作为投射模的推广，文献[1]对双侧Noether环上的有限生成模定义了G-维数为0的模.文献[2]在一般环上引入了Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的概念.随后，Gorenstein同调代数受到了代数学界的广泛关注，并且已成为现代代数学中的一个重要研究领域.文献[3]引入了投射可解类和内射可解类的概念，证明了Gorenstein投射模是投射可解类，Gorenstein内射模是内射可解类.近年来，众多学者对这些Gorenstein同调模及其子类进行了细致的研究，例如，文献[4]研究了一类特殊的Gorenstein内射模，称之为Gorenstein FP-内射模，讨论了Gorenstein FP-内射模在右凝聚环上具有的良好性质.文献[5]研究了Gorenstein投射模的一个特殊子类——强Gorenstein平坦模.文献[6]分别把它们重新命名为Ding内射模和Ding投射模.文献[7]引入并研究了Gorenstein FP-投射模.此外，文献[8-9]对n-强Gorenstein AC投射模和Gorenstein fp-投射模进行了研究.文献[10]定义了模与环的FP-投射维数，并利用FP-投射模刻画了Noether环.文献[11]刻画了Gorenstein投射模范畴中的FP-投射模及维数.作为FP-投射模的推广，对任意整数n≥1，定义了FP_n-投射模：若对任意FP_n-内射右R-模N，有Ext_R¹(M，N)=0，则称右R-模M为FP_n-投射模.我们用FP_n-proj表示所有FP_n-投射右R-模组成的模类.

本文借助于FP_n-投射模类引入并研究了Gorenstein FP_n-投射模，阐明了该类模与其他模类之间的关系，并证明了Gorenstein FP_n-投射模类是投射可解的，进而讨论了该模类的稳定性.本文中所讨论的环均指有单位元的结合环，模指酉模，用Mod-R表示所有右R-模组成的范畴.

定义1^[12]  (a)设P为右R-模.若存在右R-模的正合列F_n→F_n-1→…F₁→F₀→P→0，其中每个F_i是有限生成的自由模(等价地，投射模)，则称右R-模P为n-表现模.

(b) 设M为右R-模.若对任意的n-表现右R-模P，均有Ext_R¹(P，M)=0，则称M为FP_n-内射模.

定义2^[7]  如果存在投射右R-模的正合列…P₁→P₀→P⁰→P¹…，使得M≌Ker(P⁰→P¹)，且对任意FP-投射右R-模Q，该序列在函子Hom_R(-，Q)作用下仍是正合的，则称右R-模M是Gorenstein FP-投射模.

定义3^[3]  设是R-模类.若包含所有的投射模，且对任意的短正合列0→X′→X→X″→0，其中X′∈，有X∈当且仅当X′∈，则称是投射可解的.

定义4  令M为右R-模，若存在投射右R-模的正合列

使得M≌Im (P₀→P⁰)，且对任意的FP_n-投射右R-模Q，Hom_R(P，Q)是正合的.则称M为Gorenstein FP_n-投射模.

注1   (a)由定义4即知，每个投射模都是Gorenstein FP_n-投射模.由于FP_n-完全投射分解的直和仍为FP_n-完全投射分解，因此，Gorenstein FP_n-投射模关于直和封闭.

(b) 对任意整数n≥1，由FP_n-投射模的定义可知，FP_n-投射模是介于投射模和FP-投射模之间的模类，从而有{Gorenstein FP-投射模}⊆{Gorenstein FP_n-投射模}⊆{Gorenstein投射模}.

(c) 若P=…P₁→P₀→P_-1→P_-2…是FP_n-完全投射分解，则由对称性可知，P的所有像、核和余核都是Gorenstein FP_n-投射模.进而，对任意FP_n-投射右R-模Q和任意整数i，有Ext_R¹(L_i，Q)=0，其中L_i=Im(P_iP_i-1).

引理1  设M是Gorenstein FP_n-投射右R-模，则：

(i) 对所有FP_n-投射维数有限的右R-模Q及任何i≥1，都有Ext_Rⁱ(M，Q)=0；

(ii) M为投射模，或者M的FP_n-投射维数无穷大.

