引理1^[9]  对任意n≥1, 下述不等式成立：

其中c > 0为与n无关的常数.

引理2^[9]  设f, g为$\mathbb{R}$上的两个光滑函数，对任意n≥1, 下述关系式成立：

令Stokes-Ossen核为 $E(\boldsymbol{x}, t)=\widetilde{P} \mathit{\Gamma} (\boldsymbol{x}, t)$, 其中$\widetilde{P}$为$\mathbb{R}$^d内的Leray-Hopf投影， $\mathit{\Gamma}=(4 \pi t)^{-\frac{d}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{|x|^{2}}{4 t}}$为热核. E为具有半群性质的齐次热方程的解，且 $E(\boldsymbol{x}, t)=t^{-\frac{d}{2}} E\left(\frac{\boldsymbol{x}}{\sqrt{t}}, 1\right)$, 其中E(·, 1)为$\mathbb{R}$^d内与 $\frac{C}{|\boldsymbol{x}|^{d}}$(x→∞) 衰减速率相同的光滑函数. 此外，(∂_tE)(x, 1)与 $\frac{C}{|\boldsymbol{x}|^{d+2}}(\boldsymbol{x} \rightarrow \infty)$衰减速率相同，(∇E)(x, 1)与 $\frac{c}{|\boldsymbol{\boldsymbol{x}}|^{d+1}}(x \rightarrow \infty)$衰减速率相同^[13]. 于是，对任意t > 0和整数k≥1有

其中C₂≥1为常数. 由Leibniz公式^[15]可得

其中C₃≥1为常数.

引理3  在定理1条件成立的前提下，对任意整数n≥1有

其中N≥1为充分大的常数.

证  因为u是问题(1)的温和解，所以对任意t∈(0, 1]有

其中*为空间卷积. 因为

所以

由(2)和(9)式，可得

其中N≥1为充分大的常数. 估计I₂之前，先将其作一个简单的变形，即

所以

由(2)和(4)式可得对任意整数k=1, 2, …, n-1有

以及k=n时有

其中N≥1为充分大的常数. 于是

由(2), (6), (10), (14), (15)式和引理1, 可得

其中N≥1为充分大的常数. 所以

与估计I₂同理，先将I₃作一个简单的变形，即

于是

由(2)和(4)式可得对任意整数k=1, 2, …, n-1有

以及k=n时有

其中N≥1为充分大的常数. 由(2), (5), (9), (17), (18)式和引理1可得

其中N≥1为充分大的常数，所以

将(13), (16)和(19)式代入(12)式，可得对任意t∈(0, 1]有

对(20)式利用Gronwall不等式，可得对任意t∈(0, 1]有

即

其中N≥1为充分大的常数. 综上，引理3证明完成.

定理1的证明  由(3)式可得对任意t∈(0, 1]和整数k=1, 2, …, n有

当k=n时有

再利用(11)式，可得

当k=n-1时有

再利用(21)式可得

由归纳法可得当k=1时有

即

其中N≥1为充分大的常数. 综上，定理1证明完成.