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拟连续Domain的SM*性质

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王武, 谭彬, 张舜. 拟连续Domain的SM*性质[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2023, 48(6): 25-30. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2023.06.003
引用本文: 王武, 谭彬, 张舜. 拟连续Domain的SM*性质[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2023, 48(6): 25-30. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2023.06.003
WANG Wu, TAN Bin, ZHANG Shun. SM* Property of Quasi-Continuous Domain[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2023, 48(6): 25-30. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2023.06.003
Citation: WANG Wu, TAN Bin, ZHANG Shun. SM* Property of Quasi-Continuous Domain[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2023, 48(6): 25-30. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2023.06.003

拟连续Domain的SM*性质

  • 基金项目: 国家青年自然科学基金项目(11401435); 天津市教委科研计划项目(2018KJ147); 2021年高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目(CMC20210115)
详细信息
    作者简介:

    王武,副教授,主要从事理论计算机、Domain理论、模糊数学的研究 .

  • 中图分类号: O153.1;O189.1

SM* Property of Quasi-Continuous Domain

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出版历程
  • 收稿日期:  2022-09-02
  • 刊出日期:  2023-06-20

拟连续Domain的SM*性质

    作者简介: 王武,副教授,主要从事理论计算机、Domain理论、模糊数学的研究
  • 1. 天津理工大学 中环信息学院 基础课部,天津 300380
  • 2. 天津理工大学 理学院,天津 300384
  • 3. 天津仁爱学院 数理教学部,天津 300163
基金项目:  国家青年自然科学基金项目(11401435); 天津市教委科研计划项目(2018KJ147); 2021年高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目(CMC20210115)

摘要: 研究了拟连续Domain中比M*性质更强的SM*性质,并得到了一些有意义的结论. 主要结果有:给出了拟连续Domain具有M*性质的等价刻画;给出了拟连续Domain的SM*性质的定义,并说明了M*性质与SM*性质的关系;给出了QL-Domain具有SM*性质的等价条件;给出了两类具有性质SM*的特殊的拟连续Domain.

English Abstract

  • 定向完备偏序集是偏序集理论中的一种重要结构,旨在为计算机高级程序设计语言提供数学模型,受到了计算机科学和数学领域诸多学者的关注,并得到了很多有价值的结论和模型[1-6]. 随着计算机理论的发展,偏序集理论不断向信息科学、逻辑学、分析学及各种应用学科渗透[7-8]. Domain理论研究的一个重要方面是尽可能地将连续格(Domain)推广到更为一般的格序结构上去,其中最重要的推广就是拟连续Domain. 拟连续Domain具有很多类似于Domain的良好性质,并且在理论计算机领域应用更广泛[9]. 文献[10]给出了拟连续Domain的拟基的概念,并研究了拟基的一些性质. 连续Domain的M性质与Lawson拓扑的紧性密切相关,文献[11]将M性质进行了推广,引入了MF性质,并给出了拟连续Domain为Lawson紧的一个等价条件. 文献[12]在连续Domain中给出了比M性质更强的SM性质,同时研究了具有性质SM的连续Domain与L-Domain的关系. 本文在此基础上,将连续Domain的M性质进行推广,首先给出M*性质的一些结论,其次研究了拟连续Domain中比M*性质更强的SM*性质,并得到了一些有意义的结论. 主要结果有:给出了拟连续Domain具有M*性质的等价刻画;给出了拟连续Domain的SM*性质的定义,并说明了M*性质与SM*性质的关系;给出了QL-Domain具有SM*性质的等价条件;给出了两类具有性质SM*的特殊拟连续Domain. 本文的结果有助于Domain理论的进一步研究.

  • 首先,介绍偏序集中的一些基本概念[13]. 设L是偏序集,DL,如果D中任意两个元在D中有上界,则称D为定向集. 如果L的每个定向子集D都有上确界(记为sup D),则称L为定向完备偏序集. 任给AL,记

    A为单点集{a},则有记号↑A=↑a,↓A=↓a.

    L是偏序集,GHL的两个非空子集. 如果H⊆↑G,则GH,称这种序关系为Symth序. 如果对任意的定向集DL,sup D∈↑H蕴含存在dD使得d∈↑G,则称G逼近H,记为GH. 特别地,{y}≪H简记为yHG≪{x}简记为Gx. 显然,GH蕴含∀hHGh. 易知上述定义的逼近关系有如下性质:

    (ⅰ) GH蕴含GH

    (ⅱ) GEFH蕴含GH.

