定义1   设$\mathscr{A}$为双完备的Abel范畴, 复形

可记为(M, d)或简写为M.Ker d_n^M称为n-循环, 记为Z_n(M); Im d_n+1^M称为n-边缘, 记为B_n(M).Z_n(M)/B_n(M)称为第n个上同调对象, 记为H_n(M).设C_n(M)=Coker d_n+1^M.将M的平移记为ΣM.

$\mathscr{A}$中的复形范畴记为$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$).设M是$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)中的对象, 对于整数n, M的左硬截断和右硬截断分别为

定义M的上确界和下确界分别为

约定: 若M正合, 则sup M=-∞或inf M=∞.若复形M存在上确界, 则称M是上有界复形; 若复形M存在下确界, 则称M是下有界复形.

定义2  设$\mathscr{X}$, $\mathscr{Y}$是$\mathscr{A}$中对象的类, 如果($\mathscr{X}$, $\mathscr{Y}$)是$\mathscr{A}$中的余挠对, 则

如果余挠对($\mathscr{X}$, $\mathscr{Y}$)是完备的, 则对于$\mathscr{A}$中的任意对象A, 存在正合序列

其中Y, Y′∈$\mathscr{Y}$, X, X′∈$\mathscr{X}$.如果余挠对($\mathscr{X}$, $\mathscr{Y}$)是遗传的, 则对∀ i≥1, X∈$\mathscr{X}$, Y∈$\mathscr{Y}$, 有Ext_Aⁱ(X, Y)=0.

定义3^[9]  设($\mathscr{X}$, $\mathscr{Y}$)是$\mathscr{A}$中的余挠对, M是$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)中的对象.

(a) 如果M是$\mathscr{X}$复形, 则M是正合的, 且对于任意整数n, Z_n(M)∈$\mathscr{X}$;

(b) 如果M是$\mathscr{Y}$复形, 则M是正合的, 且对于任意整数n, Z_n(M)∈$\mathscr{Y}$;

(c) 如果M是dg$\mathscr{X}$复形, 则对于任意整数n, M_n∈$\mathscr{X}$, 且当Y是$\mathscr{Y}$复形时, 任意的链映射f: M→Y是零伦链映射;

(d) 如果M是dg$\mathscr{Y}$复形, 则对于任意整数n, M_n∈$\mathscr{Y}$, 且当X是$\mathscr{X}$复形时, 任意的链映射f: X→M是零伦链映射.

$\mathscr{A}$为双完备的Abel范畴, ($\mathscr{X}$, $\mathscr{Y}$)是$\mathscr{A}$中的完备遗传的余挠对. $\tilde{\mathscr{X}}$是$\mathscr{X}$复形的类, $\tilde{\mathscr{Y}}$是$\mathscr{X}$复形的类, $dg\tilde{\mathscr{X}}$是dg$\mathscr{X}$复形的类, $dg \tilde{\mathscr{Y}}$是dg$\mathscr{X}$复形的类, 由文献[10-11]可得, 由($\mathscr{X}$, $\mathscr{Y}$)诱导的余挠对 $(\tilde{\mathscr{X}}, d g \widetilde{\mathscr{Y}}), (d g \tilde{\mathscr{X}}, \widetilde{\mathscr{Y}})$是完备遗传的.

定义4  $\mathscr{A}$中的一个完全$\mathscr{Y}$-余分解是指Hom_{$\mathscr{A}$}($\mathscr{X}$∩$\mathscr{Y}$, -)正合的正合列

其中Y_i∈$\mathscr{Y}$.若存在一个完全$\mathscr{Y}$-余分解, 使得 $N \cong \operatorname{Ker}\left(Y_{-1} \longrightarrow Y_{-2}\right)$, 则N∈$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$).

定义5  设N是$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)中的复形.

(a) 称拟同构N→Y是N的 $d g \widetilde{\mathscr{Y}}$-余分解, 其中Y∈ $d g \widetilde{\mathscr{Y}}$;

(b) 如果拟同构N→Y是N的真 $d g \widetilde{\mathscr{Y}}$-余分解, 则对于任意Y′∈ $d g \widetilde{\mathscr{Y}}$, 有Hom_{$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)}(Y, Y′)→Hom_{$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)}(N, Y′)→0正合;

(c) 若存在真 $d g \widetilde{\mathscr{Y}}$-余分解N→Y, 其中inf Y≥-n, 且对于任意j≤-n, Z_j(Y)∈$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$), 则对于任意整数n, $\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$)-dim N≥-n.

