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1974年，文献[1]首次用比较弱的单调性和连续性来代替可加性，定义了模糊测度的概念，在此基础上给出了非负可测函数关于模糊测度的积分(通常称为(S)模糊积分). 1981年，文献[2]用普通乘法代替(S)模糊积分中的取小算子“∧”，对非负可测函数定义了(N)模糊积分. 1991年，文献[3]用广义三角模将上述两种积分作了推广，给出了非负可测函数的广义模糊积分的概念，并讨论了一些性质. 1996年，文献[4]给出了广义模糊积分的广义收敛定理. 2003年，文献[5]将(S)模糊积分中的非负可测函数推广到一般的广义实值可测函数.随后，文献[6]进一步讨论了广义实值可测函数模糊积分的刻划定理和积分转化定理，文献[7]讨论了Fuzzy值函数序列Sugeno积分的一些收敛性质. 2009年，文献[8]在给定的K-拟可加模糊测度空间上，获得了广义(S)模糊积分的一些新的性质. 2011年，文献[9]给出了一般可测函数的广义模糊积分，并研究了这类积分的基本性质.文献[10]通过研究模糊测度的可测区间值函数定义了区间广义模糊积分.文献[11]则在模糊测度空间上引进了模糊Choquet积分的概念，进一步扩大了模糊积分的范围.
以上积分都是定义在分明集上的，对模糊集上的模糊积分研究相对较少.其中，文献[12-14]和文献[15]分别将(S)模糊积分和(N)模糊积分推广到模糊集和格模糊集上.文献[16]则研究了复模糊集值复模糊积分的收敛问题，得到了这种拓广到复模糊集值上的复模糊积分的单调收敛定理、法都定理和控制收敛定理等重要的收敛定理.
在以上文献基础上，本文将给出模糊集上广义模糊积分的概念，讨论此种积分的基本性质与收敛定理，并给出一类由该积分表示的积分方程的求解条件.
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设X是非空集合，
$ F\left( X \right)=\left\{ \tilde{A}|\tilde{A}:X\to \left[0, 1 \right] \right\} $ 表示X的所有模糊子集组成的集合.为区别起见，称X中的一般子集为分明子集或分明集. F(X)上由非空子类组成的模糊σ-代数$ \tilde{F} $ 以及定义在$ \tilde{F} $ 上的模糊测度$ \tilde{\mu } $ 等概念参见文献[13].除非特别注明，以下讨论都在模糊测度空间(X，
$\tilde{F} $ ，$ \tilde{\mu }$ )上进行，并将该空间简记为X.记[17]注1 对函数f：X→[0，∞]，由于：
可知f∈M+当且仅当fα={x|f(x)＞α}∈
$ \tilde{F} $ 对任意的α≥0成立.定义1 设
$\tilde{A} $ ∈$ \tilde{F}$ ，f∈M+，f在$\tilde{A} $ 上关于模糊测度$\tilde{\mu } $ 的广义模糊积分定义为其中，映射S：D→[0，+∞]是广义三角模[3]，
注2 当广义三角模分别取S(x，y)=min(x，y)和S(x，y)=kxy(k＞0)时，定义1中的积分即分别为(S)模糊积分(S)∫
$ \tilde{A}$ fd$\tilde{\mu } $ 和(N)模糊积分(N)∫$ \tilde{A}$ fd$\tilde{\mu } $ .注3 显然定义1中的积分等价于∫
$ \tilde{A}$ fd$\tilde{\mu } $ =$ \mathop {\sup }\limits_{a > 0} $ S(α，$ \tilde{\mu } $ (f$ \overline \alpha $ ∩$ \tilde{A} $ )).
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定理1 设
$ \tilde{\mu } $ ($ \tilde{A} $ )＜∞，对于广义模糊积分，有其中fα={x∈X|f(X)＞a}，α∈(0，∞).
