首先，介绍偏序集中的一些基本概念^[13]. 设L是偏序集，D⊆L，如果D中任意两个元在D中有上界，则称D为定向集. 如果L的每个定向子集D都有上确界(记为sup D)，则称L为定向完备偏序集. 任给A⊆L，记

若A为单点集{a}，则有记号↑A=↑a，↓A=↓a.

设L是偏序集，G，H为L的两个非空子集. 如果H⊆↑G，则G≤H，称这种序关系为Symth序. 如果对任意的定向集D⊆L，sup D∈↑H蕴含存在d∈D使得d∈↑G，则称G逼近H，记为G≪H. 特别地，{y}≪H简记为y≪H，G≪{x}简记为G≪x. 显然，G≪H蕴含∀h∈H，G≪h. 易知上述定义的逼近关系有如下性质：

(ⅰ) G≪H蕴含G≤H；

(ⅱ) G≤E≪F≤H蕴含G≪H.

令$\mathscr{P}^w$(L)表示L的所有非空有限子集构成的集族. 设非空集族$\mathscr{F}$⊆$\mathscr{P}^w$(L)，如果任给E，F∈$\mathscr{F}$，存在有限集H∈$\mathscr{F}$，使得H⊆↑E∩↑F，则称$\mathscr{F}$为定向集族. 设L是定向完备偏序集，如果∀x∈L，集族fin(x)={F∈$\mathscr{P}^w$(L)：F≪x}是定向的，且↑x=∩_F∈fin(x)↑F，则称L是拟连续Domain.

定义1^[13]  设L是定向完备偏序集，

(a) 任给子集U⊆L，如果U=↑U，且任意的定向集D⊆L，sup D∈U意味着D∩U≠Ø，则称U为Scott开集. 所有的Scott开集构成一个拓扑，称为Scott拓扑，记为σ(L)；

(b) 以主滤子的补L\↑x为子基生成的拓扑称为下拓扑，记为ω(L)；

(c) 称由σ(L)和ω(L)共同加细的拓扑σ(L)∨ω(L)为Lawson拓扑，记为λ(L).

命题1^[13]  设L是拟连续Domain，记$\Uparrow F=\{x: F \ll x\}$，则：

(ⅰ) ∀x∈L，H为L的有限子集. 如果H≪x，则存在有限集F⊆L使得H≪F≪x；

(ⅱ) $\operatorname{int}_{\sigma(L)}(\uparrow F)=\Uparrow F$，其中int_σ(L)(↑F)表示↑F在Scott拓扑σ(L)中的内部；

(ⅲ) $\left\{\Uparrow F: F \in \mathscr{P}^w(L)\right\}$为Scott拓扑σ(L)的基.

定义2^[14]  设L是拟连续Domain，$\mathscr{B} \subseteq \mathscr{P}^w(L)$. 如果∀x∈L，集族$\operatorname{fin}(x) \cap \mathscr{B}$是定向集族且↑x=∩_{F∈fin(x)∩$\mathscr{B}$}↑F，则称$\mathscr{B}$是L的拟基.

显然，设L是定向完备偏序集，则L是拟连续的当且仅当L有拟基. 如果$K(L)=\left\{G \in \mathscr{P}^w(L): G \ll G\right\}$是L的拟基，则称L是代数拟连续Domain.

文献[15]介绍了拟连续Domain的M^*性质，并研究了其与Lawson拓扑紧性的关系. 本节首先研究拟连续Domain的M^*性质，然后引入SM^*性质的概念，并给出性质M^*与性质SM^*的关系以及QL-Domain具有性质SM^*的等价条件.

定义3^[15]  设L是拟连续Domain，$\mathscr{B}$是L的拟基. 如果∀E，F，G，H∈$\mathscr{B}$且E≪G，F≪H，存在有限集族$\mathscr{B}$^*⊆$\mathscr{B}$，使得↑G∩↑H⊆∪_{B∈$\mathscr{B}$^*}↑B⊆↑E∩↑F，则称L相对于拟基$\mathscr{B}$具有性质M^*.

拟连续Domain相对于拟基$\mathscr{B}$具有性质M^*，可以有更一般的描述. 文献[15]证明了以下命题：

命题2^[15]  设L是拟连续Domain. 则下列条件等价：

(ⅰ) ∀x，y∈L，↑x∩↑y是Scott紧的；

(ⅱ) L相对于所有拟基具有性质M^*；

(ⅲ) L相对于某个拟基具有性质M^*.

容易验证，命题2中，∀x，y∈L，↑x∩↑y是Scott紧的当且仅当∀E，F∈$\mathscr{P}^w$(L)，↑E∩↑F是Scott紧的，其直接推论为文献[15]的推论4.7：拟连续Domain L上的Lawson拓扑是紧的当且仅当L是有限生成的且具有性质M^*.

