本文考虑如下一类Kirchhoff方程最小能量变号解的存在性：

其中a，b>0，位势函数V具有双位势阱. 该类方程首次是由D'Alembert在研究伸缩绳的自由振动的经典波动方程时提出. Kirchhoff问题具有广泛的研究意义，它在物理问题、人工智能和弹性理论等诸多领域都有十分广泛的应用. 在非线性项满足不同条件的假设下，关于Kirchhoff方程正解的存在性和多解性，以及基态解的存在性已有很多结果^[1-8]. 但是研究方程(1)的变号解的文章很少^[9-11]. 文献[11]设V具有双位势阱，非线性项是渐近三次的，研究了方程(1)最小能量变号解的存在性. 本文假设位势函数V有双位势阱，并且假设f满足超三次条件，研究了最小能量变号解的存在性. 在本文中，V和f满足下列条件：

(V₁) $ V \in C({{\mathbb{R}}^N},{\mathbb{R}}),V\left( x \right) \ge 0,$并且存在c₀>0，使得集合$ \{ x \in {\mathbb{R}^N}:V\left( x \right)<{c_0}\} $的勒贝格测度是正的且有限的；

(V₂) $ \mathit{\Omega } = \left\{ {x \in {{\mathbb{R}}^3}:V\left( x \right) = 0} \right\} \ne $Ø, 并且存在两个有界的光滑区域Ω₁，Ω₂⊂Ω，使得Ω₁∩Ω₂=Ø；

(f₁) $ f\left( t \right) \in C\left( {{{\mathbb{R}}^3} \times {\mathbb{R, R}}} \right){\rm{, }}$存在常数2 < q < 2^*使得|f(t)|≤c(|t|+|t|^q-1)，其中c是正的常数；

(f₂) 当|t|→ 0时，f(t)=o(|t|)；

(f₃) 当|t|→ ∞时，$ \frac{{f\left( t \right)}}{{{\mathit{t}^{\rm{3}}}}} \to \infty ;$

(f₄) 当t∈(0，∞)时，$ \frac{{f\left( t \right)}}{{{\mathit{t}^{\rm{3}}}}}$是严格单调递增的.

令H是加权索伯列夫空间

在H上的范数为

方程(1)的能量泛函I：H→$ {\mathbb{R}}$为

由条件(V₁)，(f₁)，(f₂)易知I是连续可微的. 若u∈H¹($ {{{\mathbb{R}}^3}}$)是方程(1)的解且u^±≠0，则u叫做方程(1)的变号解，其中u⁺=max{0，u}，u^-=min{0，u}. 若u是方程(1)的一个变号解，且对任意的变号解v都有I(u)≤I(v)，则u叫做方程(1)的最小能量变号解.

定义流形

下面介绍本文的主要结果：

定理1  假设条件(V₁)-(V₂)和(f₁)-(f₄)成立，则方程(1)至少有一个最小能量变号解.

注1  (i) 条件(V₂)说明位势V具有双位势阱；

(ii)  结合条件(f₂)，(f₃)和(f₄)，对任意t∈ $ {\mathbb{R}}$，有$ G\left( t \right) = \frac{1}{4}f\left( t \right)t - F\left( t \right) \ge 0, $且当|t|→ ∞时，G(t)→ +∞.

引理1  若条件(V₁)，(V₂)和(f₁)-(f₄)成立，则$ \mathscr{M} \ne$Ø.

证  令v_i∈H₀¹(Ω_i)，其中i=1，2，并且v_i满足

其中

当x∈Ω_i时，令v_i=(-1)^i-1v_i；当x∉Ω_i时，令v_i=0. 因为Ω_i的边界是光滑的，所以v_i∈H¹($ {{{\mathbb{R}}^3}}$)且supp v₁∩supp v₂=Ø. 下面证明存在s>0和t>0，使得

此等式可以等价为

其中

考虑带参数υ∈[0, 1]的方程组

令

U={υ：υ∈[0, 1]，使得方程组(2)在$ {{\mathbb{R}}_ + } \times {{\mathbb{R}}_ + }$中有解}

首先证明0∈U. 由于g₀(s，t)与t无关，q₀(s，t)与s无关，则不失一般性，只需要证明存在s₁>0，使得g₀(s₁，t)=0成立.

由条件(f₃)和(f₄)成立，有

结合(3)式和(4)式知，当s>0足够大时，有g₀(s，t) < 0.由g₀(s，t)的解析式知，当s>0足够小时，有g₀(s，t)>0.由g₀(s，t)的连续性，则存在s₁>0使得g₀(s₁，t)=0.因此得证0∈U.由条件(f₄)，有f′(t)t²>3f(t)t，则由隐函数定理可证明U在[0, 1]上既是开集也是闭集，类似的证明可参见文献[12].故完成了引理1的证明.

引理2  若条件(V₁)，(V₂)和(f₁)-(f₄)成立，则$ {\mathscr{M}}$是H中的闭集.

