n能量差的对数，与分解系数k成反比关系^[46].在此，将使得MDL达到最小值时的k值作为最佳保留小波分解系数的个数，同时，根据得到的MDL值查找其在小波函数库中对应的函数类型，即为最佳的小波函数类型.

在此，选择的小波函数库总量M=22，其中10个来自于Daubechies族，7个为Symlets族，5个来自Coiflets族，分别基于香农熵与MDL准则，得到最优小波函数类型为“db4”，最优分解级数个数为2，最终构建的基于离散小波变换的d，q轴电流控制器分别为

在电机控制系统中，电流信号属于低频信号，传感器噪声属于高频信号，通过减小高频信号对应系数可以降低传感器噪声引起的控制误差，通过增加低频信号对应系数则可以提高控制系统抗外界扰动的能力，提高控制系统的鲁棒性^[33].

为了验证本文建立的控制策略的有效性，基于Matlab/Simulink和Carsim联合仿真平台，建立前轮独立驱动电动汽车电子差速控制策略基本结构，如图 7所示.

在此，以Carsim中的B-class型车辆作为参考模型，车辆具体参数如表 1所示，同时，在进行联合仿真前，需要对Carsim的输入与输出参数进行选择，其具体的输入输出参数如表 2所示.

为了验证基于离散小波控制器的前轮独立驱动汽车电子差速系统性能，基于Matlab/Simulink和Carsim联合仿真平台，进行了不同行驶工况下整车性能仿真分析.

为了更详细地分析基于离散小波电流控制器的电子差速控制策略的性能，在此，同时对基于PID电流控制器的电子差速控制策略进行仿真.

图 8为初始车速30 km/h时，直线行驶工况下，加速踏板角阶跃输入时的仿真结果，具体仿真结果特征参数如表 3所示.仿真过程中，车辆处于水平路面直线行驶，左、右驱动轮电机转速相同，根据驱动轮等功率分配电子差速策略可知，仿真过程中左、右驱动轮目标转矩始终保持相同，且在0.1 s时阶跃至169.95 N·m. 图 8(a)为仿真过程中两种不同电子差速系统的驱动轮转矩仿真对比曲线，从图 8(b)驱动轮转矩局部放大中可以看出，电子差速系统采用PID电流控制器时，驱动轮转矩超调量(3.03 N·m)远大于采用离散小波变换电流控制器，且达到稳态转矩(170.41 N·m)的时间也更长(0.101 9 s).而基于小波控制器的电子差速系统，能够更好地跟随目标转矩，驱动轮转矩超调较小(1.15 N·m)，达到稳态驱动轮转矩(170.13 N·m)的时间也更短(0.101 5 s).

图 9为水平路面直线行驶时，车辆初始速度为30 km/h，加速踏板连续阶跃输入下的仿真曲线，仿真结果如表 3所示，仿真过程中，左、右驱动轮目标转矩相同，且在0.5 s时阶跃至169.95 N·m(30%开度)，1 s时阶跃至281.75 N·m(50%开度). 图 9(a)为仿真过程中两种不同电子差速系统的驱动轮转矩仿真对比曲线，对应的驱动电机A相电流仿真曲线如图 9(b)所示，图 9(c)为0.5 s阶跃至281.75 N·m(50%开度)时驱动轮转矩局部放大仿真曲线.从图 9(c)中可以看出，相比采用PID电流控制器的电子差速系统，采用基于小波控制的电子差速系统时，车辆的驱动轮转矩超调较小(0.43 N·m)，更快地达到稳态驱动轮转矩(281.86 N·m)，且稳态转矩误差更小.可见加速踏板连续阶跃输入时，相比标准的PID电流控制器，基于小波控制器的电子差速系统车辆的驱动轮转矩响应更加平滑、更加迅速.

根据前轮独立驱动电动汽车直线行驶时，不同加速踏板输入工况下的仿真曲线与表 3的仿真结果，可以看出，相比采用标准PID电流控制器的电子差速系统，基于小波控制器的电子差速系统展现出更小的转矩超调、更快的转矩响应，更小的稳态转矩误差，从而验证了基于小波控制器的电子差速系统的有效性、鲁棒性与更平滑控制性能.

为了对比基于小波控制器的电子差速系统和采用本文建立的驱动轮等功率分配电子差速策略时车辆的差速行驶性能，同时仿真分析了基于小波控制器的电子差速系统采用驱动轮等转矩分配电子差速策略时车辆的差速行驶性能，以及采用黏性限滑机械差速器的集中式驱动车辆的差速行驶性能.通过验证驱动轮滑转率是否处于稳定区域，即可验证差速行驶的可行性^[49-50].基于联合仿真平台，基于Carsim建立驾驶员模型与道路环境模型，仿真参数设置如表 4.

图 10为初始速度为60 km/h，驾驶员保持20%加速踏板开度，方向盘阶跃输入，分别采用等功率分配、等转矩分配电子差速策略的基于小波控制器电子差速系统汽车以及采用黏性限滑机械差速器的集中式驱动汽车仿真对比曲线. 表 5为3 s时阶跃工况仿真结果对比.如图 10(a)方向盘转角仿真曲线所示，仿真时间从0至1 s，车辆保持直线行驶，此时从图 10(b)驱动轮转矩仿真曲线和图 10(c)驱动轮滑转率仿真曲线中可见，分别采用两种不同电子差速策略的分布式驱动汽车与采用黏性限滑机械差速器的集中式驱动汽车的左右驱动轮转矩和驱动轮滑转率均相等.