证 由于f
$ \overline \alpha $ ⊃fα，所以只需证明首先，注意到
而集合列{f
$ a - \frac{1}{n} $ }为单调减，$ \tilde{\mu }$ ($\tilde{A} $ )＜∞，于是由$ \tilde{\mu }$ 的上半连续性知且
再由广义三角模的性质知
若M=
$ \mathop {\sup }\limits_{a > 0} $ S(α，$ \tilde{\mu } $ (f$ \overline \alpha $ ∩$\tilde{A} $ ))＜∞，则∀ε＞0，存在α＞0，使得由(1)式，存在n0，使得α0=α-
$ \frac{{\text{1}}}{{{n_{\text{o}}}}}$ ＞0，且从而
由ε的任意性得到
即
若
$ \mathop {\sup }\limits_{a > 0} $ S(α，$ \tilde{\mu } $ (f$ \overline \alpha $ ∩$ \tilde{A} $ ))=∞，由(1) 式知于是
定理2 模糊集上的广义模糊积分有如下性质：
(1°) 若f1≤f2，则∫
$ \tilde{A} $ f1d$ \tilde{\mu } $ ≤∫$ \tilde{A} $ f2d$ \tilde{\mu } $ ；(2°) 若
$ \tilde{\mu } $ ($ \tilde{A} $ )=0，则∫$ \tilde{A} $ fd$ \tilde{\mu } $ =0；(3°) 若
$ \tilde{A} $ ⊂$ \tilde B $ ，则∫$ \tilde{A} $ fd$ \tilde{\mu } $ ≤∫$ \tilde B $ fd$ \tilde{\mu } $ ；(4°) ∫
$ \tilde{A} $ cd$ \tilde{\mu } $ =S(c，$ \tilde{\mu } $ ($ \tilde{A} $ ))，其中c＞0；(5°) ∫
$ \tilde{A} $ c∨fd$ \tilde{\mu } $ =∫$ \tilde{A} $ cd$ \tilde{\mu } $ ∨∫$ \tilde{A} $ fd$ \tilde{\mu } $ 其中c＞0；(6°) ∫
$ \tilde{A} $ f1d$ \tilde{\mu } $ ∨∫$ \tilde{A} $ f2d$ \tilde{\mu } $ ≤∫$ \tilde{A} $ (f1∨f2)d$ \tilde{\mu } $ ；(7°) ∫
$ \tilde{A} $ f1d$ \tilde{\mu } $ ∧∫$ \tilde{A} $ f2d$ \tilde{\mu } $ ≥∫$ \tilde{A} $ (f1∧f2)d$ \tilde{\mu } $ ；(8°) ∫
$ \tilde{A} $ f1d$ \tilde{\mu } $ ∨∫$ \tilde B $ f2d$ \tilde{\mu } $ ≤∫$ \tilde{A} $ ∪$ \tilde B $ (f1∨f2)d$ \tilde{\mu } $ ；(9°) ∫
$ \tilde{A} $ f1d$ \tilde{\mu } $ ∧∫$ \tilde B $ f2d$ \tilde{\mu } $ ≥∫$ \tilde{A} $ ∩$ \tilde B $ (f1∧f2)d$ \tilde{\mu } $ .证 只证(4°)和(5°)，其它性质由积分定义易证.
(4°) 对∀α＞0，均有
所以由积分定义可知
(5°) 由于对∀α＞0均有
故
又因为
所以结论成立.