由定义2知，任意拟连续Domain L，$\mathscr{P}^w$(L)是L的拟基. 如果L相对于某个拟基具有性质M^*，则由命题2知L相对于$\mathscr{P}^w$(L)也具有性质M^*. 如未特殊说明，本文中的L具有性质M^*总是指L相对于$\mathscr{P}^w$(L)具有性质M^*.

命题3  设L是拟连续Domain，则L具有性质M^*当且仅当对∀E，F∈$\mathscr{P}^w$(L)，x，y∈L且E≪x，F≪y，存在有限集H∈$\mathscr{P}^w$(L)，使得↑x∩↑y⊆↑H⊆↑E∩↑F.

证  必要性  因为L是具有性质M^*的拟连续Domain，则由命题2知，L相对于$\mathscr{P}^w$(L)具有性质M^*. 设E，F，{x}，{y}∈$\mathscr{P}^w$(L)，且E≪x，F≪y. 由L具有性质M^*可知，存在有限集族$\mathscr{B} $^*⊆$\mathscr{P}^w$(L)，使得

令$H=\bigcup_{B \in \mathscr{B}^*} \uparrow B$，有限多个有限集的并仍然是有限集，则H为有限集，且↑x∩↑y⊆↑H⊆↑E∩↑F.

充分性  $\forall E, F, G, H \in \mathscr{B}$且E≪G，F≪H，显然∀g∈G，E≪g成立. 同理，∀h∈H，F≪h. 由已知条件可知，存在有限集H_gh∈$\mathscr{P}^w$(L)，使得

令

显然其是有限集族，则

即L相对于拟基$\mathscr{P}^w$(L)具有性质M^*.

由于Smyth序为预序关系^[16]，下面给出一种具有性质M^*的特殊的偏序结构.设L是偏序集，令$\operatorname{fin}(L)=\left\{\uparrow F: F \in \mathscr{P}^w(L)\right\}$. ∀↑E，↑F∈fin(L)，定义二元关系：↑E≤↑F当且仅当↑F⊆↑E，即fin(L)上的偏序关系为反包含序. 本文中涉及到fin(L)中的序关系总是反包含序. 对∀$\mathscr{F}$⊆fin(L)，记

定义4  设L是偏序集，有限子集族$\mathscr{F}$⊆fin(L). 如果：

(a) 集族qumb $\mathscr{F}$是有限的；

(b) 任意$\mathscr{F}$的上界↑A∈fin(L)，存在↑E∈qumb $\mathscr{F}$，使得↑A⊆↑E.

则称L是qumb-完备的.

命题4  设L是qumb-完备的拟连续Domain，则L具有性质M^*.

证  $\forall x, y \in L, E, F \in \mathscr{P}^w(L)$，且E≪x，F≪y，由L的qumb-完备性知qumb{↑E，↑F}是有限集族. ∀z∈↑x∩↑y，{z}是E，F的上界，且↑z是↑E和↑F的上界. 由L的qumb-完备性知，存在↑G∈qumb(↑E，↑F)，使得z∈↑G. 令

从而↑x∩↑y⊆↑H⊆↑E∩↑F，由qmub{↑E，↑F}的有限性和G为有限集知H是有限集，故由命题3知L具有性质M^*.

文献[15]引入了QFS-Domain的概念，并证明了QFS-Domain具有性质M^*. 结合命题4，说明存在一些特殊的偏序结构(如QFS-Domain、qumb-完备的拟连续Domain)具有性质M^*. 接下来，引入拟连续Domain的SM^*性质的概念.

定义5  设L是拟连续Domain，$\mathscr{B}$是L的拟基. 如果∀E，F∈$\mathscr{B}$，存在有限集族$\mathscr{H} \subseteq \mathscr{B}$且∀H∈$\mathscr{H}$，H⊆↑E∩↑F，使得$\Uparrow E \cap \Uparrow F=\bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H$，则称L相对于拟基$\mathscr{B}$具有性质SM^*. 如果L相对于拟基$\mathscr{P}^w$(L)具有性质SM^*，则简称L具有性质SM^*.

命题5  设L是拟连续Domain，$\mathscr{B}$是L的拟基. 则L相对于拟基$\mathscr{B}$具有性质SM^*蕴含L具有性质M^*. 如果L是代数拟连续Domain，则L相对于拟基$\mathscr{K}$(L)具有性质SM^*当且仅当L具有性质M^*.

证  设L相对于拟基$\mathscr{B}$具有性质SM^*，$\forall E, F \in \mathscr{B}, x, y \in L$且E≪x，F≪y，存在有限集族$\mathscr{H}$⊆$\mathscr{B}$，并且$\forall H \in \mathscr{H}, H \subseteq \uparrow E \cap \uparrow F$，使得$\Uparrow E \cap \Uparrow F=\bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H$成立. 令H′=∪_{H∈$\mathscr{H}$}H，从而有

则由命题3知L相对于拟基$\mathscr{B}$具有性质M^*. 由命题2知L具有性质M^*.

