假设在模型(1)中对绝育蚊子采取常数释放策略，即有B(·)=b₀，则可得如下相应动力学模型：

定义集合Ω₁：

容易验证Ω₁是系统(2)的正不变集，因而本节下面的分析都将在Ω₁内进行.

容易得到系统(2)存在一个边界平衡点E₀(0，g⁰)，其中$ {g^0} = \frac{{{b_0}}}{{{u_2}}}$.系统(2)的正平衡点满足

由(3)式可以得到

则有

令

则当a≤β时，F^′(w)≥0，知F(w)为单调递增函数.又由F(0)＞0，

知此时系统(2)没有正平衡点.

当a＞β时，存在w₂＞w₁＞0，使得

其中

容易验证w₁，w₂分别为F(w)极大值和极小值点.定义

当F(w₂)＞0，即${b_0} > \tilde b $时，系统(2)没有正平衡点；当F(w₂)=0，即${b_0} = \tilde b $时，系统(2)有且仅有一个正平衡点E(w₂，g⁰)；当F(w₂)＜0，即${b_0} < \tilde b $时，系统(2)有两个正平衡点$ {E_1}({{\bar w}_1}, {\rm{ }}{g^0})$和$ {E_2}({{\bar w}_2}, {\rm{ }}{g^0}), {{\bar w}_1} < {w_2} < {{\bar w}_2}$.则我们可得如下结果.

定理1   $\left( ⅰ\right) $当a≤β时，系统(2)有且仅有一个边界平衡点E₀(0，g⁰⁰)，无正平衡点.

$\left( ⅱ\right) $当a＞β，${b_0} > \tilde b $时，系统(2)有且仅有一个边界平衡点E₀(0，g⁰⁰)，无正平衡点.

$\left( ⅲ\right) $当a＞β，${b_0} = \tilde b $时，系统(2)存在一个边界平衡点E₀(0，g⁰⁰)和一个正平衡点E(w₂，g⁰⁰).

$\left( ⅳ\right) $当a＞β，$ b_0 < \tilde b$时，系统(2)存在一个边界平衡点E₀(0，g⁰⁰)和两个正平衡点E₁(w₁，g⁰⁰)，${E_1}({{\bar w}_1}, {\rm{ }}{g^0}), {E_2}({{\bar w}_2}, {\rm{ }}{g^0}) $.

系统(1)在E₀处的雅可比矩阵为：

由于J₀的特征值为-μ₁＜0，-μ₂＜0，因此E₀是局部渐进稳定的.特别地当a≤β时，E₀(0，g⁰⁰)是系统(2)唯一的平衡点，可知此时E₀是全局渐进稳定的；类似地，当a＞β，${b_0} > \tilde b $时，E₀也是全局渐进稳定的.

下面讨论正平衡点的稳定性.对于a＞β，$ {b_0} < \tilde b$，系统(1)在正平衡点处的雅可比矩阵为：

其中

经计算可得J₁的行列式为：

由$F({{\bar w}_1}) = 0, {F^\prime }({{\bar w}_1}) < 0 $，有detJ₁(E₁)＜0，从而知平衡点E₁是个鞍点.

由$ F({{\bar w}_2}) = 0{\rm{, }}{F^\prime }({{\bar w}_2}) > 0$，有detJ₁(E₂)＞0；从而由-μ₂＜0知a₁₁＜0，得trJ₁(E₂)＜0，知平衡点E₂是局部渐进稳定的.

对于a＞β，${b_0} = \tilde b $，系统(2)存在一个边界平衡点E₀(0，g⁰⁰)和一个正平衡点E(w₂，g⁰⁰)，由F(w₂)=0，F^′(w₂)=0，有detJ₁(E)=0，从而可得J₁(E)的特征值为a₁₁=0，-μ₂＜0，从而知平衡点E是局部稳定的.最终我们得如下定理2.

定理2   设系统(2)满足初始条件(w(0)，g(0))≥(0，0)，则下面结论成立.

$\left( ⅰ\right) $边界平衡点E₀是局部渐进稳定的.

$\left( ⅱ\right) $当a＞β且$ {b_0} > \tilde b$或a≤β时，边界平衡点E₀是全局渐进稳定的.

$\left( ⅲ\right) $当a＞β，${b_0} = \tilde b $时，正平衡点E是稳定的.

$\left( ⅳ\right) $当a＞β，$ {b_0} < \tilde b$时，正平衡点E₁是个鞍点，E₂局部渐进稳定.

从定理2可见，当a＞β，$ {b_0} < \tilde b$时，系统存在双稳定现象.当绝育蚊子释放率充分大($ {b_0} > \tilde b$)时，野生蚊子种群一定会灭绝；当绝育蚊子释放率小于某个阈值($ {b_0} < \tilde b$)时，野生蚊子种群是否会灭绝取决于初始条件.

取定参数为a=1，μ₁=0.5，μ₂=0.4，m=1，k=10，可得系统(2)关于参数b₀的分支图，其中b=7.413.取定b₀=1，借助pplane软件得到系统(2)的平面相图.