定理3 可测函数f1，f2∈M+，
$ \tilde{A} $ ∈$ \tilde{F} $ ，在$ \tilde{A} $ 中$ {f_1}\underline {\underline {{\text{a}}{\text{.e}}.} } {f_2} $ ，则∫$ \tilde{A} $ f1d$ \tilde{\mu } $ =∫$ \tilde{A} $ f2d$ \tilde{\mu } $ 当且仅当$ \tilde{\mu } $ 是分明零可减的[17].证 充分性 令
由
$ {f_1}\underline {\underline {{\text{a}}{\text{.e}}.} } {f_2} $ 可知，存在分明集E∈$ \tilde{F} $ ，$ \tilde{\mu } $ (E)=0，使得$ \tilde{A} $ ∩Ec⊂D.又因(f2)α∩D⊂(f1)α，所以由
$ \tilde{\mu } $ 的单调性及分明零可减性，有因此有∫
$ \tilde{A} $ f1d$ \tilde{\mu } $ ≥∫$ \tilde{A} $ f2d$ \tilde{\mu } $ .类似可证∫$ \tilde{A} $ f1d$ \tilde{\mu } $ ≤∫$ \tilde{A} $ f2d$ \tilde{\mu } $ .必要性 若存在分明集E∈
$ \tilde{F} $ ，$ \tilde{\mu } $ (E)=0，令：其中e为S单位元，且：
显然有
从而
$ {f_1}\underline {\underline {{\text{a}}{\text{.e}}.} } {f_2} $ .于是∫$ \tilde{A} $ f1d$ \tilde{\mu } $ =∫$ \tilde{A} $ f2d$ \tilde{\mu } $ .但：所以有
及
由∫
$ \tilde{A} $ f1d$ \tilde{\mu } $ =∫$ \tilde{A} $ f2d$ \tilde{\mu } $ 得到$ \tilde{\mu } $ ($ \tilde{A} $ )=$ \tilde{\mu } $ ($ \tilde{A} $ ∩Ec).下面给出模糊积分的单调收敛定理：
定理4 设f，fn∈M+，且fn≤fn+1 (n=1，2，3，…)，
$ \tilde{A} $ ∈$ \tilde{F} $ ，若fn→f，则证 因为fn≤f(n=1，2，…)，故由广义模糊积分的性质有
下面证明
令c=∫
$ \tilde{A} $ fd$ \tilde{\mu } $ ，分3种情况讨论：情况1 若c=0，结论显然成立.
情况2 若0＜c＜∞，则由c=
$ \mathop {\sup }\limits_{a > 0} $ S(α，$ \tilde{\mu } $ (fα∩$ \tilde{A} $ ))知，存在αk＞0，使得另外，由fn↑f，有(fn)α↑fα，所以
$ \tilde{A} $ ∩(fn)α↑$ \tilde{A} $ ∩fα.由$ \tilde{\mu } $ 的下连续性知再利用广义三角模性质，存在nk，当n≥nk时，有
从而当n≥nk时，有
于是
再由k的任意性便知
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } $ ∫$ \tilde{A} $ fnd$ \tilde{\mu } $ ≥c.情况3 若c=∞，存在αk＞0，使得
类似可知，存在nk，当n≥nk时，有
从而当n≥nk时，有
所以有
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } $ ∫$ \tilde{A} $ fnd$ \tilde{\mu } $ =∞.定理5(Fatou引理) 设fn∈M+ (n=1，2，3，…)，
$ \tilde{A} $ ∈$ \tilde{F} $ ，则证 令g=
$ \mathop {\lim }\limits_{\overline {n \to \infty } } $ fn，gn=$ \mathop \wedge \limits_{k = n}^\infty $ fk，则gn↑g，且gn，g∈M+.由定理4可知下面的定理6中，恒设广义三角模S满足条件
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ S$ \left( {\frac{1}{n}, \infty } \right) $ =0，$ \tilde{\mu } $ (X)＜∞.定理6 设β∈(0，∞)，则X上几乎处处有限[17]的非负可测函数f(x)满足∫
$ \tilde{A} $ f(x)d$ \tilde{\mu } $ =β当且仅当对∀α＞0均有S(α，$ \tilde{\mu } $ (fα∩$ \tilde{A} $ ))≤β，且存在α0∈(0，∞)，使得S(α0，$ \tilde{\mu } $ (fα0∩$ \tilde{A} $ ))=β.证 必要性由∫
$ \tilde{A} $ fd$ \tilde{\mu } $ =$ \mathop {\sup }\limits_{a > 0} $ S(α，$ \tilde{\mu } $ (fα∩$ \tilde{A} $ ))=β可知，对∀α＞0，均有并且存在正数列{αn}，使得
取{αnk}为{αn}的单调增子列且收敛于α0∈[0，∞].
