考虑对流效应的月球热演化，控制方程较为复杂，为了便于边界条件的处理，通常采用有限元方法来进行仿真分析^[8]. 在对流模型中，月幔通常被认为是一种不可压缩的高粘滞性流体，即不考虑惯性力的影响，与此相关的湍流效应忽略不计，学界将此模型称为Boussinesq近似. 在该近似条件下，仅在动量方程的浮力项中考虑密度的变化，其他控制方程的密度假定为常数^[9-10]. 为了检验自转离心效应，控制方程仅考虑热对流效应，与此有关的化学物质分层效应忽略不计^[11]. 控制方程主要由质量方程、动量方程和能量方程构成^[9-12]. 这3个方程中相关物理量直接参与运算，不便于有限元网格的构建，为此，通常将控制方程进行无量纲化处理. 假定无量纲化的速度矢量为u^′，二阶应力张量为σ^′，压强为P^′，温度和热产能率分别为T^′和H^′. 有量纲参考值及对应无量纲值，以及相关计算参数见表 1. 此时，质量方程、动量方程和能量方程的无量纲形式为

其中R_a表示瑞利数，其大小为

其中：ρ₀和g分别表示月幔参考密度和参考重力加速度，μ₀和k₀分别表示参考黏度和热扩散系数，β和ΔT₀分别表示热膨胀系数和核幔界面温度，R₀表示月球平均半径R与内核半径R_core之差. 相关参数取值^{[8, 11]}见表 1.

对于无量纲化的二阶应力张量σ的求解，通常由粘滞系数μ和二阶应变率张量$\mathit{\boldsymbol{\dot \varepsilon }}$求得，根据文献[10]，可得三者的关系^[10]为

月幔粘滞特征是影响热演化的重要因素，它使得月幔在长周期时标内表现出流体特征，而在短周期时标内表现出弹性特征. 月幔粘滞特征通常用粘滞系数μ来量化，其大小通常与温度、压强和研究区域的大小有关^[13]. 为了简化运算，将月幔物质的流体特征假定为牛顿流体^[3-5]，此时，剪应力与应变速度成正比. 假设参考黏度为μ₀，核幔边界温度与壳幔边界温度之差为ΔT，对于月幔中参考半径d处的某点，假定该点的温度为T，可得月幔物质的黏度^[14]为

其中，R表示月球平均参考半径，b和c为给定常数，取b=ln2.5，c=ln2.0^[14].

进行有限元程序设计前，首先需要推导微分方程的弱解形式. 为了便于公式推导，将(1)-(4)式中的撇号去掉，因此，后文的所有参量均表示无量纲化. 数值模拟在直角坐标系中进行，研究区域为月幔某一经线的剖面. 根据变分基本引理，结合(4)式得到(2)式的弱解形式为

其中：v_x和v_y分别表示试探函数v在x轴和y轴方向的分量，g_x和g_y分别表示x轴和y轴方向的无量纲化有效加速度，w_ij为试探函数v对应的二阶应变率张量. 若不考虑边界作用时^[11]，(7)式可以简化为

其中二阶应力张量σ_ij与试探函数v的应变率张量w_ij分别为

类似地，(3)式的弱解形式为

其中：T^k+1表示当前时刻的待求温度，T^k表示上一时刻的温度，τ表示温度对应的试探函数，δt表示相邻两时刻之间的步长.

月球的潮汐效应能使地球自转速度不断的变慢，该效应由LLR数据得到验证^[7]. 由于地球自转速度受自身惯量矩变化和太阳潮汐的作用，两者的影响在量级上相同而方向相反，并且其他行星的潮汐因距离很远导致影响很小，比如木星的潮汐影响在量级上只有太阳的万分之一，因此，地球和月球可以看作是一个孤立系统且总角动量近似守恒. 总的角动量包括：地球自转角动量、月球自转角动量、月球绕地球的公转角动量. 根据月球形成的巨型撞击理论，文献[15]的研究表明，月球形成时与地球的距离为3.77R_⊕(R_⊕表示地球半径)，得到早期地-月系间距约为2.4×10⁷ m. 文献[16]的研究表明，月球形成初期的地-月系总角动量，比当前系统角动量多出10%到20%. 本研究取多出的系统角动量为14%，结合表 2数据估算出早期的地球自转周期为5.05 h，相应的月球自转角速度为4.4×10^-3 rad/s. 文献[17]的数值结果发现，地-月系形成初期地球自转周期约为5 h，本研究的计算结果与其接近，表明本研究求解的早期月球自转角速度具有一定的合理性.