证  当u∈$ {\mathscr{M}}$时，有〈I′(u)，u^±〉=0，由条件(f₁)，(f₂)和索伯列夫嵌入定理，对∀_ε>0，存在C_ε>0，使得

所以

假设{u_n}⊂$ {\mathscr{M}}$，u∈H，且n→+∞，在H中u_n→u，则u_n^±→u^±. 由(5)式可知‖u_n^±‖≥c，故u^±≠0.因为{u_n}⊂$ {\mathscr{M}}$，且在H中有u_n→u，故

因此有u∈$ {\mathscr{M}}$，即$ {\mathscr{M}}$在H中是闭集.

定义函数φ(s，t)=I(su⁺+tu^-).

引理3  若条件(V₁)-(V₂)和(f₁)-(f₄)成立，假设u∈H，并且u^±≠0，则：

(i) 若φ′_s(1，1)≤0且φ′_t(1，1)≤0，则存在唯一一对正数0 < s_u，t_u≤1，使得s_uu⁺+t_uu^-∈$ {\mathscr{M}}$；

(ii) 若φ′_s(1，1)≥0且φ′_t(1，1)≥0，则存在唯一一对正数s_u，t_u≥1，使得s_uu⁺+t_uu^-∈$ {\mathscr{M}}$.

证

其中

结合条件(f₁)-(f₄)可得：当s_u>0且足够小时，有φ′_s(s_u，s_u)>0，φ′_t(s_u，s_u)>0；当t_u>0且足够大时，有φ′_s(t_u，t_u) < 0，φ′_t(t_u，t_u) < 0. 则存在0 < r < R，且对任意的r < s_u，t_u < R，有

由Miranda定理，存在s_u，t_u，并且r < s_u，t_u < R，使得

故s_uu⁺+t_uu^-∈ $ {\mathscr{M}}$. 假设s_u，t_u存在但不唯一，结合条件(f₄)可推出矛盾，故存在唯一一对s_u，t_u使得s_uu⁺+t_uu^-∈$ {\mathscr{M}}$.

不失一般性，假设s_u≥t_u>0，由s_uu⁺+t_uu^-∈$ {\mathscr{M}}$，有

根据φ′_s(1，1)≤0，有

结合(7)式和(8)式，得到

若s_u>1，由条件(f₄)可推出是矛盾的.因此有s_u≤1，(i)得证. 同理可证明(ii).

引理4  若条件(V₁)，(V₂)和(f₁)-(f₄)成立，则极小化序列{u_n}∈$ {\mathscr{M}}$在H中是有界的.

证  令{u_n}∈$ {\mathscr{M}}$是极小化序列，则有

因此，{u_n}在H中是有界的.

引理5  若条件(V₁)，(V₂)和(f₁)-(f₄)成立，则存在极小化序列{u_n}⊂$ {\mathscr{M}}$，满足当n→∞时有I′(u_n)→0.

证  对任意u∈$ {\mathscr{M}}$，有

即I在$ {\mathscr{M}}$中有下界，根据Ekeland变分原理知极小化序列{u_n}⊂$ {\mathscr{M}}$满足

对任意的n和φ∈H，定义函数h^±：$ {{\mathbb{R}}^3} \to {\mathbb{R}}$为

由h的定义可知h^±(0，0，0)=0，且h^±(t，s，l)是连续可微的.令

则有

因为u_n∈$ {\mathscr{M}}$，故有

由

可得

同理可得

则由隐函数定理可知，存在常数δ_n和函数s_n(t)，l_n(t)∈C¹((-δ_n，δ_n)，$ {\mathbb{R}}$)，使得s_n(0)=l_n(0)，并且对任意的t∈(-δ_n，δ_n)，有

即

下证{s′_n(0)}和{l′_n(0)}是有界的.根据(10)式，有

其中

根据(12)式，有

其中

由{u_n}在H的有界性和简单计算，可得

下证detM₁>0.

并且结合(5)式，有

再结合(13)式可得{s′_n(0)}是有界的，即对任意φ∈H，有|s′_n(0)| < C‖φ‖. 同理可得l′_n(0)是有界的.根据(9)式和(11)式可推出

令t→0⁺，则

由{u_n}，{s′_n(0)}和{l′_n(0)}的有界性，有

定理1的证明  由引理4和引理5，可知存在极小化序列{u_n}⊂$ {\mathscr{M}}$，满足

由引理4，可知{u_n}在H中是有界的，故在H中u_n →u；在$ L_{_{{\rm{loc}}}}^{^s}({{\mathbb{R}}^3})$中u_n→u；对所有s∈[2，6)，在$ {{\mathbb{R}}^3}$中u_n→u几乎处处成立.

下面证明当n→∞时有‖u_n‖→‖u‖.由(14)式，可得对任意的φ∈H，有

其中

注意到

在(15)式中取φ=u^±，于是有

由引理3可知，存在(s_u，t_u)∈(0，1]×(0，1]，使得

由条件(f₄)，有

因此有$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \parallel {u_n}\parallel = \parallel u\parallel $，即在H中有u_n→u，且I(u)=m，结合引理2，定理1证毕.