泛函分析是研究无限维线性空间及其上的算子理论的一门学科，对学生思维能力的培养以及进一步的数学深造和研究起着关键性作用，尤其对于应用科学研究来说，它是必不可少的工具.但是，由于其高度的抽象性，使得学生在学习过程中往往遇到很多困难，如只是机械地记定理，读懂证明，而对有关理论的认识不深刻，缺乏应用.造成此种状况的原因在于没有充分调动学生思考问题、解决问题的主动性，学生是被动地接受知识而非主动地积极思考.因此，尝试在教学中改变以往传统的讲授方式，采用研讨型教学模式，即在适当的部分提出问题，这些问题不仅包括书中能找到答案的问题，同时还包括书中无法找到答案的问题，通过适当引导，鼓励学生思考，培养学生的创新思维，提高学生的学习兴趣，充分调动学生学习的积极性和主动性.这样既可以加深学生对知识内容的理解和掌握，又可以培养学生的应用能力，从而大大提高学生对泛函分析甚至其它后继数学课程学习的兴趣.研讨型教学方法实际上已经成为许多本科专业教育教学的改革方向和发展目标^[1-4].

比如泛函分析课程中有界算子理论这部分内容，事实证明，在教学中增加学生参与探索的过程有事半功倍的效果.通过对教材的学习，学生知道对于有限维线性空间，当基选定后，其上的有界线性算子空间与矩阵空间是同构的^[5-7].讲授中教师可提出拓展性问题：对于无限维空间，比如序列空间l¹，c₀，l^∞，其上的有界线性算子是否与无限维矩阵有类似的对应关系呢？教师可指导学生查阅文献，让他们知道：序列空间l¹上的有界算子空间$ \mathscr{B}\left(l^{1} \longrightarrow l^{1}\right)$与无限维列和有界矩阵空间$\mathscr{F}=\left\{\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1}^{+\infty}\right. $：存在K>0，对任意$ j, \sum\limits_{i = 1}^{ + \infty } {\left| {{a_{ij}}} \right|} \leqslant K\} $等距同构；c₀上的有界算子空间$ \mathscr{B}\left(c_{0} \longrightarrow c_{0}\right)$与无限维行和有界矩阵空间$ \mathscr{F}=\{\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1}^{+\infty}$：存在K>0，对任意$ i, \sum\limits_{j=1}^{+\infty}\left|a_{i j}\right| \leqslant K$；对任意$ j, \lim\limits_{i \rightarrow+\infty} a_{i j}=0 \}$等距同构(参见文献[8-11]).类似地，可引导学生思考：对于序列空间l^∞到l^∞中的有界线性算子空间$\mathscr{B}\left(l^{\infty} \longrightarrow l^{\infty}\right) $，它是否与某类无限维矩阵空间有类似关系呢？

首先，根据对l¹，c₀上的有界算子的分析经验(参见文献[9])，由接下来的讨论可以得到任意一个行和有界的无限维矩阵可诱导出一个l^∞到l^∞的有界线性算子.

命题1  若无限维矩阵$ \boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1}^{+\infty}$满足行和有界，即$\mathop {\sup }\limits_i \sum\limits_{j = 1}^{ + \infty } {\left| {{a_{ij}}} \right|} < + \infty $，则算子

是l^∞到l^∞中的有界线性算子，且$\left\| \mathit{\boldsymbol{A}} \right\| = \mathop {\sup }\limits_i \sum\limits_{j = 1}^{ + \infty } {\left| {{a_{ij}}} \right|} $，其中

证  易证$\mathscr{A} $是线性的，又由

知$ \mathscr{A}$是l^∞到l^∞的有界线性算子，且

对任意i，取

则x_i∈l^∞(x_i=0或‖x_i‖=1)，且

总有

所以对任意i，有$\|\mathscr{A}\| \geqslant \sum\limits_{j=1}^{+\infty}\left|a_{i j}\right| $，从而$\|\mathscr{A}\| \geqslant \sup\limits_{i} \sum\limits_{j=1}^{+\infty}\left|a_{i j}\right| $，故有

由文献[9]知，对任意$ \boldsymbol{B} \in \mathscr{B}\left(l^{1} \longrightarrow l^{1}\right)$，设

其中：

则由

可得到一个列和有界矩阵，而由此列和有界矩阵又可诱导一个l¹到l¹的有界线性算子B₀.由文献[9]知此B₀与原来的算子B为同一算子，即B₀=B.

对于c₀空间有类似结论.

对于l^∞空间，学生可尝试比照l¹，c₀空间的情形进行讨论.类似地，对任意$ \boldsymbol{B} \in \mathscr{B}\left(l^{\infty} \longrightarrow l^{\infty}\right)$，设

可以证明

为一个行和有界矩阵.而由命题1，一个行和有界矩阵可诱导出一个l^∞到l^∞的有界线性算子，记为B₀，此B₀与原来的算子B是否也为同一算子呢？可引导学生尝试进行证明.在尝试的过程中，学生会试图借用当初对l¹，c₀空间的讨论思想和方法，此时会发现，在之前的讨论中用到了span_i{e_i}分别在l¹及c₀空间中稠密，但注意到，span_i{e_i}在l^∞中却是不稠密的.事实上，我们可以给出具体的反例^[12]，说明对于l^∞空间，前面给出的B₀与原来的算子B不一定为同一算子.

首先，定义l^∞的子空间

上的泛函

其中

由极限运算的线性性易知，f(x)是c上的线性泛函.又因为对任意x∈c，有

所以f(x)是c上的连续线性泛函，且‖f‖≤1.

由Hahn-Banach延拓定理，可得l^∞上的连续线性泛函$\widetilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}) $，当x∈c时，满足：

对任意x=(ξ₁，ξ₂，…，ξ_n，…)∈l^∞，定义

显然对任意x∈l^∞，有Bx∈l^∞，且

又由$ \tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x})$的线性性易知，B是线性算子，即$\boldsymbol{B} \in \mathscr{B}\left(l^{\infty} \longrightarrow l^{\infty}\right) $.

由B的定义易得，对任意e_j=(δ_1j，δ_2j，…，δ_ij，…)∈l^∞，有

从而

则由此矩阵诱导的算子B₀=0.但对y=(1，1，…，1，…)∈l^∞，有

即B≠0，B₀≠B.

在整个问题的讨论中，学生的收获是很大的.从知识方面来说，势必对序列空间、有界线性算子理论有更深刻的认识和理解.更重要的是，从学习能力方面来说，学生学会了查阅资料，利用参考文献中的思想方法发现问题、解决问题，体验了科研创新的成就感，势必对后续内容及课程的学习起到积极的作用.