证   (i)设M是Gorenstein FP_n-投射右R-模，则存在一个在函子Hom(-，FP_n-proj)作用下保持正合的右R-模正合列…P₁P₀→M→0，其中每个P_i是投射模.于是对任何FP_n-投射右R-模F及任何i≥1，都有Ext_Rⁱ(M，F)=0.再由维数转换易得，对任何的FP_n-投射维数有限的右R-模Q和任何i≥1，都有Ext_Rⁱ(M，Q)=0.

(ii) 不妨设FP_n-pd(M)≤m且1≤m < ∞.则存在一个在函子Hom(-，FP_n-proj)作用下仍保持正合的右R-模的正合列0→P_m→…→P₁→P₀→M→0，其中P₀，P₁，…，P_m-1是投射模，P_m是FP_n-投射的.令K=Ker(P₀→M)，则FP_n-pd(K)≤m-1.再由(i)即知Ext_R¹(M，K)=0.故正合列0→K→P₀→M→0是分裂的，从而M是投射模.

推论1  右R-模M是投射模当且仅当M是FP_n-投射模且又是Gorenstein FP_n-投射模.

引理2  设M是右R-模，Q是FP_n-投射右R-模.若对任意正整数i有Ext_Rⁱ(M，Q)=0，则对M的任意投射分解，Hom_R(，Q)是正合的.

证  不妨设=…→P₁→P₀→M→0为M的投射分解.令K_i=Ker(P_i→P_i-1)(i≥0)，其中M=P_-1.则有下面的正合列

对任意整数i≥0，有同构Ext_R¹(K_i，Q)≌Ext_R²(K_i-1，Q)≌…≌Ext_Rⁱ⁺¹(K₀，Q)≌Ext_Rⁱ⁺²(M，Q)=0.于是得上面短正合列在Hom_R(-，Q)作用下仍保持正合.将这一系列短正合列接起来可得长正合列0→Hom_R(M，Q)→Hom_R(P₀，Q)→Hom_R(P₁，Q)→….因此，Hom_R(，Q)是正合的.

命题1  设M是右R-模.则M是Gorenstein FP_n-投射模当且仅当存在右R-模的正合列0→M→P→N→0，其中P是投射模，N是Gorenstein FP_n-投射模.

证  必要性  由注1(c)可得.

充分性  设0→M→P→N→0是右R-模的短正合列，其中P是投射模，N是Gorenstein FP_n-投射模.于是又存在右R-模的正合列

其中每个P_i是投射模，且对任意FP_n-投射右R-模Q，正合列(1)在函子Hom_R(-，Q)作用下仍是正合的.用Hom_R(-，Q)作用于正合列0→M→P→N→0，再由注1(c)可得正合列0→Hom_R(N，Q)→Hom_R(P，Q)→Hom_R(M，Q)→0，进而对任意i≥1，有Ext_Rⁱ(M，Q)≌Ext_Rⁱ⁺¹(N，Q)=0.下面考虑模M的投射分解

令K_i=Im(P_i→P_i-1)(i≥1).根据引理2的证明得，对任意FP_n-投射右R-模Q及任意整数i≥1，有Ext_Rⁱ(K_j，Q)≌Ext_R^i+j(M，Q)=0.于是正合列(2)在函子Hom_R(-，Q)作用下仍是正合的.将正合列0→M→P→N→0与序列(1)，(2)粘合起来即得右R-模的正合列…P₁P₀PP⁰P¹…，其中M≌Ker(P→P¹)，且对任意FP_n-投射右模Q，该序列在Hom_R(-，Q)作用下保持正合.因此，M是Gorenstein FP_n-投射的.

命题2  若每个右R-模都是Gorenstein FP_n-投射的，则R是QF-环.

证  设M是内射右R-模.则M是Gorenstein FP_n-投射模.由命题1知，存在右R-模的正合列0→M→P→N→0，其中P是投射模，N是Gorenstein FP_n-投射模.由于M是内射模，故有Ext_R¹(N，M)=0，即该正合列可裂.所以M是投射的，从而R是QF-环.

定理1   Gorenstein FP_n-投射右R-模类是投射可解的.

