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我们知道Kirchhoff方程考虑的是横向振动产生的弦长变化,具有较好的物理意义,同时吸引了大量学者们的关注. 文献[1]在
${{{\mathbb{R}}^3}} $ 中通过变分方法得到当非线性项f满足次临界条件时Kirchhoff方程解的集中行为以及存在性结果. 随后,文献[2]考虑了具有临界增长的非线性项f的Kirchhoff方程的正解的多重性和集中性. 文献[3]运用单调性和全局紧性引理讨论了Kirchhoff方程正基态解的存在性,并且推广了文献[1]中的结果. 文献[4]讨论了非线性项f无紧性条件下Kirchhoff方程的基态解. 文献[5]考虑了具有一般位势的Kirchhoff方程的Nehari-Pohozaev型基态解. 对于Kirchhoff方程基态解的存在性问题已经得到广泛的研究,但对于f满足超线性条件时基态解的结果还很少. 受文献([1-9])的启发,本文主要考虑如下的Kirchhoff方程的基态解:其中a,b是正常数,
${\nabla _\lambda } = ({\lambda _1}{\partial _{{x_1}}}u, \cdots , {\lambda _N}{\partial _{{x_N}}}u) $ ,并且${\Delta _\lambda } $ 是强退化椭圆算子,具体形式为关于该算子更多的性质,参见文献[10-13].这里非线性项f满足以下条件:
(f1)
$f \in C({{\mathbb{R}}^3} \times {\mathbb{R}}, {\mathbb{R}}) $ ,并且存在常数c0>0,2 < p < 2λ*,有其中
$2_\lambda ^* = \frac{{2Q}}{{Q - 2}} $ ,Q表示${{\mathbb{R}}^N} $ 相对于一组扩张的齐次维度,更多细节可参见文献[10];(f2)
$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to 0} \frac{{f\left( {x, t} \right)}}{{\left|\; {\;t\;} \right|}} \to 0 $ ,对x∈${{{\mathbb{R}}^3}} $ 一致成立;(f3) 存在μ>4使得f(x,t)t≥μF(x,t),
$\forall \left( {x, t} \right) \in {{\mathbb{R}}^3} \times {\mathbb{R}} $ .位势V(x)满足如下条件:
(V)
$\mathop {{\rm{inf}}}\limits_{x \in {{\mathbb{R}}^N}} V\left( x \right) > 0, \;\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{\left|\; x \right| \to \infty } \;V\left( x \right) = + \infty $ .首先,定义空间
显然,E是Hilbert空间,具有内积
和范数
为了方便,记‖·‖表示E的范数,‖·‖q表示空间
${L^\mathit{q}}({{\mathbb{R}}^3}) $ 的范数. 显然,常数a>0,$\int_{{{\mathbb{R}}^3}} {\left( {a{{\left|\; {{\nabla _\lambda }u}\; \right|}^2} + V\left( x \right){u^2}} \right)} {\rm{d}}x $ 与$\int_{{{\mathbb{R}}^3}} {\left( {{{\left|\; {{\nabla _\lambda }u}\; \right|}^2} + V\left( x \right){u^2}} \right)} {\rm{d}}x $ 是等价的,所以u在E上的范数为其次,我们在E上定义方程对应的能量泛函
不难得到J∈C1(E,
${\mathbb{R}} $ ),具有导数注1 本文主要在
${{\mathbb{R}}^3} $ 中讨论Kirchhoff方程基态解的存在性,最大的困难在于全空间${{\mathbb{R}}^3} $ 中我们无法得到嵌入紧性.因此,为了找到J的临界点,我们将通过Nehari流形的方法寻找最小能量解,并且该解就是方程的解.根据条件(f1)-(f3)以及标准的证明可知泛函J具有山路几何结构,从而有相应的序列{un}⊂E,使得J(un)≤c,J′(un)→0(n→∞),即{un}为(PS)序列. 设
并且
$\mathop {{\rm{inf}}}\limits_{u \in {\mathcal{N}}} J\left( u \right) = m $ ,如果$u \in \mathcal{N} $ ,J(u)=m,则u∈E是基态解.引理1 设条件(f1)-(f3)和(V)成立,则任意的(PS)序列{un}是有界的.
