与一元函数类似，多元函数的最值问题涉及到两个方面：一方面是函数的最值是否存在；另一方面是当函数存在最值时，如何计算它的最值.在教学过程中，教师往往侧重讲解如何计算多元函数的最值，而忽略了它的前提：函数最值的存在性.关于函数最值的存在性，教材主要依据如下结论：有界闭域上的连续函数必有最小值和最大值.假设多元函数f在有界闭域D上连续，在D内部可微并且仅有有限个驻点.计算函数f最值的一般方法是^[5]：将函数f在D内部的所有驻点处的函数值与f在D边界上的最值进行比较，其中最小的就是最小值，最大的就是最大值.

然而，解决实际问题并非这么简单.原因之一是多元函数在区域内的驻点可能有无穷多个；原因之二是计算多元函数在区域边界上的最值往往比较复杂.除此而外，实际问题中经常涉及到多元函数的定义域不是有界闭域的情形，此时不能预先断言函数一定存在最小值或最大值.针对这些情形，绝大部分教材是这样处理的：如果根据实际问题的性质，知道函数的最小值(或最大值)一定在区域内部取到，而函数在区域内部仅有一个驻点，则断言函数在该点取到最小值(或最大值).显然，凭直观判断实际问题的最小值(或最大值)一定在区域内部取到，不仅难以令学生信服，而且容易给学生造成困惑.

关于一元函数的最值，我们有如下结论：如果函数f在区间I上可微，有唯一的驻点，并且f在该点取到极小值(或极大值)，那么f在该点取到最小值(或最大值).很自然地，我们期望多元函数也有类似的结论.

在同济大学数学系编写的《高等数学》第7版教材中，下册第114-115页的例5和例6分别涉及到材料面积函数

以及断面面积函数

教材没有预先证明函数f存在最小值以及函数g存在最大值，而是仅仅计算出函数的唯一驻点，进而断言函数在驻点处取到最小值或最大值.在教学过程中，如果教师没有特别强调，许多学生很容易据此推测多元函数确实有类似的结论.

然而，由于自变量个数的增加，多元函数最值问题的研究远比一元函数复杂.对多元函数而言，上述猜测其实是不成立的.下面的反例源于文献[6].

例1 ^[6]  二元函数

在全平面上有唯一的驻点(0，0)，并且在(0，0)处取到极大值.但是，由

可知h(0，0)并不是函数h的最大值，则函数h在全平面上没有最大值.

因此，如何让学生理解和区别一元函数与多元函数最值问题的不同性质，取得较好的教学效果，是一个值得思考的方向^[6-8].

多元函数最值的存在性是教学过程中容易被忽视的环节，然而它是计算多元函数最值的前提.当多元函数的定义域不是有界闭域时，函数在区域边界附近(如果边界非空)以及无穷远处(如果区域无界)的渐近性质决定着函数的最值是否存在.在这种情形下，如何证明多元函数存在最小值(或最大值)并非易事.到目前为止，也没有统一的证明方法.本节首先证明上述材料面积函数(1)和断面面积函数(2)确实存在最小值或最大值.为此，我们需要如下定理：

定理1 ^[5]  有界闭域上的连续函数必有最小值和最大值.

例2  二元函数$f(x, y) = 2\left(x y+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\right)$在区域$D = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | x>0, y>0\right\}$上有最小值.

证  记

根据定理1，二元函数f在有界闭域D^*上有最小值，记为m.显然m≤f(2，2)=12.下证当(x，y)∈D\D^*时，f(x，y)>12.事实上，当$(x, y) \in\left\{(x, y) \in D | 0 < x < \frac{1}{10}\right\} \cup\left\{(x, y) \in D | 0 < y < \frac{1}{10}\right\}$时，

当$(x, y) \in\left\{(x, y) \in D | x>100, y \geqslant \frac{1}{10}\right\} \cup\left\{(x, y) \in D | x \geqslant \frac{1}{10}, y>100\right\}$时，

因此，二元函数f在区域D上的最小值为m.

