(3) 式显然是一个非线性微分方程.不过，在θ较小时，近似地有sinθ≈θ，方程可写为线性微分方程：

满足方程(4)的运动称为简谐振动^[1].这也就是常说的单摆小角度摆动是简谐振动，而随着摆角的增加逐渐变为非简谐振动.

本研究将找出误差小于10^-3时，θ在多少弧度范围内sinθ≈θ成立，并以此作为单摆是否做简谐振动的分界点.

函数y=sinx的泰勒展开法^[3]为

其中0 < θ < 1，x∈(-∞，+∞).

又当m=1时，sinθ≈θ，使其绝对误差满足

只需|x| < 0.181 6即单摆初始角度θ∈(-0.181 6，0.181 6)时，可得sinθ≈θ.

由以上论述可得，0.181 6 rad(约等于10°)是单摆做简谐振动的角度分界点，与文献^{[5, 9]}得到的结论一致.本文将认为θ∈(-0.181 6，0.181 6)时，单摆动力学方程是线性的，可利用常微分方程理论^[6]的相关知识解决问题，而当θ>0.181 6时，单摆动力学方程是非线性的，此时需采用Runge-Kutta算法^[7]解决问题；同样，对于负角度θ < -0.181 6的情况也可直接利用此方法，本研究只对前者进行论述.

① 单摆自由振动θ-t曲线

由图 2可以看出，3条单摆自由振动θ-t曲线的峰值保持在同一水平线上，说明单摆的自由振动是一个振幅不变的周期性振动；不同初始角度振幅不同，初始角度越大，振幅越大，周期越长，频率越小；从此图像可以看出小角度单摆的θ-t曲线是标准的正弦曲线，而初始角度θ₀= $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$和θ₀= $\frac{15\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{18}$的θ-t曲线不满足正弦规律，但是这种区别不是特别明显.

② 单摆自由振动ω-t曲线

由图 3可以看出，角速度随时间呈现周期性变化，初始角度越大，曲线幅度越大，周期也越大；从图 3还可以明显地看出小角度单摆的ω-t曲线在其平衡位置附近按正弦规律作往复运动，是标准的简谐波，而初始角度θ₀= $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$和θ₀= $\frac{15\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{18}$的ω-t曲线明显不满足正弦规律，其中初始角度θ₀= $\frac{15\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{18}$的曲线变形非常明显.

③ 单摆自由振动ω-ω₀·θ曲线

由图 4(其中，ω₀= $\sqrt{\frac{g}{l}}$是固有频率)可以看出，3条曲线都是封闭的，这说明单摆的自由振动是振幅不变的周期性振动.而且曲线的曲率半径随初始角度的增大而增大，说明初始角度越大，角速度变化幅度越大，周期也越大；此图像还可以明显地看出小角度关系曲线是圆，而随初始角度的增加曲线逐渐变为椭圆，最后变为卵形，这一变化非常明显.这与文献[8]得到的结论类似.

④ 单摆自由振动E_k-t曲线

由图 5可以看出，3条E_k-t曲线的最大值保持不变，说明单摆的自由振动是一个振幅不变的周期性振动，振动过程中没有能量的损失，而且不同初始角度的单摆能量不同，初始角度越大，动能越大；另一方面，从此图像可以明显地看出小角度单摆的E_k-t曲线的波峰和波谷是上下对称的形状，而初始角度θ₀= $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$曲线的波峰和波谷部分曲线明显不对称，波峰较窄波谷较宽，初始角度θ₀= $\frac{15\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{18}$曲线的波峰和波谷部分宽窄区别更加明显.

由不同角度下的单摆自由振动θ-t，ω-t，ω-ω₀·θ和E_k-t图像来看，小角度单摆自由振动是简谐振动，而大角度振动就成为了非简谐振动. 4个图像中，反应效果明显程度的排序是E_k-t，ω-ω₀·θ，ω-t，θ-t；其中E_k-t关系图是因为将角速度平方后的效果，所以区别最显著；ω-ω₀·θ图像可称为相图，图线的形状更有利于直观的判断；ω-t关系图中只有超大角度曲线有明显的变形.

利用Runge-Kutta方法并结合Matlab软件分析单摆系统的方法，精度高，误差小.单摆自由振动时，小角度振动与大角度振动的分界点是0.181 6 rad.也就是说，当单摆初始角度θ₀ < 0.181 6时，可以认为单摆在做简谐振动，而当单摆初始角度θ₀>0.181 6时，单摆的运动变为非简谐振动(负角度也如此).另外，分析图像差异可以看出，E_k-t，ω-t和ω-ω₀·θ图中各曲线之间的差异较θ-t中更明显，因此在教学中可以用图像比较的方法来证明小角度单摆自由振动为简谐振动而大角度振动为非简谐振动.