证 设{un}为(PS)序列,就有J(un)≤c,J′(un)→0.那么根据条件(f3)可知
(4) 式意味着{un}在E上有界.
引理2 设条件(f1)-(f3)和(V)成立,则
$\mathcal{N} \ne \emptyset $ ,并且存在常数k>0,使得$\forall u \in \mathcal{N}, J\left( u \right) > k $ .证 根据引理1,存在一个(PS)序列{un}⊂E,对某个M>0有‖un‖≤M. 设{un}的子序列仍为{un},使得在E中有
${u_n}\rightharpoonup{u_0} $ ,在${L^q}\left( {{\mathbb{R}^3}} \right) $ (2 < q < 2λ*)中有un→u0.下面通过反证法证明u0≠0. 假设u0=0,根据条件(f1),(f2),对任意的ε>0,存在常数Cε使得由文献[14]的引理2.2有
令
$\varepsilon = \frac{c}{{3C_2^2{M^2}}} $ ,M2=c,因此我们可以得到显然这是矛盾的,所以u0≠ 0. 又根据文献[6]的引理2.2和条件(f1),可以得到
因此
从而得到
所以
$\left\langle {{J^\prime }\left( {{u_0}} \right), v} \right\rangle = 0 $ ,u0≠0,得到$\mathcal{N} \ne \emptyset $ .下面证明J(u)>k. 因为对每一个
$u \in \mathcal{N} $ 都有〈J′(u),u 〉=0,所以由(5)式可以得到因此,存在常数γ>0,任取
$u \in \mathcal{N} $ ,使得‖u‖2≥γ. 又根据条件(f3),可以推出所以存在常数k>0,使得
$\forall u \in \mathcal{N} $ ,J(u)>k.定理1 设条件(f1)-(f3)和(V)成立,则方程(1)存在一个基态解.
证 根据引理2,可以得到
${u_n} \subseteq \mathcal{N} $ ,m>0,有J(un)→m. 由前面引理相似的证明,存在u∈E\{0},使得在E中,${u_n}\rightharpoonup{u} $ ;在$x \in {\mathbb{R}^3} $ 中几乎处处有un→u. 并且J′(u)=0,J(u)≥m. 由法图引理可知这就意味着
$u \in \mathcal{N} $ ,有J(u)=m. 所以u∈E是J的基态解.
Ground State Solution for Kirchhoff Equation Involving Δλ Operator
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摘要: 利用变分法, 在 \lt inline-formula \gt ${{{\mathbb{R}}^3}} $ \lt /inline-formula \gt 上讨论了一类涉及Δ \lt sub \gt \lt i \gt λ \lt /i \gt \lt /sub \gt 算子的Kirchhoff方程 $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \left( {a + b{{\int_{{{\mathbb{R}}^3}} {\;\left|\; {\;{\nabla _\lambda }u\;} \right|} }^2}{\rm{d}}\mathit{x}} \right){\Delta _\lambda }u + V\left( x \right)u = f\left( {x, \;u} \right)}&{x \in {{\mathbb{R}}^3}}\\ {u \in {H^1}\left( {{{\mathbb{R}}^3}} \right)}&{} \end{array}} \right. $ 其中 \lt i \gt a \lt /i \gt , \lt i \gt b \lt /i \gt 是正常数, Δ \lt sub \gt \lt i \gt λ \lt /i \gt \lt /sub \gt 是强退化椭圆算子, \lt i \gt V \lt /i \gt ( \lt i \gt x \lt /i \gt )是强制位势.在非线性项 \lt i \gt f \lt /i \gt ( \lt i \gt x \lt /i \gt , \lt i \gt u \lt /i \gt )满足超线性条件时得到该方程的最小能量解, 即基态解.