当$ {b_0} > \tilde b$时，系统(2)只存在唯一渐进稳定的边界平衡点E₀；当$ {b_0} < \tilde b$时，除局部渐进稳定的边界平衡点E₀外，系统还存在两个正平衡E₁和E₂，其中E₂局部渐进稳定，E₁是个鞍点，即这时系统(2)存在双稳定现象.当b₀=1时，在平面相图中边界平衡点E₀=(0，2.5)，正平衡点E₁=(2.349，2.5)，E₂=(9.227 7，2.5).

假设在模型(1)中对绝育蚊子采取比例释放策略，即有B(·)=b₁w，则相应系统为：

定义集合Ω₂

容易验证Ω₂是系统(4)的正不变集，因而本节下面的分析都将在Ω₂内进行.

参考文献[8]，我们假设F(0，0)=G(0，0)=0，从而知F(w，g)与G(w，g)在{(w，g)：w≥0，g≥0}上是连续的.在下文中总是假设初始条件w(0)＞0，g(0)＞0成立.

系统(4)的正平衡点满足

由(5)式可以得到

定义判别式

当Δ＜0，即

时，系统(4)没有正平衡点.当Δ=0，即

时，系统(4)有且只有一个正平衡点E^*(w^*，g^0*)，其中

若Δ＞0，即

时，系统(4)有两个正平衡点E₁^*(w₁^*，g₁^*)和E₂^*(w₂^*，g₂^0*)，其中

定义

我们得到如下定理.

定理3   $\left( ⅰ\right) $当${b_1} > \bar b $时，系统(4)无正平衡点.

$\left( ⅱ\right) $当${b_1} = \bar b $时，系统(4)有且只有一个正平衡点E^*(w^*，g^0*).

$\left( ⅲ\right) $当$ {b_1} < \bar b$时，系统(4)存在两个正平衡点E₁^*(w₁^*，g₁^*)和E₂^*(w₂^*，g₂^0*).

在(0，0)处，由于第一个方程分母为零，我们无法研究其线性稳定性.如果假设0＜w(0)＜m，则有

知

所以对$\forall \varepsilon > 0, \exists T $，当t＞T时，有w＜ε，也就有

从而由g(0)＞0和比较原理知

我们可以得到如下结果.

定理4  设系统(4)初始条件满足0＜w(0)＜m和g(0)＞0，有

下面讨论正平衡点的稳定性.当$ {b_1} < \bar b$，可以得到系统(4)关于正平衡点的雅可比矩阵：

经计算可得J₂的行列式为：

容易验证当$ {b_1} < \bar b$时，

且

从而有detJ₂(E₁^*)＜0，detJ₂(E₂^*)＞0.知平衡点E₁^*是个鞍点.又由矩阵J₂的迹为：

其中

从而可得如下定理5.

定理5  假设$ {b_1} < \bar b$.正平衡点E₁^*是个鞍点；当A(E₂^*)＞0时，E₂^*是个局部渐进稳定的平衡点.

当$ {b_1} = \bar b$时，G(w^*)=0，且

从而有

知J₂有0特征值.因而当A(E^*)＞0时，即trJ₂(E^*)＜0时，知E^*是稳定的.从而可得如下定理6.

定理6  假设${b_1} = \bar b $，当A(E^*)＞0时，E^*是个局部稳定的平衡点.

为了验证上述理论分析，我们取定参数为a=1，μ₁=0.5，μ₂=0.8，m=1，k=10，可得系统(4)关于参数b₁的分支图，其中b=2.44.取定b₁=1，得到系统(4)的平面相图.

可见当$ {b_0} = \bar b$时，系统只有(0，0)平衡点；当$ {b_0} < \bar b$时，这时系统会出现双稳定现象，即(0，0)和E₂^*都是局部渐进稳定的.在平面相图中，平衡点(0，0)是局部渐进稳定的，正平衡点E₁^*=(2.5，3.125)是个鞍点，E₂^*=(8.5，10.625)是局部渐进稳定的.

绝育昆虫技术应用于控制或根除野生蚊子在理论和实践当中都被证明是有效的.然而不同释放策略的选择和相应效果的评估是困难的.在本文中，我们在具有logistic增长和强Allee效应的蚊子种群中引入了绝育昆虫释放技术，建立动力学模型，讨论了常数释放和比例释放策略条件下野生蚊子种群的动力学行为.通过研究平衡点的存在性和稳定性，我们在两种释放策略条件下都得到了一个临界释放系数$ {\tilde b}$和${\bar b} $.我们发现在两个系统(2)和(4)中，当绝育蚊子释放系数充分大时，能够导致野生蚊子种群的灭绝；当释放系数较小时，两个系统都会出现双稳定现象，也即是说野生蚊子是否灭绝取决于初始条件的大小.上述研究结果为我们使用绝育昆虫技术控制或根除野生蚊子提供了有意义的理论指导.