设N是$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)中的任意复形, 因为余挠对 $(\widetilde{\mathscr{X}}, d g \widetilde{\mathscr{Y}})$是完备的, 所以N存在真 $d g \widetilde{\mathscr{Y}}$-余分解.

定理1  设N是$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)中的复形, n为整数, 则以下结论等价:

(i) $\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$)-dim N≥-n;

(ii) inf N≥-n, 且对于任意的 $d g \widetilde{\mathscr{Y}}$-余分解N→Y, Z_-n(Y)∈$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$).

证    必要性    显然.

充分性  因为$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$)-dim N≥-n, 所以假设N的一个真 $d g \widetilde{\mathscr{Y}}$-余分解为N→Y′, 其中Z_-n(Y′)∈$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$), inf(Y′)≥-n.由拟同构可知inf N≥-n.设N→Y是N的一个 $d g \widetilde{\mathscr{Y}}$-余分解, 则有交换图

其中s为拟同构, 对于Y′, 有单的链映射Y′→Y, 其中 $\bar{Y} \in \widetilde{\mathscr{Y}} \subseteq d g \widetilde{\mathscr{Y}}$.有推出图

所以存在短正合列0→Y′→Y⊕Y→K→0, 其中K∈ $\tilde{\mathscr{Y}}$ .从而有短正合列0→Z_-n(Y′)→Z_-n(Y⊕Y)→Z_-n(K)→0.而Z_-n(K), Z_-n(Y)∈$\mathscr{Y}$, Z_-n(Y′)∈$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$), 由此可得Z_-n(Y)∈$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$).

定义6  设N是$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)中的复形.称复形序列 $N \stackrel{\pi}{\longrightarrow} Y \stackrel{\tau}{\longrightarrow} T$是N在$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)中的Tate $\mathscr{Y}$-余分解, 其中π是真 $d g \widetilde{\mathscr{Y}}$-余分解, T是完全$\mathscr{Y}$-余分解, 当i≪0时, τ_i是双射.

定理2  设N, N′是$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)中有有限$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$)-余分解维数的复形, 对于任意链映射μ: N→N′, 存在唯一的同伦链映射μ, 使得以下左边方框可交换:

对于任意的μ, 存在唯一的同伦链映射$\hat \mu$ , 使得右边方框同伦交换.此交换图上下两行分别是N和N′的Tate $\mathscr{Y}$-余分解, 若μ=id_N, 则μ和$\hat \mu$ 是同伦等价的.

证  对于N, 存在短正合列0→L→X→N→0, 其中X∈ $\tilde{\mathscr{X}}$, L∈dg $\tilde{\mathscr{Y}}$.对于X, 存在短正合列0→X→Y→K→0, 其中Y∈ $\tilde{\mathscr{Y}}$, K∈dg $\tilde{\mathscr{X}}$.考虑推出图

同理, 对于N′, 有推出图

因为ι: X→N是dg $\tilde{\mathscr{X}}$-预覆盖, 则有交换图

因为π′: X′→Y′是dg $\tilde{\mathscr{Y}}$-预包络, 且有交换图

所以可得交换图

因此有交换图

所以对∀ i≤inf{$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$)-dim N, $\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$)-dim N′}, τ_i, τ′_i是双射.由此可得交换图

因此得到了定理2所期望的交换图.

推论1  设N是$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)中的复形, n为整数, 则以下结论等价:

(i) G(Y)-dim N≥-n;

(ii) inf N≥-n, 且存在N的Tate $\mathscr{Y}$-余分解 $N \stackrel{\pi}{\longrightarrow} Y \stackrel{\tau}{\longrightarrow} T$, 使得Z_-n(Y)∈ $\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$), 特别地, 有 $\mathscr{G}(\mathscr{Y})-\operatorname{dim} N=\inf \left\{l \in \mathbb{Z} \mid N \stackrel{\pi}{\longrightarrow} Y \stackrel{\tau}{\longrightarrow} T\right. 是 \mathrm{Tate} \;\mathscr{Y} -余分解，使得 i \leqslant-l, \tau_{i} 为双射 \}$