证  显然，Gorenstein FP_n-投射右R-模类包含所有投射模.现在设$0 \to {M^\prime }\mathop \to \limits^f \to M\mathop \to \limits^g {M^{\prime \prime }} \to 0$是右R-模的短正合列，其中M″是Gorenstein FP_n-投射的.下面证明M是Gorenstein FP_n-投射模当且仅当M′是Gorenstein FP_n-投射模.

设M′是Gorenstein FP_n-投射右R-模.则存在以下两个右R-模的正合列：

其中每个P′_i，P″_i是投射的，且对任意FP_n-投射右R-模Q，上面两序列在Hom_R(-，Q)作用下保持正合.考虑下面的推出图

其中λ是嵌入映射，π是标准投影映射.由注1(c)可得，Ext_R¹(M″，Q)=0.注意到每个投射模都是FP_n-投射的，从而Hom_R(M，P′₀)→Hom_R(M′，P′₀)→0是正合的.故存在映射σ：M→P′₀，使得α=σf.定义γ：M→P′₀⊕P″₀，即对⊕任意的x∈M，γ(x)=(λσ(x)，βg(x)).显然，γ是R-模同态且使得推出图为交换图.重复上面的方法继续做下去，则得正合列

再由文献[15]的定理6.3可知，Hom_R(-，Q)保持序列(3)正合.

再设M的投射分解为

对任意FP_n-投射右R-模Q和任意正整数i，由序列Ext_Rⁱ(M″，Q)→Ext_Rⁱ(M，Q)→Ext_Rⁱ(M′，Q)的正合性可得Ext_Rⁱ(M，Q)=0.再利用引理2即得，Hom_R(-，Q)保持序列(4)正合.将正合列(3)和(4)粘接起来即得投射右R-模的正合列

使得M=coker(P₁P₀)，且正合列(5)在函子Hom_R(-，Q)作用下仍是正合的.因此，M是Gorenstein FP_n-投射右R-模.

现在设M是Gorenstein FP_n-投射右R-模.由命题1知，存在右R-模的正合列0→M→P→N→0，其中P是投射模，N是Gorenstein FP_n-投射的.考虑推出图

在短正合列0→M″→C→N→0中，由于M″和N是Gorenstein FP_n-投射的，故由前面的证明可得，C亦是Gorenstein FP_n-投射的.考虑第二行正合列0→M′→P→C→0，再由命题1得，M′是Gorenstein FP_n-投射模.

推论2   Gorenstein FP_n-投射右R-模类关于直和项封闭.

证  设M是Gorenstein FP_n-投射右R-模，A是M的直和项.则存在右R-模B，使得M=A⊕B.由注1(a)可知，Gorenstein FP_n-投射模关于直和封闭，于是令C=A⊕B⊕A⊕B⊕…，则C是Gorenstein FP_n-投射模.注意到C≌A⊕C，即得A⊕C是Gorenstein FP_n-投射的.考虑下面的分裂正合列0→A→A⊕C→C→0，再由定理1可得，A是Gorenstein FP_n-投射模.

命题3  设0→M→K₀→K₁→N→0是右R-模正合列，其中K₀，K₁是Gorenstein FP_n-投射模.则有正合列0→M→K′→P→N→0和0→M→Q→K→N→0，其中P，Q是投射模，K，K′是Gorenstein FP_n-投射模.

证  因为K₁是Gorenstein FP_n-投射右R-模，故存在右R-模的正合列0K₂PK₁0，其中P是投射模，K₂是Gorenstein FP_n-投射模.令H=Im(K₀K₁)，考虑拉回图

和拉回图

在正合列0→K₂→K′→K₀→0中，因为K₀，K₂是Gorenstein FP_n-投射模，故K′是Gorenstein FP_n-投射模.于是粘合短正合列0→D→P→N→0与0→M→K′→D→0，即得正合列0→M→K′→P→N→0，其中P是投射模，K′是Gorenstein FP_n-投射模.

同理，可得正合列0→M→Q→K→N→0，其中Q是投射模，K是Gorenstein FP_n-投射模.

定理2  设m≥1，且0→A→K_m-1→…→K₁→K₀→N→0是右R-模的正合列，其中每个K_i是Gorenstein FP_n-投射模.则存在右R-模的正合列0→B→P_m-1→…P₁→P₀→N→0和0→K→B→A→0，其中每个P_i是投射模，K是Gorenstein FP_n-投射模.