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关键词:
- Kirchhoff方程 /
- 基态解 /
- 变分法
Abstract: In this article, the variational method has been used to discuss a class of Kirchhoff equations involving the operators of Δ \lt sub \gt \lt i \gt λ \lt /i \gt \lt /sub \gt on \lt inline-formula \gt ${{{\mathbb{R}}^3}} $ \lt /inline-formula \gt . $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \left( {a + b{{\int_{{{\mathbb{R}}^3}} {\;\left|\; {\;{\nabla _\lambda }u\;} \right|} }^2}{\rm{d}}\mathit{x}} \right){\Delta _\lambda }u + V\left( x \right)u = f\left( {x, \;u} \right)}&{x \in {{\mathbb{R}}^3}}\\ {u \in {H^1}\left( {{{\mathbb{R}}^3}} \right)}&{} \end{array}} \right. $ where \lt i \gt a \lt /i \gt , \lt i \gt b \lt /i \gt are positive constants, Δ \lt sub \gt \lt i \gt λ \lt /i \gt \lt /sub \gt is a strongly degenerate elliptic operator, \lt i \gt V \lt /i \gt ( \lt i \gt x \lt /i \gt ) is a coercive potential. The least energy solution of the equation is obtained under the condition that the nonlinear term \lt i \gt f \lt /i \gt ( \lt i \gt x \lt /i \gt , \lt i \gt u \lt /i \gt ) satisfies the superlinearity, i.e. the ground state solution.-
Key words:
- Kirchhoff equation /
- ground state solution /
- variational methods .
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[1] HE X M, ZOU W M. Existence and Concentration Behavior of Positive Solutions for a Kirchhoff Equation in ${{{\mathbb{R}}^3}} $ [J]. Journal of Differential Equations, 2012, 252(2): 1813-1834. doi: 10.1016/j.jde.2011.08.035 [2] WANG J, TIAN L X, XU J X, et al. Multiplicity and Concentration of Positive Solutions for a Kirchhoff Type Problem with Critical Growth [J]. Journal of Differential Equations, 2012, 253(7): 2314-2351. doi: 10.1016/j.jde.2012.05.023 [3] LI G B, YE H Y. Existence of Positive Ground State Solutions for the Nonlinear Kirchhoff Type Equations in ${{{\mathbb{R}}^3}} $ [J]. Journal of Differential Equations, 2014, 257(2): 566-600. doi: 10.1016/j.jde.2014.04.011 [4] GUO Z J. Ground States for Kirchhoff Equations without Compact Condition [J]. Journal of Differential Equations, 2015, 259(7): 2884-2902. doi: 10.1016/j.jde.2015.04.005 [5] TANG X H, CHEN S T. Ground State Solutions of Nehari-Pohozaev Type for Kirchhoff-Type Problems with General Potentials [J]. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 2017, 56(4): 1-25. [6] TANG X H. Infinitely Many Solutions for Semilinear Schrödinger Equations with Sign-Changing Potential and Nonlinearity [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2013, 401(1): 407-415. doi: 10.1016/j.jmaa.2012.12.035 [7] 余芳, 陈文晶. 带有临界指数增长的分数阶问题解的存在性[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2020, 42(10): 116-123. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNND202010015.htm [8] 蒙璐, 储昌木, 雷俊. 一类带有变指数增长的Neumann问题[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2021, 43(6): 82-88. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNND202106011.htm [9] 邵正梅, 欧增奇. 具有凹凸非线性项的Kirchhoff方程的多解性[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2020, 45(4): 25-29. doi: http://xbgjxt.swu.edu.cn/article/doi/10.13718/j.cnki.xsxb.2020.04.006 [10] CHEN J H, TANG X H, GAO Z. Infinitely Many Solutions for Semilinear Δλ-Laplace Equations with Sign-Changing Potential and Nonlinearity [J]. Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 2017, 54(4): 536-549. doi: 10.1556/012.2017.54.4.1382 [11] KOGOJ A E, LANCONELLI E. On Semilinear Δλ-Laplace Equation [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2012, 75(12): 4637-4649. [12] KOGOJ A E, SONNER S. Attractors for a Class of Semi-Linear Degenerate Parabolic Equations [J]. Journal of Evolution Equations, 2013, 13(3): 675-691. doi: 10.1007/s00028-013-0196-0 [13] KOGOJ A E, SONNER S. Attractors Met X-Elliptic Operators [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2014, 420(1): 407-434. doi: 10.1016/j.jmaa.2014.05.070 [14] LUYEN D T, TRI NGUYEN M. Existence of Infinitely Many Solutions for Semilinear Degenerate Schrödinger Equations [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2018, 461(2): 1271-1286. doi: 10.1016/j.jmaa.2018.01.016 -
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