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本文仅考虑有限无向的简单图.设G是一个n阶图，G的一个匹配是指G的一个生成子图，它的每一个分支是孤立边或者孤立点，k-匹配是指其中有k条边的匹配.文献[1]定义了图G的匹配多项式为

这里，p(G，k)是G的所有k-匹配的数目，并且约定p(G，0)=1.在文中为了方便，将μ(G，x)简记为μ(G).若图G和H有μ(G，x)=μ(H，x)，则称图G和H是匹配等价的，记为G~H.设G是一个图，以[G]表示图G的匹配等价图的集合，以σ(G)表示集合[G]的元的个数，即|[G]|.若σ(G)=1，称图G是匹配唯一的.

以K₁表示一个孤立点.以P_n(n≥2)和C_n(n≥3)分别表示有n个点的路和圈.以Q(m，n)表示圈C_m+1的一个点与P_n+1的一个端点粘接后得到的图.以T_i，j，k表示只有1个3度点、3个1度点，且这个3度点到3个1度点的距离分别为i，j，k的树.以I_n(n≥6)表示路P_n-4的两个端点分别粘接一个P₃的2度点后得到的图.以K_1，4表示有5个点的星图.以G表示图G的补图.文中没有定义的概念和术语参见文献[2].

匹配多项式是图的一种组合计数多项式，它带有图的许多信息，在物理和化学上有着极其重要的应用^[3-8].文献[9-10]提供了一些与匹配多项式相关的研究结果.文献[11-12]虽然给出了匹配最大根小于等于2的图，以及这些图的补图匹配等价的一种规律，然而对于给定的图G，完全刻画集合[G]是很困难的.文献[13]确定了集合[P_m]，[K₁∪C_m]，[P_m]和 $[\overline {{K_1} \cup {C_m}} ]$，文献[14]确定了集合[K₁∪P_m]和 $[\overline {{K_1} \cup {P_m}} ]$，文献[15]确定了集合[2K₁∪P_m]和 $[\overline {{2K_1} \cup {P_m}} ]$，文献[16]确定了集合[K₁∪I_m]和 $[\overline {{K_1} \cup {I_m}} ]$.在本文中，我们计算2K₁∪I_n的匹配等价图的个数，并确定集合[2K₁∪I_m]，进而确定集合 $[\overline {{2K_1} \cup {I_m}} ]$.

文献[14]的定理1给出了K₁∪P_m的匹配等价图类.为了方便，我们将与K₁∪P_m的匹配等价的图的集合记为Φ₁，则|Φ₁|=σ(K₁∪P_m).

文献[15]的定理1和定理2给出了2K₁∪P_m的匹配等价图类.通过观察我们发现，除了m+1=3×2^n-1(n≥3)的情形外，2K₁∪P_m的每一个匹配等价图包含且仅包含一个路分支.而当m+1=3×2^n-1(n≥3)时，2K₁∪P_m的匹配等价图中含有Q(2，1)分支的等价图是：Q(2，1)∪H，H∈Δ₄，其中的每一个H有且恰有两个不同的路分支.用Φ₂表示2K₁∪P_m的每一个匹配等价图中删去一条路分支后得到的图的集合.于是

为了方便，本文用σ(G，H)表示图G的所有匹配等价图中含有分支H的等价图的个数.

引理1  (ⅰ)  若m+1=3×2^n-1对某个正整数n成立，则

(ⅱ) 若m+1的最大奇因数不是3，则σ(3K₁∪P_m，P₂)=0.

证  (ⅰ)  H~3K₁∪P_m，H₁是H的连通分支，使得

对n用数学归纳法.当n=1时，结论明显.当n=2时，由文献[16]的引理2，3和4得，H₁=P₅，C₃，T_1，1，1，相应地，H₂~3K₁，3K₁∪P₂，2K₁∪P₂，则

当n=3时，由文献[16]的引理2，3和4得，H₁=P₁₁，C₆，T_1，1，4，Q(2，1)，T_1，2，2，相应地，H₂~3K₁，3K₁∪P₅，2K₁∪P₅，2K₁∪P₃∪P₅，2K₁∪P₃∪C₃，由文献[16]的引理10得

当n≥4时，由文献[16]的引理2，3和4得，H₁=P_m，C_m2+1，T_1，1，m2-1(m₂+1=3×2^n-2)，相应地，H₂~3K₁，3K₁∪P_m2，2K₁∪P_m2，由文献[16]的引理10得

(ⅱ)  按m+1的最大奇因数是1，9，15或其他奇数分以下(a)-(d) 4种情形.