证  对m用归纳法.若m=1，则有右R-模正合列0AK₀N0，其中K₀是Gorenstein FP_n-投射模.可知，有正合列0KP₀K₀0，其中P₀是投射模，K是Gorenstein FP_n-投射模.此时，根据下面的拉回图即得证：

现在设m≥2，且0→A→K_m-1→…K₀→N→0是右R-模的正合列，其中K_i是Gorenstein FP_n-投射模.令M=Ker(K₁→K₀).则有正合列0→M→K₁→K₀→N→0.由命题3知，存在右R-模的正合列0→M→K′₁→P₀→N→0，其中P₀是投射模，K′₁是Gorenstein FP_n-投射模.记N′=Im(K′₁→P₀)，则粘合正合列0→A→K_m-1→…→K₂→M→0与0→M→K′₁→N′→0，可得正合列0→A→K_m-1→…→K₂→K′₁→N′→0.再由归纳假设，可得结论成立.

本文最后讨论Gorenstein FP_n-投射模范畴的稳定性.记={M∈Mod-R|存在一个在函子Hom_R(-，FP_n-proj)作用下保持正合的Gorenstein FP_n-投射右R-模的正合列…G₁→G₀→G_-1→G_-2→…，使得M≌coker(G₁→G₀)}.

引理3  设M是右R-模.则M有一个Hom_R(-，FP_n-proj)保持正合的右R-模正合列…→G₁→G₀→M→0，其中每个G_i是Gorenstein FP_n-投射模，当且仅当M有一个Hom_R(-，FP_n-proj)保持正合的右R-模正合列…→P₁→P₀→M→0，其中每个P_i是投射模.

证  充分性  显然成立.

必要性  设…→G₁→G₀→M→0是一个Hom_R(-，FP_n-proj)保持正合的右R-模正合列，其中每个G_i是Gorenstein FP_n-投射模.令K₁=Ker(G₀→M)，K₂=Ker(G₁→G₀).则有正合列…→G₂→G₁→K₁→0，0→K₁→G₀→M→0及0→K₂→G₁→K₁→0，且对任意FP_n-投射右R-模Q，它们在函子Hom_R(-，Q)作用下仍是正合的.由于G₀是Gorenstein FP_n-投射模，故存在短正合列0→G′→P→G₀→0，其中P是投射的，G′是Gorenstein FP_n-投射的.考虑拉回图

则所有行与列在函子Hom_R(-，Q)作用下均是正合的.再考虑拉回图

在正合列0→G′→G′₁→G₁→0中，由于G′，G₁是Gorenstein FP_n-投射的，故利用定理1可知，G′₁是Gorenstein FP_n-投射模.注意到0→K₂→G′₁→B→0在函子Hom_R(-，FP_n-proj)作用下保持正合，于是B有一个Hom_R(-，FP_n-proj)保持正合的右R-模正合列…→G₃→G₂→G′₁→B→0，其中每个G_i和G′₁是Gorenstein FP_n-投射模.继续重复上面的证明过程，可得结论成立.

对偶地，可得下面的结论：

引理4  设M是右R-模.则M有一个Hom_R(-，FP_n-proj)保持正合的右R-模正合列0→M→G⁰→G¹→…，其中每个Gⁱ是Gorenstein FP_n-投射模，当且仅当M有一个Hom_R(-，FP_n-proj)保持正合的右R-模正合列0→M→P⁰→P¹→…，其中每个Pⁱ是投射模.

定理3  对任意环R和任意整数n≥1，我们有.

证  显然，每个投射模都是Gorenstein FP_n-投射的，故有.

现在设.则存在Gorenstein FP_n-投射右R-模的正合列…→G₁→G₀→G_-1→G_-2→…，使得M≌Im(G₀→G₀)，且对任意FP_n-投射右R-模Q，该正合列在Hom_R(-，Q)作用下保持正合.再利用引理3和引理4可得，存在一个投射右R-模的正合列…→P₁→P₀→P_-1→ P_-2→…，使得M≌Im(P₀→P_-1)，且对任意FP_n-投射右R-模Q，该序列在Hom_R(-，Q)作用下仍保持正合.故M是Gorenstein FP_n-投射的.