本节给出ASN(α)的Mills型不等式、1-F_α的渐近展开、ASN(α)极值的极限分布与规范化常数，最后给出了极值分布的收敛速度.

定理1   当α≠0且$ x>\sqrt{1+\sqrt{2}}$时，有以下不等式成立

证   当x>0时，有$x\left(1-F_{a}(x)\right) <\int_{x}^{\infty} t f_{a}(t) \mathrm{d} t $.令函数

可得g(t)最大值为$ {1 + \sqrt 2 }$，由分部积分得

当$ x>\sqrt{1+\sqrt{2}}$时，由式(3)得式(2)右端不等式.

另一方面，因为$x^{-2}\left(1-F_{a}(x)\right)>\int_{x}^{\infty} t^{-2} f_{a}(t) \mathrm{d} t $，那么由分部积分可得

由g(t)最小值为$ 1 - \sqrt 2 $可得

那么

得式(2)左端不等式成立.定理证毕.

对标准正态分布，当x充分大时，有$1-\mathit{\Phi}(x)=\frac{\varphi(x)}{x}\left(1+O\left(x^{-2}\right)\right) $，其中Φ(x)，φ(x)分别为标准正态分布的分布函数与密度函数.对于ASN(α)有类似的结果.

定理2  当x充分大时，有

证   由分部积分得

使用洛必达法则知，

故对充分大的x，式(3)成立.定理证毕.

定理1与定理2均可得下面的Mills型比率.

推论1   对充分大的x，有

本节将给出ASN(α)极值的极限分布以及在相应规范化常数下极值分布的收敛速度.

定理3   取规范化常数a_n，b_n为

则$ F_{a}^{n}\left(a_{n} x+b_{n}\right) \rightarrow \mathit{\Lambda}(x)=\exp (-\exp (-x))$，并且有以下收敛速度

证   令$u_{n}=\alpha_{n} x+\beta_{n} $，由文献[8]中定理1.5.1，可取$1-F_{a}\left(u_{n}\right)=\frac{1}{n} \exp (-x) $，则当$n \to \infty $时${u_n} \to \infty $.由式(4)可得当n充分大时，有$ \frac{n}{u_{n}} f_{a}\left(u_{n}\right)\left(1+O\left(\left(u_{n}\right)^{-2}\right)\right)=\exp (-x)$，那么

两边同时除以u_n²得到

可得$u_{n}^{2} \sim 2 \log n $，进一步得$\frac{2 \log n}{u_{n}^{2}}=1+O\left(\frac{\log \log n}{\log n}\right) $.因此，

将式(9)，(10)代入式(7)中，计算可得

那么

由文献[8]定理1.5.1有$F_{a}^{n}\left(\alpha_{n} x+\beta_{n}\right) \rightarrow \mathit{\Lambda}(x) $，又因为$a_{n}^{-1} \alpha_{n}=1, a_{n}^{-1}\left(\beta_{n}-b_{n}\right) \rightarrow 0 $，根据文献[8]定理1.2.3可得

下证式(6).令$u_{n}^{\prime}=a_{n} x+b_{n} $，那么由式(5)可得

由式(4)可得，当n充分大时

将

带入式(11)，可得

则对于$ \tau(x)=\exp (-x)$，有

最后，由文献[8]定理2.4.2可得

定理证毕.