1 s末时刻，方向盘转角开始阶跃至150°，如图 10(b)所示，采用等转矩分配电子差速策略的分布式驱动汽车左右驱动轮转矩始终保持为115.26 N·m；而采用等功率分配电子差速策略的分布式驱动汽车，左右驱动轮转矩发生不等分配，左驱动轮为114.84 N·m，右驱动轮转矩为115.68 N·m，相比黏性限滑机械差速器的驱动轮转矩差异，基于小波控制器的电子差速系统采用等功率分配电子差速策略时，驱动轮转矩差异较小.

1~3 s时间内的驱动轮滑转率如图 10(c)所示，可见转向时无论是采用黏性限滑机械差速器的集中式驱动汽车，还是采用两种不同电子差速策略的分布式驱动汽车，各驱动轮滑转率都迅速增大，且外侧驱动轮(左轮)滑转率大于内侧驱动轮(右轮)滑转率，但仿真过程中各驱动轮的滑转率均处于稳定区域，没有出现过度滑移与滑转.由此可见，分布式驱动汽车电子差速系统分别采用等转矩和等功率分配电子差速策略，转向时能够依靠车轮和车身或者车架之间的相互作用力，实现自适应差速功能.然而相比等转矩分配电子差速策略，采用等功率分配电子差速策略的车辆转向时，驱动轮转矩产生不等分配，转向差速性能更接近于黏性限滑差速器的差速行驶性能，同时降低了滑转率较大一侧驱动轮的滑转率，其中3 s时，相比等转矩分配电子差速策略的车辆左侧驱动轮滑转率，等功率分配电子差速策略的车辆左侧驱动轮滑转率降低了0.34%，黏性限滑机械差速器的车辆左侧驱动轮滑转率降低了2.53%.

图 11为不平路面直线行驶时仿真对比曲线，表 6为1.05 s时不平路面行驶工况仿真结果对比.仿真过程中，左侧驱动轮处于不平路面行驶，不平路面纵剖面如图 11(a)所示，右侧驱动轮处于水平道路行驶.从图 11(b)驱动轮滑转率和图 11(c)驱动轮速度仿真曲线仿真中可以看出，车辆行驶于不平路面时，分别采用两种电子差速策略的分布式驱动汽车能够和采用黏性限滑机械差速器的集中式驱动汽车一样，实现差速行驶，且驱动轮滑转率均处于稳定区域，没有出现过度滑移或者滑转.

如图 11(c)驱动轮速度仿真曲线和图 11(d)驱动轮转矩仿真曲线所示，等功率分配电子差速策略车辆的驱动轮转矩也出现不均等分配，且驱动轮转矩变化趋势与黏性限滑差速器车辆的驱动轮转矩变化趋势相同，而等转矩分配电子差速策略车辆的驱动轮转矩始终保持不变，验证了本文建立的基于小波控制器的电子差速系统的有效性.

1.02 s到1.07 s仿真时间过程中，驱动轮速度、转矩和滑转率仿真曲线如图 11(b)-11(d)所示，此时左驱动轮速度始终大于右驱动轮速度，同时等功率分配电子差速策略车辆的左侧电机驱动转矩始终大于等转矩分配电子差速策略车辆的左侧驱动电机转矩，对应驱动轮滑转率仿真曲线如图 11(b)所示，其中1.05 s时，相比等转矩分配电子差速策略车辆的左侧驱动轮滑转率，等功率分配电子差速策略车辆的左侧驱动轮滑转率降低了22.86%，采用黏性限滑机械差速器车辆的左侧驱动轮滑转率降低了41%，有效提高了不平路面行驶时，车辆的差速行驶性能与轮胎寿命.

1) 本文以前轮独立驱动电动汽车为研究对象，建立了一种基于离散小波变换的等功率分配电子差速控制策略.首先，针对传统驱动轮等转矩分配存在的缺陷，建立了一种新的驱动轮等功率分配电子差速控制策略模型，然后，针对传统PI/PID控制存在的问题，采用离散小波变换，设计了一种IPMSM电流控制器，最后，基于Matlab/Simulink和Carsim联合仿真平台，仿真分析了不同行驶工况下，验证了控制策略的性能.

2) 不同加速踏板输入的直线行驶性能仿真结果表明，相比采用PID电流控制器的电子差速系统，基于小波控制器的电子差速系统驱动轮转矩响应更快、稳态误差更小和鲁棒性更优.

3) 阶跃转向与不平路面行驶的差速行驶性能仿真结果表明，与黏性限滑机械差速器基本功能相同，分别采用两种电子差速策略的基于小波控制器的电子差速系统均能实现差速行驶的基本功能.相比采用等转矩分配电子差速策略，基于小波控制器的电子差速系统采用等功率分配电子差速策略时，能够与黏性限滑机械差速器一样，实现驱动轮转矩的不均等分配，同时降低了滑转率较大一侧驱动轮的滑转率，验证了本文建立的基于小波控制器的电子差速系车辆的差速行驶性能更优.