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自期权诞生至今, 一直是广受欢迎的风险控制工具[1-2], 其中领子期权[3-11]备受关注.本文采用时变参数并假设股票价格服从O-U过程, 为进一步降低金融市场的风险与不确定性, 与具有不确定性执行价格的期权相结合并假设执行价格服从几何分数布朗运动, 利用随机微分方程和拟鞅的方法, 得到时变参数下基于O-U过程具有不确定执行价格的领子期权定价公式.最后对常数参数下基于O-U过程具有不确定执行价格的领子期权定价公式进行数值分析, 得到相应结论.
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假设市场满足B-S模型的条件, 即市场是均衡的、完备的且无套利机会的, 市场存在两种资产:一种是无风险资产, 如债券; 另一种是风险资产, 如股票.
定义1 领子期权在T时刻收益为
假设股票价格S(t)服从广义O-U过程
其中: σ(t)为股票瞬时波动率, α为常数, B(t)为布朗运动.
满足(1)式的解为
假设执行价格K1(t), K2(t)分别服从
其中: a1(t), a2(t), b1(t), b2(t)为关于时间的确定性函数; BH(t)为分数布朗运动, Hurst参数为
$H \in \left( {\frac{1}{2}, 1} \right)$ 且与布朗运动B(t)相互独立.本文中若无特殊说明, 则分数布朗运动中Hurst参数$H \in \left( {\frac{1}{2}, 1} \right)$ 并且记满足(3), (4)式的解为
其中:
$\left| {{b_i}} \right|_{\phi, t}^2 = \int_0^t {\int_0^t {{b_i}\left( u \right){b_i}\left( v \right)\phi \left( {u, v} \right){\rm{d}}u{\rm{d}}v} } $ ,$\phi \left( {u, v} \right) = H\left( {2H-1} \right){\left| {u-v} \right|^{2H-2}}\left( {u, v \in \mathbb{R}, i = 1, 2} \right)$ .引理1[12] 假设BH1(t)是概率空间
$\left( {{\varOmega _{{H_1}}}, \mathscr{F}_T^{{H_1}}, \left\{ {\mathscr{F}_t^{{H_1}}} \right\}, {P_{{H_1}}}} \right)$ 上Hurst参数为${H_1} \in \left[{\frac{1}{2}, 1} \right)$ 的分数布朗运动, ZH2(t)是概率空间$\left( {{\varOmega _{{H_2}}}, \mathscr{F}_T^{{H_2}}, \left\{ {\mathscr{F}_t^{{H_2}}} \right\}, {P_{{H_2}}}} \right)$ 上Hurst参数为${H_2} \in \left[{\frac{1}{2}, 1} \right)$ 的分数布朗运动. BH1(t), ZH2(t)相互独立.$\left( {\varOmega, {\mathscr{F}_T}, \left\{ {{\mathscr{F}_t}} \right\}, P} \right) = \left( {{\varOmega _{{H_1}}} \otimes {\varOmega _{{H_2}}}, \mathscr{F}_T^{{H_1}} \otimes \mathscr{F}_T^{{H_2}}, \left\{ {\mathscr{F}_t^{{H_1}}} \right\} \otimes \left\{ {\mathscr{F}_t^{{H_2}}} \right\}, {P_{{H_1}}} \otimes {P_{{H_2}}}} \right)$ 表示积空间, 设σB(v), σZ(v)为[0, T]上的连续函数,函数
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 满足EP[f(X(T))]＜∞, 则对于任意t≤T, 有其中
引理2[12] 在引理1的条件下有
其中M为一常数,
$\tilde E_P^t$ 为拟条件期望, N(·)为正态分布累积函数.引理3[12] 设f为
$\mathbb{R}$ 上的有界函数,其中X(u), σ2(0, u)见引理1, 则存在测度
$Q = {Q_{{H_1}}} \otimes {Q_{{H_2}}}$ 使得且
是QH1上Hurst参数为H1的分数布朗运动;
是QH2上Hurst参数为H2的分数布朗运动.
引理4[13] 对于任意0＜t＜T和
$\lambda \in \mathbb{C}$ 有
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定理1 设S(t), K1(t), K2(t)分别服从SDE(1), (2), (3), 则到期日为T、时变参数下基于O-U过程具有不确定执行价格的领子期权在期满前任意时刻t的价格为
其中
证 由风险中性定价原理知
下分别计算I1, I2, I3, I4, I5.由(2)式可知
由引理3, 取σB(v)=e-αTeαvσ(v), σZ(v)=0,
存在测度
${Q_1} = {Q_B} \otimes {P_H}$ 使得且
为QB下的布朗运动.将
代入S(T)有
则
令
则由(11)式可知
由引理2, 取σB(v)=e-αTeαvσ(v), σZ(v)=-b1(v)有
此时
同理可得
由(5)式可知
由引理3, 取σB(v)=0, σZ(v)=b1(v),
存在测度
${Q_2} = {P_B} \otimes {Q_H}$ 使得且
是QH下分数布朗运动, 将
代入K1(T)有
则
令
则由(20)式可知
由引理2, 取σB(v)=e-αTeαvσ(v), σZ(v)=-b1(v)有
此时
同理可得
由(5)式及引理4可知
由(13), (14), (22), (23), (24)式可知定理1得证.
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本节通过数值计算实例分析期权期限T对常数参数下基于O-U过程具有不确定执行价格的领子期权定价的影响, 并与Black-Scholes模型进行比较, 得出相应结论.
由定理1我们可以得到, 常数参数下基于O-U过程具有不确定执行价格的领子期权在0时刻的价格为
其中
利用常数参数下基于O-U过程具有不确定执行价格的领子期权定价公式, 借助MATLAB软件计算期权价格, 观察期权期限T对期权价格的影响, 参考文献[3]取定模型参数如下:给定当前标普500指数S(0)=555美元, 两个执行价格K1(0)=525美元、K2(0)=575美元, 无风险利率r=0.06, 波动率σ=0.15.依据我们通常对市场的模拟与假设分别取收益率期望μ=0.2、修正系数α=0.005, 关于执行价格K1和K2的参数分别取a1=0.04, a2=0.03, b1=0.1, b2=0.25, 图 1分析了Hurst参数H分别取0.6, 0.7, 0.8, T∈(0.5, 3)时交割日期T对期权价格的影响, 并与普通的B-S模型进行比较, 得出相应结论.
图 1表明, 在B-S模型及本文建立的模型下期权价格均随期权期限T的增长而降低.在本文模型中, 期权期限T大约为一年, 期权价格几乎不受参数H的影响; 当期权期限T短于一年时, 期权价格随参数H增加而增加; 当期权期限T长于一年时, 期权价格随参数H增加而降低, 并且期权期限越长变化越明显.除此之外, 基于O-U过程具有不确定执行价格的领子期权价格低于B-S模型中的领子期权价格, 即O-U过程下具有不确定执行价格的领子期权能有效地降低风险, 必将受到更多投资者的喜爱并进一步占据更广泛的市场.
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本文在标的资产服从O-U过程, 敲定价格服从几何分数布朗运动的假设下, 利用拟鞅和测度变换的方法得到了具有不确定执行价格的领子期权定价公式, O-U过程模拟了股票价格均值回归的特点, 不确定执行价格降低了市场风险, 也更加接近市场实际情况.这种假设更具有现实意义, 给金融衍生品创新提供了更多的理论依据.