    $\mathscr{P}^w$(L)表示L的所有非空有限子集构成的集族. 设非空集族$\mathscr{F}$$\mathscr{P}^w$(L),如果任给EF$\mathscr{F}$,存在有限集H$\mathscr{F}$,使得H⊆↑E∩↑F,则称$\mathscr{F}$为定向集族. 设L是定向完备偏序集,如果∀xL,集族fin(x)={F$\mathscr{P}^w$(L):Fx}是定向的,且↑x=∩F∈fin(x)F,则称L是拟连续Domain.

    定义1[13]  设L是定向完备偏序集,

    (a) 任给子集UL,如果U=↑U,且任意的定向集DL,sup DU意味着DU≠Ø,则称U为Scott开集. 所有的Scott开集构成一个拓扑,称为Scott拓扑,记为σ(L);

    (b) 以主滤子的补L\↑x为子基生成的拓扑称为下拓扑,记为ω(L);

    (c) 称由σ(L)和ω(L)共同加细的拓扑σ(L)∨ω(L)为Lawson拓扑,记为λ(L).

    命题1[13]  设L是拟连续Domain,记$\Uparrow F=\{x: F \ll x\}$,则:

    (ⅰ) ∀xLHL的有限子集. 如果Hx,则存在有限集FL使得HFx

    (ⅱ) $\operatorname{int}_{\sigma(L)}(\uparrow F)=\Uparrow F$,其中intσ(L)(↑F)表示↑F在Scott拓扑σ(L)中的内部;

    (ⅲ) $\left\{\Uparrow F: F \in \mathscr{P}^w(L)\right\}$为Scott拓扑σ(L)的基.

    定义2[14]  设L是拟连续Domain,$\mathscr{B} \subseteq \mathscr{P}^w(L)$. 如果∀xL,集族$\operatorname{fin}(x) \cap \mathscr{B}$是定向集族且↑x=∩F∈fin(x)∩$\mathscr{B}$↑F,则称$\mathscr{B}$L的拟基.

    显然,设L是定向完备偏序集,则L是拟连续的当且仅当L有拟基. 如果$K(L)=\left\{G \in \mathscr{P}^w(L): G \ll G\right\}$L的拟基,则称L是代数拟连续Domain.

  • 文献[15]介绍了拟连续Domain的M*性质,并研究了其与Lawson拓扑紧性的关系. 本节首先研究拟连续Domain的M*性质,然后引入SM*性质的概念,并给出性质M*与性质SM*的关系以及QL-Domain具有性质SM*的等价条件.

    定义3[15]  设L是拟连续Domain,$\mathscr{B}$L的拟基. 如果∀EFGH$\mathscr{B}$EGFH,存在有限集族$\mathscr{B}$*$\mathscr{B}$,使得↑G∩↑H⊆∪B$\mathscr{B}$*B⊆↑E∩↑F,则称L相对于拟基$\mathscr{B}$具有性质M*.

    拟连续Domain相对于拟基$\mathscr{B}$具有性质M*,可以有更一般的描述. 文献[15]证明了以下命题:

    命题2[15]  设L是拟连续Domain. 则下列条件等价:

    (ⅰ) ∀xyL,↑x∩↑y是Scott紧的;

    (ⅱ) L相对于所有拟基具有性质M*

    (ⅲ) L相对于某个拟基具有性质M*.

    容易验证,命题2中,∀xyL,↑x∩↑y是Scott紧的当且仅当∀EF$\mathscr{P}^w$(L),↑E∩↑F是Scott紧的,其直接推论为文献[15]的推论4.7:拟连续Domain L上的Lawson拓扑是紧的当且仅当L是有限生成的且具有性质M*.

    由定义2知,任意拟连续Domain L$\mathscr{P}^w$(L)是L的拟基. 如果L相对于某个拟基具有性质M*,则由命题2知L相对于$\mathscr{P}^w$(L)也具有性质M*. 如未特殊说明,本文中的L具有性质M*总是指L相对于$\mathscr{P}^w$(L)具有性质M*.

    命题3  设L是拟连续Domain,则L具有性质M*当且仅当对∀EF$\mathscr{P}^w$(L),xyLExFy,存在有限集H$\mathscr{P}^w$(L),使得↑x∩↑y⊆↑H⊆↑E∩↑F.