如图 1所示，以与黄道面平行的方向为x轴，其法线方向为y轴，月球中心为坐标原点，建立二维直角坐标系，z轴为自转轴. 由文献[18]可知，月球自转轴与黄道面法线的夹角约为1.6°(即为角θ). 所以得到实际月球截面上某一点的转动半径为

其中：r表示图 1圆形区域上某一点的半径，且满足0＜r＜1，则R与r的乘积表示月球截面上对应的实际半径. 根据角度关系可知角α等于角θ，以坐标轴的正半轴方向为力的正方向，则无量纲化的自转离心力F在x轴和y轴方向的分量大小为

其中：ω表示月球的自转角速度，根据(13)和(14)式，得到(7)式中无量纲化的有效加速度为

目前，月球被公认起源于一次火星大小的天体与地球的碰撞，自吸积结束后，较重的金属元素下沉引起重力势力的释放，以及短周期放射性元素²⁶Al的作用，致使月球内部温度快速上升. 另外，根据阿波罗任务采样的岩石样品研究结果，发现月球早期拥有较高的温度，在月球形成的初期，月幔处于高温和完全熔融的状态^{[2, 8]}. 基于此考虑，本研究假定月球形成初期具有高温月幔，同时假定月幔处于完全熔融状态^[8]. 参考文献[8]，取核幔边界温度为2 000 K，演化时间为4.5 Ga(1 Ga=10亿年).

月幔初始温度见图 2a，从核-幔边界向外，温度逐渐降低，此时，整个月幔的平均温度约为1 667.76 K. 由于自转离心效应，至图 2b时(演化时间约为4 419万年)，在垂直自转轴的方向形成对流柱，将核-幔边界的热量输运至外表面，同时，在两极区域，即将形成低温下沉的对流柱，此时，整个月幔的平均温度约为1 608.93 K. 文献[11]的研究表明，当不考虑自转离心效应时，产生均匀的4个对流柱，这说明自转离心效应有必要在月球热演化中加以考虑. 如图 2c所示，至0.245 50 Ga时，月幔温度不断地下降，由于内部热量的减小，无法提供充足的能量，致使对流柱变得不稳定，而两极的低温对流柱已形成，此时，整个月幔的平均温度约为1 559.67 K. 至0.451 72 Ga时(图 2d)，由于内部能量的降低，同时，两极大幅度的低温对流柱带来的低温，致使核-幔边界的热对流柱发生切向移动，外表面原高温区产生小幅度的低温对流柱，此时，整个月幔的平均温度约为1 520.38 K. 如图 2e和图 2f所示，从0.780 69 Ga至0.908 35 Ga，由于月幔温度的进一步降低，两极大幅度低温对流柱，以及外表面原高温区小幅度低温对流柱的共同作用，使得核-幔边界有产生小幅度的热对流柱. 如图 2g-图 2i所示，从1.158 76 Ga至4.5 Ga，两极大幅度低温对流柱相对稳定，其他小幅度低温对流柱，以及核-幔边界的高温对流柱不稳定，特别是核-幔边界的对流柱会产生明显的切向移动. 由图 2a-图 2i可知，自转离心效应有助于在垂直于自转轴的方向，于核-幔边界产生热对流柱，在两极区域产生明显的低温对流柱，进而快速地输运月球内部的热量.

另外，文献[11]在不考虑自转离心效应时，月幔初始(0 Ga)平均温度约为1 735.10 K，至4.5 Ga时约为1 278.20 K，下降456.90 K. 而本研究考虑自转离心效应后(表 3)，月幔初始平均温度约为1 667.76 K，至4.5 Ga时约为1 163.28 K，下降504.48 K. 本研究模拟的最终月幔温度低于文献[11]，且两者从初始到0.245 50 Ga时，分别下降28.28 K和108.09 K，这说明自转离心效应引发的对流模式，降低了月幔的温度，并且在月球热演化的前0.245 50 Ga更为明显. 由图 2可知，在核-幔边界处，垂直于自转轴方向产生两个热对流柱，对流柱产生的方向恰好是月壳厚度二分性的方向，因此，自转离心现象可能与月壳二分性相联系，可为月球不对称热演化研究提供一定的参考.

基于月球自转速度减慢的事实，以及利用地-月系角动量近似守恒的原理，估算了月球早期较大的自转角速度. 在月球热演化的控制方程中考虑自转离心力后，①发现自转离心效应有助于在月球形成初期，在垂直于自转轴方向，于核-幔边界处产生热对流柱；②随着内部热量输运至月表，在两极区域产生大幅度、稳定的低温对流柱；③随着月幔温度的进一步降低，外表面原高温区产生小幅度的低温对流柱，核-幔边界的高温对流柱会产生切向移动；④由自转效应引起的对流模式，能有效降低月幔的温度，对月幔温度起到一定的调节作用.