设H~3K₁∪P_m，H₁是H的连通分支，使得

(a) m+1=2ⁿ⁺¹.当n=1时，σ(3K₁∪P₃，P₂)=0，假设结论对m₂+1=2ⁿ成立，且对n用数学归纳法，H₁=P_m，C_m2+1，T_1，1，m2-1，相应地，H₂~3K₁，3K₁∪P_m2，2K₁∪P_m2，则

(b) m+1=9×2^n-1.当n=1时，σ(3K₁∪P₈，P₂)=0.当n=2时，H₁=P₁₇，C₉，T_1，1，7，T_1，2，3，相应地，H₂~3K₁，3K₁∪P₈，2K₁∪P₈，2K₁∪C₃∪P₈，则

假设结论对m₂+1=9×2^n-2成立，且对n用数学归纳法，H₁=P_m，C_m2+1，T_1，1，m2-1，相应地，H₂~3K₁，3K₁∪P_m2，2K₁∪P_m2，则

(c) m+1=15×2^n-1.当n=1时，σ(3K₁∪P₁₄，P₂)=0.当n=2时，H₁=P₂₉，C₁₅，T_1，1，13，T_1，2，4，相应地，H₂~3K₁，3K₁∪P₁₄，2K₁∪P₁₄，2K₁∪C₃∪P₁₄，则

假设结论对m₂+1=15×2^n-2成立，且对n用数学归纳法，H₁=P_m，C_m2+1，T_1，1，m2-1，相应地，H₂~3K₁，3K₁∪P_m2，2K₁∪P_m2，则

(d) m+1=2^n-1(2k+1)，k(≠0，1，4，7)为整数.当n=1时，σ(3K₁∪P_2k，P₂)=0.假设结论对m₂+1=2^n-2(2k+1)成立，且对n用数学归纳法，H₁=P_m，C_m2+1，T_1，1，m2-1，相应地，H₂~3K₁，3K₁∪P_m2，2K₁∪P_m2，则

引理2  若m+1=3×2^n-1对某个正整数n成立，则3K₁∪P_m的匹配等价图中含有分支P₂的图是下面的图：

(ⅰ)  n=1时，3K₁∪P₂；

(ⅱ)  n=2时，3K₁∪P₂∪C₃，2K₁∪P₂∪T_1，1，1；

(ⅲ)  n≥3时，3K₁∪P₂∪C₃∪C₆∪C₁₂∪…∪C_3×2^n-2；

证  由文献[16]的引理2，3和4得，这些图均等价于3K₁∪P_m，且含有分支P₂.对n≥3，它们可以分为仅含一条路分支P₂的4类：不含T-形树分支的1张图；含1个T-形树分支的n-1张图；含2个T-形树分支的 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1}\\ 2 \end{array}} \right)$张图；含3个T-形树分支的 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1}\\ 3 \end{array}} \right)$张图.以及含有两条路分支P₂∪P₃的3类：不含T-形树分支的1张图；含1个T-形树分支的n-2张图；含2个T-形树分支的 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 2}\\ 2 \end{array}} \right)$张图.共 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 3 \end{array}} \right)+2$张图.由引理1得，图的个数也等于σ(3K₁∪P_m，P₂).

引理3  若m≥2是整数，σ(3K₁∪P_m，2P₂)=0，σ(3K₁∪P_m，P₂∪P₄)=0.

证  由引理1和引理2，结果显然.

为了方便，用Φ₃表示3K₁∪P_m的含有分支P₂的所有匹配等价图中删去P₂后得到的图的集合，即引理2中的每张图删去P₂后得到的图的集合，则|Φ₃|=σ(3K₁∪P_m，P₂).用Φ₄表示3K₁∪P_m的含有分支P₂∪P₃的所有匹配等价图中删去P₂∪P₃后得到的图的集合，即引理2中的每张图删去P₂∪P₃后得到的图的集合，则|Φ₄|=σ(3K₁∪P_m，P₂∪P₃).

为了找到2K₁∪I_m(m≥6)的匹配等价图类，按m-3所含最大奇因数是1，3，9，15或其他奇数分为5类.

定理1  (ⅰ) 若m-3=2ⁿ⁺¹对某个正整数n成立，则

此时2K₁∪I_m的匹配等价图分为两类：含I-形分支的是I_t∪H₂，H₂∈Φ₂，这样的图共有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 3 \end{array}} \right) + n$张；含K_1，4-形分支的是K_1，4∪H₂，H₂∈Φ₁，这样的图共有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 2 \end{array}} \right) $张.

(ⅱ)  若m-3=2^n-1(2k+1)对某对正整数n，k(≠1，4，7)成立，则

此时2K₁∪I_m的匹配等价图分为两类：含I-形分支的是I_t∪H₂，H₂∈Φ₂，这样的图共有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 3 \end{array}} \right) + n$张；含K_1，4-形分支的是K_1，4∪H₂，H₂∈Φ₁，这样的图共有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 2 \end{array}} \right) $张.

