在本小节中, 我们将重点讨论模型(2)平衡点的存在性. 在详细讨论之前, 首先建立模型(2)解的一个先验界.

引理1   若r₁－μ－b₁μ>0, 对于模型(2)的任意非负解(x, y), 则

证

由标准比较定理得:

所以对于任意的ε>0, 存在一个T>0, 使得对于t>T时, $x\left( t \right) ≤ \frac{{{r_1}}}{{{b_1}}} + \varepsilon $成立.

因此

所以

模型(2)总是存在两个平衡点:

为了找到正平衡点, 我们求解以下系统:

由系统(3)的第二个式子, 我们得

因此$x = \frac{{{a_2}y}}{\mu }$, 代入系统(3)的第一个式子得

如果φ(y)=0不止一个正根, 假设它有2个正根, 即y₁, y₂, 则

显然与假设矛盾, 所以φ(y)=0只有一个正根, 因此可以得出以下结论.

定理1   若r₁－μ－b₁μ>0, 模型(2)有唯一的正平衡点E^*(x₁^*, y₁^*), ${x_1}^* = \frac{{{a_2}{y_1}^*}}{\mu }$, φ(y₁^*)=0. 此时y₁^*满足

结论1   我们发现恐惧因子k对于正平衡点E^*的计算有很大的影响, 然而k对于正平衡点E^*的存在没有影响.

引理2   当k>0时, x₁^*, y₁^*是递减的.

证

由${x_1}^* = \frac{{{a_2}{y_1}^*}}{\mu }$得

因为

所以

可得

因此引理2得证.

结论2  由引理2可得, 当k=0时, x₁^*取得最大值x₀^*且x₀^*是正根.即

所以

本节将研究模型(2)平衡点的稳定性.

定理2  系统(2)的平凡平衡点E₀(0, 0)是不稳定的.

证

系统(2)在E₀(0, 0)点的Jacobian矩阵为${\mathit{\boldsymbol{J}}_0} = \mathit{\boldsymbol{J}}\left( {0, 0} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&0\\ 0&\mu \end{array}} \right]$, 所以特征值为r和μ, 因此平衡点(0, 0)是不稳定的.

定理3  系统(2)的边界平衡点${E_1}\left( {\frac{r}{{{b_1}}}, 0} \right)$是不稳定的.

证  当捕食者处于灭绝状态(或仅有被捕食者)时, 对于系统(2)的边界平衡点${E_1}\left( {\frac{r}{{{b_1}}}, 0} \right)$, 其Jacobian矩阵为${\mathit{\boldsymbol{J}}_0} = \mathit{\boldsymbol{J}}\left( {\frac{r}{{{b_1}}}, 0} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - r}&0\\ 0&\mu \end{array}} \right]$, 所以特征值为－r和μ, 所以平衡点$\left( {\frac{r}{{{b_1}}}, 0} \right)$, 0是不稳定的.

定理4  系统(2)的正平衡点E^*(x₁^*, y₁^*)是全局稳定的.

证  我们利用文献[8]的思想来证明定理4, 将构造以下的Lyapunov函数:

显然V(x, y)对所有x>0, y>0都是连续的, 通过计算可得

所以, 正平衡点(x₁^*, y₁^*)是正象限中V(x, y)函数的唯一极值:

对于所有x, y>0

显然除了正平衡点(x₁^*, y₁^*)使得$\frac{{{\rm{d}}V}}{{{\rm{d}}t}} = 0$外对其他所有的(x, y)有$\frac{{{\rm{d}}V}}{{{\rm{d}}t}} < 0$, 所以V(x, y)满足Lyapunov的全局稳定性定理, 系统(2)的平衡点(x₁^*, y₁^*)是全局稳定的, 定理4得证.

定义1  系统(2)的任意正解(x, y), 存在正常数m_i, M_i, i=1, 2.

使得

由定理4知

x^*, y^*只与系统(2)的参数有关, 因此可以清楚地知道恐惧效应对系统的持久性没有影响.

由第一节可知

可得y是k的严格递减函数, 即增加恐惧效果k可以降低捕食者密度.

本文改进了Leslie-Gower捕食者-食饵模型, 在原有的模型基础上考虑了恐惧效应, 研究结果表明, 该模型的正平衡点是全局稳定的, 还发现恐惧效应对系统的持久性没有影响, 但可以降低捕食者的密度, 并且捕食者和被捕食者的密度是由捕食者之间的相互干扰和恐惧因素的成本共同诱导的.