    证  必要性  因为L是具有性质M*的拟连续Domain,则由命题2知,L相对于$\mathscr{P}^w$(L)具有性质M*. 设EF,{x},{y}∈$\mathscr{P}^w$(L),且ExFy. 由L具有性质M*可知,存在有限集族$\mathscr{B} $*$\mathscr{P}^w$(L),使得

    $H=\bigcup_{B \in \mathscr{B}^*} \uparrow B$,有限多个有限集的并仍然是有限集,则H为有限集,且↑x∩↑y⊆↑H⊆↑E∩↑F.

    充分性  $\forall E, F, G, H \in \mathscr{B}$EGFH,显然∀gGEg成立. 同理,∀hHFh. 由已知条件可知,存在有限集Hgh$\mathscr{P}^w$(L),使得

    显然其是有限集族,则

    L相对于拟基$\mathscr{P}^w$(L)具有性质M*.

    由于Smyth序为预序关系[16],下面给出一种具有性质M*的特殊的偏序结构.设L是偏序集,令$\operatorname{fin}(L)=\left\{\uparrow F: F \in \mathscr{P}^w(L)\right\}$. ∀↑E,↑F∈fin(L),定义二元关系:↑E≤↑F当且仅当↑F⊆↑E,即fin(L)上的偏序关系为反包含序. 本文中涉及到fin(L)中的序关系总是反包含序. 对∀$\mathscr{F}$⊆fin(L),记

    定义4  设L是偏序集,有限子集族$\mathscr{F}$⊆fin(L). 如果:

    (a) 集族qumb $\mathscr{F}$是有限的;

    (b) 任意$\mathscr{F}$的上界↑A∈fin(L),存在↑E∈qumb $\mathscr{F}$,使得↑A⊆↑E.

    则称L是qumb-完备的.

    命题4  设L是qumb-完备的拟连续Domain,则L具有性质M*.

      $\forall x, y \in L, E, F \in \mathscr{P}^w(L)$,且ExFy,由L的qumb-完备性知qumb{↑E,↑F}是有限集族. ∀z∈↑x∩↑y,{z}是EF的上界,且↑z是↑E和↑F的上界. 由L的qumb-完备性知,存在↑G∈qumb(↑E,↑F),使得z∈↑G. 令

    从而↑x∩↑y⊆↑H⊆↑E∩↑F,由qmub{↑E,↑F}的有限性和G为有限集知H是有限集,故由命题3知L具有性质M*.

    文献[15]引入了QFS-Domain的概念,并证明了QFS-Domain具有性质M*. 结合命题4,说明存在一些特殊的偏序结构(如QFS-Domain、qumb-完备的拟连续Domain)具有性质M*. 接下来,引入拟连续Domain的SM*性质的概念.

    定义5  设L是拟连续Domain,$\mathscr{B}$是L的拟基. 如果∀EF$\mathscr{B}$,存在有限集族$\mathscr{H} \subseteq \mathscr{B}$且∀H$\mathscr{H}$H⊆↑E∩↑F,使得$\Uparrow E \cap \Uparrow F=\bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H$,则称L相对于拟基$\mathscr{B}$具有性质SM*. 如果L相对于拟基$\mathscr{P}^w$(L)具有性质SM*,则简称L具有性质SM*.

    命题5  设L是拟连续Domain,$\mathscr{B}$L的拟基. 则L相对于拟基$\mathscr{B}$具有性质SM*蕴含L具有性质M*. 如果L是代数拟连续Domain,则L相对于拟基$\mathscr{K}$(L)具有性质SM*当且仅当L具有性质M*.

      设L相对于拟基$\mathscr{B}$具有性质SM*$\forall E, F \in \mathscr{B}, x, y \in L$ExFy,存在有限集族$\mathscr{H}$$\mathscr{B}$,并且$\forall H \in \mathscr{H}, H \subseteq \uparrow E \cap \uparrow F$,使得$\Uparrow E \cap \Uparrow F=\bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H$成立. 令H′=∪H$\mathscr{H}$H,从而有

    则由命题3知L相对于拟基$\mathscr{B}$具有性质M*. 由命题2知L具有性质M*.

