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设Ω是
$\mathbb{R}$ n(n≥2)中的正则区域，e1，e2，…，en为$\mathbb{R}$ n的标准正交基. 由外积eI=ei1∧ei2∧…∧eil张成的l维线性空间记为Λl=Λl($\mathbb{R}$ n)，I=(i1，i2，…，il)(1≤i1 < i2 < … < il≤n，l=0，1，…，n)取遍所有的l重数. 定义Hodge星算子*：Λ→Λ，对任意α，β∈Λ，满足*1=e1∧e2∧…∧en，且α∧*β=β∧*α=〈α，β〉*1.微分形式是实值函数和分布的重要推广形式. Ω上的l-微分形式是Ω上的一个Schwartz分布，其值属于Λl(
$\mathbb{R}$ n). 将所有的l-形式空间记为D′(Ω，Λl)，用Lp(Ω，Λl)表示l-形式的空间，其中对于所有的有序l-重数I，ωI∈Lp(Ω，
$ \mathbb{R} $ ). 于是Lp(Ω，Λl)为一个Banach空间，其上的范数定义为同样地，l-微分形式的Sobolev空间为
且具有范数
其中，对ω∈D′(Ω，Λl)，微分形式
$\mathrm{d} \omega=\left(\frac{\partial \omega}{\partial x_1}, \frac{\partial \omega}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial \omega}{\partial x_n}\right)$ 由微分形式$\frac{\partial \omega}{\partial x_i} \in D^{\prime}\left(\varOmega, \varLambda^l\right)$ 组成.记外导数
其共轭算子
在D′(Ω，Λl+1)上定义为
上述符号及定义可参见文献[1].
本文考虑以下微分形式的椭圆方程
其中算子A：Ω×Λl(
$\mathbb{R}$ n)Λl($\mathbb{R}$ n)满足：对所有的x∈Ω和ξ∈Λl($\mathbb{R}$ n)，有这里
下面给出方程(1)很弱解的定义.
定义1 若u对所有具有紧支集的
$\varphi \in W^{1, \frac{r}{r-p+1}}\left(\varOmega, \varLambda^{l-1}\right)$ ，满足则称u∈Wloc1，r(Ω，Λl－1)为方程(1)的很弱解.
这里“弱”指的是u的可积指数r可以小于自然指数p. 很弱解是弱解的推广，它降低了弱解的可积性要求. 近年来，关于很弱解的性质引起了很多学者的关注. 例如，文献[2]获得了拟线性椭圆方程
很弱解的梯度估计；文献[3]研究了散度型椭圆方程
很弱解梯度的零点性质；文献[4]研究了二阶非线性椭圆组
很弱解的局部正则性；文献[5]考虑了非线性椭圆方程
对应障碍问题很弱解的全局可积性；文献[6]研究了微分形式的非齐次椭圆方程
障碍问题很弱解的正则性. 更多关于椭圆问题的研究，参见文献[7-11].
受以上文献的启发，本文研究了方程(1)在条件(2)，(3)下的零点性质，得到如下主要定理：
定理1 存在常数
$r_0=r_0\left(n, p, \frac{\beta}{\alpha}\right) \in(1, p)$ ，使得当r>r0时，方程(1)的很弱解u∈Wloc1，r(Ω，Λl－1)，du的几乎每一个零点都有无穷阶.
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为证弱逆Hölder不等式，需用到以下引理：
引理1[12](Poincaré引理) 令D为立方体或球，w∈Ls(D，Λl)，dw∈Ls(D，Λl+1)，则
其中
${\rlap{-} \smallint }_D$ 为D上的积分平均.引理2[13] 令X和Y为内积空间中的向量，则当0≤ε < 1时，有
引理3[14] 设f(x)为定义在0≤T0≤t≤T1上的非负有界函数，若对T0≤t < s≤T1，有
其中A，B，σ，θ为非负常数，θ < 1，则存在常数C(σ，θ)，使得对任意R，ρ，当T0≤ρ < R≤T1时，有
下面给出du满足的弱逆Hölder不等式.
引理4 存在
$r_0=r_0\left(n, p, \frac{\beta}{\alpha}\right) \in(1, p)$ ，使得当r>r0时，方程(1)的很弱解u∈Wloc1，r(Ω，Λl－1)的梯度du满足弱逆Hölder不等式其中C为常数，BR⊂⊂Ω.
证 任取x0∈Ω，固定R0：R0≤d=dist(x0，∂Ω). 令BR=BR(R0)⊂⊂Ω为任意立方体.
取截断函数η(x)∈C0∞(BR)，满足
且在
$B_{\frac{R}{2}}$ 上η≡1. 为了给方程(1)选取一个适当的检验函数，作关于$\left|\mathrm{d}\left(\eta\left(u-u_{B_R}\right)\right)\right|^{r-p} \mathrm{~d}\left(\eta\left(u-u_{B_R}\right)\right) \in L^{\frac{r}{r-p+1}}\left(B_R, \varLambda^l\right)$ 的Hodge分解[15]，可得其中dφ，
$h \in L^{\frac{r}{r-p+1}}\left(B_R, \varLambda^l\right)$ ，且有令
由引理2，可得
将(6)式中的φ充当(4)式中的检验函数，并利用(8)式，可得
因为duBR=0，于是由(3)式，可得
下面估计I1. 由(2)式、Hölder不等式和(7)式，可得
由于
将(13)式代入(12)式，再使用Young不等式和引理1，可得
下面估计I2. 由(2)式、(9)式、Hölder不等式、Young不等式和引理1，可得
下面估计I3. 由Young不等式，可得
下面估计I4. 由(9)式、Hölder不等式、Young不等式和引理1，可得
下面估计I5. 由Young不等式、(7)式和引理1，可得
结合(10)式、(11)式、(14)式-(18)式，可得
令r足够接近p，且ε足够小，使得
又因为在本文情况下，r充分接近于p，于是常数C(n，p，r)与r无关. 因此，由(19)式和(20)式，可得
再使用引理3，可得(5)式. 证毕.
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定义2[16] 若
则称x0∈Ω为函数h∈Lloc1(Ω)的本性零点. 其中Q(x0，R)是以x0为心、2R为边长的立方体. 本性零点的阶数定义为
引理5[16] 令h∈Lloc1(Ω)对所有立方体Q⊂2Q⊂Ω满足弱逆Hölder不等式
则h的每一个零点都有无穷阶. 其中1 < p < ∞，常数Ap与立方体无关.
定理1的证明 根据弱逆Hölder不等式(5)和引理5，可得所需结论. 证毕.
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