(ⅲ) 若m-3=9×2^n-1对某个正整数n成立，则

此时2K₁∪I_m的匹配等价图分为两类：含I-形分支的是I_t∪H₂，H₂∈Φ₂，当n=1时有1张图，当n≥2时，这样的图共有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 3 \end{array}} \right) + 2n$张；含K_1，4-形分支的是K_1，4∪H₂，H₂∈Φ₁，当n=1时有1张图，当n≥2时，这样的图共有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 2 \end{array}} \right) +1$张.

(ⅳ)  若m-3=15×2^n-1对某个正整数n成立，则

此时2K₁∪I_m的匹配等价图分为两类：含I-形分支的是I_t∪H₂，H₂∈Φ₂，当n=1时有1张图，当n≥2时，这样的图共有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 3 \end{array}} \right) + 2n + 1$张；含K_1，4-形分支的是K_1，4∪H₂，H₂∈Φ₁，当n=1时有1张图，当n≥2时，这样的图共有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 2 \end{array}} \right) +1$张.

(ⅴ)  若m-3=3×2^n-1对某个正整数n成立，则

此时2K₁∪I_m的匹配等价图分为5类：含I-形分支的是I_t∪H₂，H₂∈Φ₂，当n=1时有1张图，当n=2时有3张图，当n≥3时有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 3 \end{array}} \right) + 6n - 7$张图；含K_1，4-形分支的是K_1，4∪H₂，H₂∈Φ₁，当n=1时有1张图，当n=2时有3张图，当n≥3时有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 2 \end{array}} \right)+3 $张图；含Q(2，2)-形分支的是Q(2，2)∪H₂，H₂∈Φ₃，当n=1时有1张图，当n=2时有2张图，当n≥3时有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 3 \end{array}} \right) +2$张图；含Q(3，1)-形分支的是Q(3，1)∪H₂，H₂∈Φ₃，当n=1时有1张图，当n=2时有2张图，当n≥3时有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ 3 \end{array}} \right) +2$张图；含T_1，3，3-形分支的是T_1，3，3∪H₂，H₂∈Φ₄，当n=1时有0张图，当n=2时有0张图，当n≥3时有 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1}\\ 2 \end{array}} \right) +1$张图.

证  设H~2K₁∪I_m，由M₁(H)=2及文献[16]的引理2(2)知，H必有一连通分支H₁∈Ω₂，H=H₁∪H₂.

(ⅰ)  分以下3种情形：

(a) 若H₁=I_t(t≥6)，则

两边并P_m-4，利用文献[16]的引理13(8)得

则

由文献[15]的定理1和定理2知，这样的H₂∈Φ₂.

(b) 若H₁=K_1，4，则

两边并P_m-4∪P₂，利用文献[16]的引理13(7)，(8)得

则

由文献[14]的定理1知，这样的H₂∈Φ₁.

(c) 若H₁=Q(2，2)，Q(3，1)(~Q(2，2))，T_2，2，2(~P₂∪Q(2，2))，T_1，3，3(~P₃∪Q(2，2))，T_1，2，5(~P₄∪Q(2，2))，均可设

两边并K₁∪P_m-4，利用文献[16]的引理13(3)，(8)得

则

由引理1(ⅱ)知，这样的H₂不存在.

(ⅱ)-(ⅳ)的证明与(ⅰ)类似，略.

(ⅴ)  分以下7种情形：

(a) 若H₁=I_t(t≥6)，与(ⅰ)的情形(a)类似，这样的H₂∈Φ₂.

(b) 若H₁=K_1，4，与(ⅰ)的情形(b)类似，这样的H₂∈Φ₁.

(c) 若H₁=Q(2，2)，则

与(ⅰ)的情形(c)类似，可得到

由引理2知，这样的H₂∈Φ₃.

(d) 若H₁=Q(3，1)，由Q(3，1)~Q(2，2)，与情形(c)类似，这样的H₂∈Φ₃.

(e) 若H₁=T_1，3，3，由文献[16]的引理13(5)得

与(ⅰ)的情形(c)类似，可得到

由引理1和引理2知：当n≤2时，这样的H₂不存在；当n≥3时，这样的H₂∈Φ₄.

(f) 若H₁=T_2，2，2.由文献[16]的引理13(4)得

与(ⅰ)的情形(c)类似，可得到

由引理3知，这样的H₂不存在.

(g) 若H₁=T_1，2，5，由文献[16]的引理13(6)得

与(ⅰ)的情形(c)类似，可得到

由引理3知，这样的H₂不存在.

推论1  对于定理1所述的每一种情形， $\overline {2{K_1} \cup {I_m}} $的匹配等价图是定理1所述的那些图的补图.

证  由文献[16]的引理14，结论显然.