    如果L是代数拟连续的,只需证明L具有性质M*蕴含L相对于$\mathscr{K}$(L)具有性质SM*. 设L具有性质M*,则由命题2知L相对于$\mathscr{K}$(L)具有性质M*. ∀EF$\mathscr{K}$(L),EEFF,存在有限集族$\mathscr{B}^* \subseteq \mathscr{K}(L)$,使得

    $\mathscr{H}=\mathscr{B}^*$即可得到$\Uparrow E \cap \Uparrow F=\bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H$,从而L相对于拟基$\mathscr{K}$(L)具有性质SM*.

    参考文献[15]的引理4.8证明了所有的QFS-Domain具有M*性质. 由命题5知,所有的代数QFS-Domain相对于拟基$\mathscr{K}$(L)具有SM*性质.

    L是定向完备偏序集,有限集族$\mathscr{F} \subseteq \operatorname{fin}(L)$,记

    如果∀H$\mathscr{P}^w$(L),$\mathscr{F}_H$在反包含序下是完备格(任意子集的上确界存在),则称L是QL-Domain.

    定理1  设L是qumb-完备的拟连续QL-Domain.则下列结论等价:

    (ⅰ) L具有性质SM*

    (ⅱ) $\forall E, F \in \mathscr{P}^w(L), \mathrm{qmub}_{\ll}\{\uparrow E, \uparrow F\}$是有限集族;

    (ⅲ) 对任意有限集族$\mathscr{F} \subseteq \operatorname{Fin}(L), \mathrm{qmub}_{\ll} \mathscr{F}$是有限集族.

      (ⅰ)⇒(ⅱ)  设↑G∈qmub{↑E,↑F},则↑G∈qmub{↑E,↑F}且$\Uparrow G \neq \varnothing$.设Gx,则ExFx,即$x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$. 因为L具有性质SM*,则存在有限集族$\mathscr{H} \in \mathscr{P} w(L)$,且∀H$\mathscr{H}$H⊆↑E∩↑F,使得$\Uparrow E \cap \Uparrow F=\bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H$,则$x \in \bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H$. 故存在H$\mathscr{H}$,使得Hx. 而$\uparrow E, \uparrow F \in \mathscr{F}_H$,且↑G为↑E和↑F的极小上界,同时$\mathscr{F}_H$是完备格,则$\uparrow G=\uparrow E \bigvee_{\mathscr{F}_H} \uparrow F$. 因为$\mathscr{H}$是有限集族,则$\mathrm{qmub}_{\ll}\{\uparrow E, \uparrow F\}$也是有限集族.

    (ⅱ)⇒(ⅲ)  对有限集族$\mathscr{F}$的基数做数学归纳法. 设$|\mathscr{F}|=2$,由已知,$\mathrm{qmub}_{\ll} \mathscr{F}$是有限集族. 假设|$\mathscr{F}$|=n≥2时,$\mathrm{qmub}_{\ll} \mathscr{F}$是有限集族. 当$|\mathscr{F}|=n+1$时,设$\mathscr{F}=\left\{\uparrow F_1, \cdots, \uparrow F_n, \uparrow F_{n+1}\right\}$,令$\mathscr{F}_n$={↑F1,…,↑Fn}. ∀↑G∈qmub$\mathscr{F}$,↑Fi$\mathscr{F}_G$(i=1,…,n+1). 令↑F=∨$\mathscr{F}_G$Fn,显然↑G是↑F和↑Fn的上界. 设↑H$\mathscr{F}_G$且↑H=↑F$\mathscr{F}_G$Fn+1,则↑G⊆↑H. 而↑H为↑F和↑Fn+1的上界,故也是$\mathscr{F}$的上界,则由qumb-完备性知,存在↑G′∈qmub $\mathscr{F}$,使得↑H⊆↑G′. 因此↑G⊆↑H⊆↑G′,由↑G′的极小性知↑G=↑H=↑G′,即↑G是↑F和↑Fn的极小上界. 由假设qmub $\mathscr{F}_n$是有限集族知

    是有限集,则qmub$\mathscr { F }$也是有限集. 因此由数学归纳法知,对任意有限集族$\mathscr { F }$⊆fin(L),qmub$\mathscr { F }$是有限集族.

    (ⅲ)⇒(ⅰ)  $\forall E, F \in \mathscr{P}^w(L), \uparrow E, \uparrow F \in \operatorname{fin}(L)$,令

    首先如果存在↑G∈qmub{↑E,↑F},使得Gx,显然有ExFx,即

    $\forall x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$, 有$E \bigvee_{\mathscr{F}_{\{x\}}} F \ll x$$E \vee_{\mathscr{F}_{\{x\}}} F \in \mathrm{qmub}_{\ll}\{E, F\}, x \in \bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H$

    综上所述,有$ \bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H=\Uparrow E \cap \Uparrow F$L具有性质SM*.