如果L是代数拟连续的，只需证明L具有性质M^*蕴含L相对于$\mathscr{K}$(L)具有性质SM^*. 设L具有性质M^*，则由命题2知L相对于$\mathscr{K}$(L)具有性质M^*. ∀E，F∈$\mathscr{K}$(L)，E≪E，F≪F，存在有限集族$\mathscr{B}^* \subseteq \mathscr{K}(L)$，使得

取$\mathscr{H}=\mathscr{B}^*$即可得到$\Uparrow E \cap \Uparrow F=\bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H$，从而L相对于拟基$\mathscr{K}$(L)具有性质SM^*.

参考文献[15]的引理4.8证明了所有的QFS-Domain具有M^*性质. 由命题5知，所有的代数QFS-Domain相对于拟基$\mathscr{K}$(L)具有SM^*性质.

设L是定向完备偏序集，有限集族$\mathscr{F} \subseteq \operatorname{fin}(L)$，记

令

如果∀H∈$\mathscr{P}^w$(L)，$\mathscr{F}_H$在反包含序下是完备格(任意子集的上确界存在)，则称L是QL-Domain.

定理1  设L是qumb-完备的拟连续QL-Domain.则下列结论等价：

(ⅰ) L具有性质SM^*；

(ⅱ) $\forall E, F \in \mathscr{P}^w(L), \mathrm{qmub}_{\ll}\{\uparrow E, \uparrow F\}$是有限集族；

(ⅲ) 对任意有限集族$\mathscr{F} \subseteq \operatorname{Fin}(L), \mathrm{qmub}_{\ll} \mathscr{F}$是有限集族.

证  (ⅰ)⇒(ⅱ)  设↑G∈qmub_≪{↑E，↑F}，则↑G∈qmub{↑E，↑F}且$\Uparrow G \neq \varnothing$.设G≪x，则E≪x，F≪x，即$x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$. 因为L具有性质SM^*，则存在有限集族$\mathscr{H} \in \mathscr{P} w(L)$，且∀H∈ $\mathscr{H}$，H⊆↑E∩↑F，使得$\Uparrow E \cap \Uparrow F=\bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H$，则$x \in \bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H$. 故存在H∈$\mathscr{H}$，使得H≪x. 而$\uparrow E, \uparrow F \in \mathscr{F}_H$，且↑G为↑E和↑F的极小上界，同时$\mathscr{F}_H$是完备格，则$\uparrow G=\uparrow E \bigvee_{\mathscr{F}_H} \uparrow F$. 因为$\mathscr{H}$是有限集族，则$\mathrm{qmub}_{\ll}\{\uparrow E, \uparrow F\}$也是有限集族.

(ⅱ)⇒(ⅲ)  对有限集族$\mathscr{F}$的基数做数学归纳法. 设$|\mathscr{F}|=2$，由已知，$\mathrm{qmub}_{\ll} \mathscr{F}$是有限集族. 假设|$\mathscr{F}$|=n≥2时，$\mathrm{qmub}_{\ll} \mathscr{F}$是有限集族. 当$|\mathscr{F}|=n+1$时，设$\mathscr{F}=\left\{\uparrow F_1, \cdots, \uparrow F_n, \uparrow F_{n+1}\right\}$，令$\mathscr{F}_n$={↑F₁，…，↑F_n}. ∀↑G∈qmub_≪$\mathscr{F}$，↑F_i∈$\mathscr{F}_G$(i=1，…，n+1). 令↑F=∨_{$\mathscr{F}_G$}F_n，显然↑G是↑F和↑F_n的上界. 设↑H∈$\mathscr{F}_G$且↑H=↑F∨_{$\mathscr{F}_G$}↑F_n+1，则↑G⊆↑H. 而↑H为↑F和↑F_n+1的上界，故也是$\mathscr{F}$的上界，则由qumb-完备性知，存在↑G′∈qmub $\mathscr{F}$，使得↑H⊆↑G′. 因此↑G⊆↑H⊆↑G′，由↑G′的极小性知↑G=↑H=↑G′，即↑G是↑F和↑F_n的极小上界. 由假设qmub_≪ $\mathscr{F}_n$是有限集族知

是有限集，则qmub_≪$\mathscr { F }$也是有限集. 因此由数学归纳法知，对任意有限集族$\mathscr { F }$⊆fin(L)，qmub_≪$\mathscr { F }$是有限集族.