若α0=∞，即αnk↑∞，则由
$ \tilde{\mu } $ 的定义及f是几乎处处有限的，可知从而
由
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } S\left( {\frac{1}{n}, \infty } \right) = 0 $ 知与β∈(0，∞)矛盾.
若α0=0，即αnk↓0，则由
$ \tilde{\mu } $ (X)＜∞知与β∈(0，∞)矛盾，所以必有α0∈(0，∞).注意到fαnk⊃fαnk+1且
$ \mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty $ fαnk=fα0，可得从而
从而
充分性 因对∀α＞0均有S(α，
$ \tilde{\mu } $ (fα∩$ \tilde{A} $ ))≤β，所以∫$ \tilde{A} $ fd$ \tilde{\mu } $ ≤β.因为故
推论1 设f(x)为X上的几乎处处有限的非负可测函数，β∈(0，∞)，则(S)∫
$ \tilde{A} $ f(x)d$ \tilde{\mu } $ =β当且仅当$ \tilde{\mu } $ (fα∩$ \tilde{A} $ )≤β对∀α＞β成立，且$ \tilde{\mu } $ (fβ∩$ \tilde{A} $ )≥β.证 必要性 由定理6可知，对∀α＞0，均有α∧
$ \tilde{\mu } $ (fα∩$ \tilde{A} $ )≤β，故对∀α＞β，有$ \tilde{\mu } $ (fα∩$ \tilde{A} $ )≤β.同时存在α0∈(0，+∞)，使得此时必有α0≥β.
若α0=β，由α0∧
$ \tilde{\mu } $ (fα0∩$ \tilde{A} $ )=β直接可得$ \tilde{\mu } $ (fβ∩$ \tilde{A} $ )≥β.若α0＞β，则有
充分性 此时易见，对∀α＞0，均有α∧
$ \tilde{\mu } $ (fα∩$ \tilde{A} $ )≤β，且β∧$ \tilde{\mu } $ (fβ∩$ \tilde{A} $ )=β，从而由定理6可知结论.定理7 设k(x)为固定的非负可测函数，β∈(0，∞)，则存在几乎处处有限的非负可测函数f满足∫
$ \tilde{A} $ (k(x)∧f(x))d$ \tilde{\mu } $ =β的充要条件是存在非负可测函数h(x)≤k(x) (∀x∈X)，使得对∀α＞0均有S(α，$ \tilde{\mu } $ (hα∩$ \tilde{A} $ ))≤β，且存在α0使得S(α0，$ \tilde{\mu } $ (hα0∩$ \tilde{A} $ ))=β.证 必要性 若存在函数f(x)满足∫
$ \tilde{A} $ (k∧f)d$ \tilde{\mu } $ =β，令f∧k=h，则由定理6知结论成立.充分性 若存在函数h(x)满足条件，则
再由定理6可知∫
$ \tilde{A} $ hd$ \tilde{\mu } $ =β.令f=h，结论也成立.推论2 对(S)模糊积分，存在非负可测函数f，使得(S)∫
$ \tilde{A} $ (k(x)∧f(x))d$ \tilde{\mu } $ =β的充要条件为存在非负可测函数h(x)≤k(x) (∀x∈X)，使得$ \tilde{\mu } $ (hβ∩$ \tilde{A} $ )≥β，且对∀α＞β均有$ \tilde{\mu } $ (hα∩$ \tilde{A} $ )≤β.证 由推论1即得.
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