  • 下面介绍两类具有性质SM*的特殊的拟连续Domain:

    定义6  设L是拟连续Domain,$\mathscr{B}$L的拟基. 若存在由有限集作为元素的有限集族$\mathscr{F}_i(i \in I)$满足:

    (a) $\mathscr{B}$⊆∪iI$\mathscr{F}_i$,且{B1B2}⊆$\mathscr{B}$蕴含{B1B2}⊆$\mathscr{F}_i$对某个i成立;

    (b) $\forall i \in I, E, F \in \mathscr{F}_i, x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$, 存在$H \in \mathscr{F}_i$,使得$H \subseteq \uparrow E \cap \uparrow F \text { 且 } H \ll x$.

    则称$\mathscr{B}$L的拟双有限基.

    定理2  设L是拟连续Domain,$\mathscr{F} \subseteq \mathscr{P}^w(L)$是有限集族. 则$\forall E, F \in \mathscr{F}, x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$,存在H$\mathscr{F}$,使得H⊆↑E∩↑FHx,当且仅当$D=\{\uparrow F: F \in \mathscr{F} \cap \operatorname{fin}(x)\}$在反包含序下存在最大元.

      $\forall E, F \in \mathscr{F}, x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$,存在H$\mathscr{F}$,使得H⊆↑E∩↑FHx,则↑H是↑E和↑FD中的上界,从而D是有限的定向集,则必有最大元. 反之,若D存在最大元↑H′,∀EF$\mathscr{F}$$x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$,则↑E,↑FD,故H′⊆↑E∩↑FH′x.

    定理3  设L是拟连续Domain,$\mathscr{B}$L的拟双有限基,则L相对于$\mathscr{B}$具有性质SM*.

      设$\forall E, F \in \mathscr{B}, E \ll x, F \ll x$. 由于$\mathscr{B}$L的拟双有限基,则存在由有限集作为元素的有限集族$\mathscr{F}_i(i \in I)$,使得:

    (ⅰ) $\mathscr{B} \subseteq \bigcup_{i \in I} \mathscr{F}_i$,且$E, F \in \mathscr{F}_i$对某个i成立;

    (ⅱ) 存在$H \in \mathscr{F}_i$,使得H⊆↑E∩↑FHx,则$\Uparrow E \cap \Uparrow F \subseteq \bigcup_{i \in I} \Uparrow H$.

    反之,若$x \in \bigcup_{i \in I} \Uparrow H$,存在H$\mathscr{F}_i$使得Hx对某个i成立,且$x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F, \cup_{i \in I} \Uparrow H \subseteq \Uparrow E \cap \Uparrow F$. 则$\bigcup_{i \in I} \Uparrow H=\Uparrow E \cap \Uparrow F$L相对于$\mathscr{B}$具有性质SM*.

    定理4  设L是拟连续Domain,如果对任意有限集EFL$\Uparrow E \cap \Uparrow F$是Scott拓扑的紧子集,则L具有SM*性质.

      设有限集EFL. $\forall x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$,由于$\Uparrow E \cap \Uparrow F$是Scott开集,则存在有限集Hx使得$x \in \Uparrow H_x \subseteq \Uparrow E \cap \Uparrow F$,则$\mathscr{H}=\left\{\Uparrow H_x: x \in \Uparrow H_x \subseteq \Uparrow E \cap \Uparrow F\right\}$$\Uparrow E \cap \Uparrow F$的开覆盖,则存在有限多个$H_1, \cdots, H_n \in \mathscr{H}$$\Uparrow E \cap \Uparrow F$的开覆盖,则$x \in U_i \Uparrow H_i$.

    反之,$\forall y \in \bigcup_i \Uparrow H_i$,存在i使得$H_i \ll y, y \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$. 从而$\Uparrow E \cap \Uparrow F=\bigcup_i \Uparrow H_i$L具有SM*性质.

    本文给出了比M*性质更强的SM*性质,并给出了一些具有SM*性质的特殊拟连续Domain,并说明了在代数情形下,SM*性质与M*性质等价,同时给出了一种新的偏序结构QL-Domain以及其具有SM*性质的等价条件. 本文的结论有助于Domain理论的进一步研究.

参考文献 (16)

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