(ⅲ)⇒(ⅰ)  $\forall E, F \in \mathscr{P}^w(L), \uparrow E, \uparrow F \in \operatorname{fin}(L)$，令

首先如果存在↑G∈qmub{↑E，↑F}，使得G≪x，显然有E≪x，F≪x，即

$\forall x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$, 有$E \bigvee_{\mathscr{F}_{\{x\}}} F \ll x$且$E \vee_{\mathscr{F}_{\{x\}}} F \in \mathrm{qmub}_{\ll}\{E, F\}, x \in \bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H$

综上所述，有$ \bigcup_{H \in \mathscr{H}} \Uparrow H=\Uparrow E \cap \Uparrow F$，L具有性质SM^*.

下面介绍两类具有性质SM^*的特殊的拟连续Domain：

定义6  设L是拟连续Domain，$\mathscr{B}$是L的拟基. 若存在由有限集作为元素的有限集族$\mathscr{F}_i(i \in I)$满足：

(a) $\mathscr{B}$⊆∪_i∈I$\mathscr{F}_i$，且{B₁，B₂}⊆$\mathscr{B}$蕴含{B₁，B₂}⊆$\mathscr{F}_i$对某个i成立；

(b) $\forall i \in I, E, F \in \mathscr{F}_i, x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$, 存在$H \in \mathscr{F}_i$，使得$H \subseteq \uparrow E \cap \uparrow F \text { 且 } H \ll x$.

则称$\mathscr{B}$是L的拟双有限基.

定理2  设L是拟连续Domain，$\mathscr{F} \subseteq \mathscr{P}^w(L)$是有限集族. 则$\forall E, F \in \mathscr{F}, x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$，存在H∈$\mathscr{F}$，使得H⊆↑E∩↑F且H≪x，当且仅当$D=\{\uparrow F: F \in \mathscr{F} \cap \operatorname{fin}(x)\}$在反包含序下存在最大元.

证  $\forall E, F \in \mathscr{F}, x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$，存在H∈$\mathscr{F}$，使得H⊆↑E∩↑F且H≪x，则↑H是↑E和↑F在D中的上界，从而D是有限的定向集，则必有最大元. 反之，若D存在最大元↑H′，∀E，F∈$\mathscr{F}$，$x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$，则↑E，↑F∈D，故H′⊆↑E∩↑F且H′≪x.

定理3  设L是拟连续Domain，$\mathscr{B}$是L的拟双有限基，则L相对于$\mathscr{B}$具有性质SM^*.

证  设$\forall E, F \in \mathscr{B}, E \ll x, F \ll x$. 由于$\mathscr{B}$是L的拟双有限基，则存在由有限集作为元素的有限集族$\mathscr{F}_i(i \in I)$，使得：

(ⅰ) $\mathscr{B} \subseteq \bigcup_{i \in I} \mathscr{F}_i$，且$E, F \in \mathscr{F}_i$对某个i成立；

(ⅱ) 存在$H \in \mathscr{F}_i$，使得H⊆↑E∩↑F且H≪x，则$\Uparrow E \cap \Uparrow F \subseteq \bigcup_{i \in I} \Uparrow H$.

反之，若$x \in \bigcup_{i \in I} \Uparrow H$，存在H∈$\mathscr{F}_i$使得H≪x对某个i成立，且$x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F, \cup_{i \in I} \Uparrow H \subseteq \Uparrow E \cap \Uparrow F$. 则$\bigcup_{i \in I} \Uparrow H=\Uparrow E \cap \Uparrow F$，L相对于$\mathscr{B}$具有性质SM^*.

定理4  设L是拟连续Domain，如果对任意有限集E，F⊆L，$\Uparrow E \cap \Uparrow F$是Scott拓扑的紧子集，则L具有SM^*性质.

证  设有限集E，F⊆L. $\forall x \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$，由于$\Uparrow E \cap \Uparrow F$是Scott开集，则存在有限集H_x使得$x \in \Uparrow H_x \subseteq \Uparrow E \cap \Uparrow F$，则$\mathscr{H}=\left\{\Uparrow H_x: x \in \Uparrow H_x \subseteq \Uparrow E \cap \Uparrow F\right\}$是$\Uparrow E \cap \Uparrow F$的开覆盖，则存在有限多个$H_1, \cdots, H_n \in \mathscr{H}$是$\Uparrow E \cap \Uparrow F$的开覆盖，则$x \in U_i \Uparrow H_i$.

反之，$\forall y \in \bigcup_i \Uparrow H_i$，存在i使得$H_i \ll y, y \in \Uparrow E \cap \Uparrow F$. 从而$\Uparrow E \cap \Uparrow F=\bigcup_i \Uparrow H_i$，L具有SM^*性质.

本文给出了比M^*性质更强的SM^*性质，并给出了一些具有SM^*性质的特殊拟连续Domain，并说明了在代数情形下，SM^*性质与M^*性质等价，同时给出了一种新的偏序结构QL-Domain以及其具有SM^*性质的等价条件. 本文的结论有助于Domain理论的进一步研究.