定义7  设N是$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)中有有限$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$)-余分解维数的复形, 如果 $N \stackrel{\pi}{\longrightarrow} Y \stackrel{\tau}{\longrightarrow} T$是N的Tate $\mathscr{Y}$-余分解, 则对于任意整数n, N的第n个Tate上同调群为

态射Hom_{$\mathscr{A}$}(M, τ): Hom_{$\mathscr{A}$}(M, Y)→Hom_{$\mathscr{A}$}(M, T)诱导的Abel群同态为

注1  (i)根据定理2可知, 对于任意的整数n, Tate上同调函子的定义与Tate分解无关;

(ii) 设N的Tate $\mathscr{Y}$-余分解为 $N \stackrel{\pi}{\longrightarrow} Y \stackrel{\tau}{\longrightarrow} T$, 考虑Y的Tate Y-余分解为 $Y \stackrel{i d_{Y}}{\longrightarrow} Y \stackrel{\tau}{\longrightarrow} T$, 则对于任意的整数i和任意的复形M, 有 $\overline{\mathrm{Ext}}_{\mathscr{Y}\mathscr{A}}^{i}(M, N) \cong \overline{\mathrm{Ext}}_{\mathscr{Y}\mathscr{A}}^{i}(M, Y)$.

引理1  设 $0 \longrightarrow N \longrightarrow N^{\prime} \longrightarrow N^{\prime \prime} \longrightarrow 0$是$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)中的正合序列, 若$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$)-dim N和$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$)-dim N″有限, 则有交换图

使得列分别为N, N′和N″的Tate $\mathscr{Y}$-余分解.

证  证明与文献[12]的命题4.8对偶, 在此不详细证明.

定理3  设M是$\mathscr{C}$($\mathscr{A}$)中的复形, 考虑以下正合复形序列:

(i) 若$\mathbb{X}$是有有限$\mathbb{G}$($\mathbb{Y}$)-余分解维数的正合复形序列, 则对于任意的整数n, 存在在M与$\mathbb{X}$上自然的同态 $\bar{\chi}^{n}(M, \mathbb{X})$, 使得序列

是正合的, 且链映射

满足 $\bar{\chi}^{n}(M, \mathbb{X}) 。 \overline{\mathscr{A}}_{\varepsilon}^{n}\left(M, N^{\prime \prime}\right)=\overline{\mathscr{A}}_{\varepsilon}^{n+1}(M, N) 。 \bar{\chi}^{n}(M, \mathbb{X})$.

(ii) 若M是有有限$\mathscr{G}$($\mathscr{Y}$)-余分解维数的复形, 则对于任意的整数n, 存在在M与$\mathbb{X}$上自然的同态 $\bar{\chi}^{n}(M, \mathbb{X})$, 使得序列

满足 $\bar{\chi}^{n}(\mathbb{X}, M) 。 \overline{\mathscr{A}}_{\varepsilon}^{n}(N, M)=\overline{\mathscr{A}}_{\varepsilon}^{n+1}\left(N^{\prime \prime}, M\right)。 \bar{\chi}^{n}(\mathbb{X}, M)$.

证  (i)用Hom_{$\mathscr{A}$}(M, -)作用引理1中交换图的下两行, 可得交换图

其中行是正合的, 第二行诱导同调的正合序列是我们所期望得到的长正合序列.由图的交换性得到了链映射的合成.在M上的自然性显然.取态射 $\mathbb{X} \longrightarrow \overline{\mathbb{X}}$, 可得交换图

用Hom_{$\mathscr{A}$}(M, -)作用以上交换图, 可得交换图

所以可得在$\mathbb{X}$上的自然性.

(ii) N的一个Tate $\mathscr{Y}$-余分解 $N \stackrel{\pi}{\longrightarrow} Y \stackrel{\tau}{\longrightarrow} T$所诱导的复形的交换图为

其中行是正合的, 第二行诱导同调的正合序列是我们所期望得到的长正合序列.由图的交换性得到了链映射的合成.在$\mathbb{X}$上的自然性是显然的, 由定理2可得在M上的自然性.