例3  二元函数

在区域$D = \left\{(x, \alpha) \in \mathbb{R}^{2} | 0 < x < 12, 0 < \alpha \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$上有最大值.

证 根据一元函数的连续性，可取$\alpha_{1} \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$满足48 cos α₁ < 1，并取x₁∈(10，12)满足24x₁-2x₁² < 3.记

根据定理1，二元函数g在有界闭域D^*上有最大值，记为M.显然$M \ge g\left({6, \frac{\pi }{3}} \right) = 45/\sqrt 3 > 75$.下证当(x，α)∈D\D^*时，g(x，α) < 75.事实上，当(x，α)∈{(x，α)∈D|0 < x < 1}时，

当(x，α)∈{(x，α)∈D|x₁ < x < 12}时，

当$(x, \alpha) \in\left\{(x, \alpha) \in D | 0 < \alpha < \frac{\pi}{6}\right\}$时，

当$(x, \alpha) \in\left\{(x, \alpha) \in D | \alpha_{1} < \alpha \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$时，

因此，二元函数g在区域D上的最大值为M.

注1  例2和例3的证明思路是：分析多元函数在区域边界附近(如果边界非空)以及无穷远处(如果区域无界)的渐近性质，寻找适当的有界闭域D^*⊂D.根据定理1，多元连续函数在有界闭域D^*上必有最小值m和最大值M.如果能证明函数在D\D^*上的值恒大于m(或小于M)，则函数在区域D上有最小值m(或最大值M).

上述证明思路具有一定的普适性，可以应用于其它多元函数最值存在性的证明.众所周知，最小二乘法在实际生活中有着非常广泛的应用，它的基本原理如下^[9]：假设{(x_i，y_i)}_{i = 1}ⁿ是一组测量数据，其中x₁，x₂，…，x_n不全相等，确定一条直线y = ax+b，使得它与这些测量点的偏差平方和

最小.几乎所有的高等数学和数学分析教材都没有证明上述函数在全平面上有最小值，而仅仅关注如何确定直线y = ax+b.接下来，我们给出严格的数学证明.

例4  假设x₁，x₂，…，x_n不全相等，则二元函数$f(a, b) = \sum\limits_{i = 1}^{n}\left(a x_{i}+b-y_{i}\right)^{2}$在全平面上有最小值.

证  当n = 1时，结论显然成立.下面考虑n≥2的情形.不妨设x₁≠x₂.定义二元连续函数

根据定理1，函数g在有界闭域$S_{1} = \left\{(a, b) \in \mathbb{R}^{2} | a^{2}+b^{2} = 1\right\}$上有最小值，记为m₀.首先断言m₀>0.若不然，则存在(a₀，b₀)∈S₁，满足

因此，a₀x₁+b₀ = 0且a₀x₂+b₀ = 0.由x₁≠x₂，可知a₀ = b₀ = 0.这与(a₀，b₀)∈S₁矛盾.

由二元函数g的齐次性，有

因此

则当a²+b² +∞时，f(a，b) +∞.

固定$L>\sum\limits_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} = f(0, 0)$，则存在r>0，使得当a²+b²>r²时，f(a，b)>L.而二元函数f在有界闭域$D_{r} = \left\{(a, b) \in \mathbb{R}^{2} | a^{2}+b^{2} \leqslant r^{2}\right\}$上有最小值，记为m.显然，m≤f(0，0) < L.因此，二元函数f在全平面上的最小值为m.

综上所述，在讲授多元函数的最值时，教师应从经典的例题入手，引导学生首先利用注1中的思路证明函数存在最小值(或最大值)，然后选择恰当的方法计算函数的最小值(或最大值).这不仅有利于培养学生严密的逻辑思维能力，也能取得事半功倍的教学效果.