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非线性偏微分方程在数学、物理、化学以及其它学科和工程领域起着非常重要的作用.很多学者研究了非线性偏微分方程，因此许多求解非线性偏微分方程的方法也发展起来.比如Jacobi椭圆函数展开法[1]、辅助函数法[2]、指数函数法[3]、sine-cosine法[4]、G′/G展开法[5-6]、Bäcklund变换法[7]等.扩展试验方程法是一种常用于求解非线性偏微分方程精确解的方法，文献[8]利用扩展试验方程法得到了广义Benjamin方程和Burger-Kdv方程的精确行波解，文献[9]通过扩展试验方程法考虑了非线性耦合Schrodinger Boussinesq偏微分方程的精确行波解.
本文主要探讨积分微分KP层次方程
的精确行波解，其中
KP层次方程在数学物理和工程中有许多重要的应用，是一类非常重要的非线性偏微分方程.文献[10]利用重复齐次平衡法得到了(3+1)维KP方程的孤子解和周期解，文献[11]通过G′/G-展开法得到了(2+1)维KP方程的行波解.文献[12]通过扩展tanh法得到了耦合KP方程的行波解.我们将对方程(1)进行积分变换，之后再对其进行行波变换，然后利用扩展试验方程法对方程(1)的精确行波解进行研究.
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在方程(1)中做变换u=vxx，可将积分微分KP层次方程(1)转换成如下的方程
对方程(2)进行行波变换，再对其进行一次积分，令v(x，y，t)=v(ξ)，其中ξ=x+y－kt，k是波速，方程(2)可化为
其中
$v_{\xi\xi}=\frac{\partial^{2} v}{\partial \xi^{2}}, v^{(4)}=\frac{\partial^{4} v}{\partial \xi^{4}}$ ，C是积分常数.令w=vξξ，方程(3)可化为如下等价的方程综上推导可知，方程(4)的解为w=vξξ，而方程(1)的解为u=vxx，显然方程(1)的解与方程(4)的解具有相同形式.为此下面只需对方程(4)进行研究.
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上节给出了方程(1)的积分变换和行波变换，本节将利用扩展试验方程法对方程(1)的精确行波解进行研究.首先给出扩展试验方程法的步骤.
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考虑如下的常微分方程
步骤1 假设方程(5)有如下形式的解
其中τi(i=0，1，…，δ)为待定系数，Y满足如下方程
τi，λi，ζi是待常数，可以得到
Φ(Y)，Ψ(Y)是关于Y的多项式.
步骤2 平衡最高阶导数项和最高阶非线性项，可得到δ，ζ，λ的关系.
步骤3 把方程(6)，(7)代入方程(5)得到关于Y的多项式，令Yi的各项系数为0，得到方程组，解方程组得到τi，λi，ζi.
步骤4 将方程(7)转化为积分形式
根据(9)式可以得到方程(5)的行波解.
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根据方程(1)与方程(4)解之间的关系，先用扩展试验方程法对方程(4)的精确行波解进行研究.现在应用扩展试验方程法求解方程(4)，通过(6)，(7)，(8)式可以得到
利用齐次平衡法，可以得到δ－2+θ－ε=2δ，即δ=θ－ε－2.
假设ε=0，θ=3，则δ=1，于是有
把(15)，(16)式代入方程(4)，合并同类项，令Ym(m=0，1，2)的系数等于0，得到代数方程组为
解得
根据方程(9)可知
其中λ3ζ0>0，为了对(19)式进行积分，下面将讨论以下几种情况：
情况1 若
α是非零常数，等式两边系数相等，得到
把(21)式代入(18)式，得到
λ3，ζ0，α，C为任意常数
得到
把(22)，(24)式代入方程(15)，得到方程(1)的钟状解u1(图 1)，
其中
情况2 若
其中α1，α2是非零常数，等式两边系数相等，得到
把(27)式代入(18)式，得到
λ3，ζ0，C，α1，α2为任意常数.
当α2>α1时，
得到
把(28)，(30)式代入方程(15)，得到方程(1)的三角函数解u2(图 2)，
其中
同样地，当α1>α2时，
把(28)，(32)式代入方程(15)，得到方程(1)的双曲函数解u3，
其中
情况3 若
α1，α2，α3是非零常数，等式两边系数相等，得到
把(35)式代入(18)式，得到
其中λ3，ζ0，C，α1，α2，α3为任意常数，
把(36)，(37)式代入方程(15)，得到方程(1)的椭圆函数解u4(图 3)，
其中
2.1. 扩展试验方程法
2.2. 方程(1)的精确行波解
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利用扩展试验方程法得到了积分微分KP层次方程的钟状解、三角函数解、双曲函数解和椭圆函数解的精确表达式.通过查阅文献，这些解的显示表达式是首次求出的，可以看出扩展试验方程法是求解非线性偏微分方程的有效方法，可以用于求解数学物理中的非线性偏微分方程.