本文考虑下述由IF-THEN规则所描述的T-S模糊双向联想记忆神经网络系统模型：

模糊规则j  令t∈[0，+∞)，t≠t_k，k=1，2，…，若ω₁(t)=μ_j1，…，ω_m(t)=μ_jm，则

其中

{μ_jk}是模糊集(j=1，2，…，J；k=1，2，…，m)，ω_k(t)是前件变量，m为前件变量的个数，J是IF-THEN规则的个数.激活函数

脉冲函数

时滞0≤τ(t)，h(t)≤τ，∀i=1，2，…，n.我们简记时滞神经元之间相互联络的权系数矩阵C_j，D_j是n维方阵.脉冲时刻t_k(k=1，2，…)满足0＜t₁＜t₂＜…，$ \mathop {\lim}\limits_{k \to \infty} {t_k}=\infty $. x(t_k⁺)和x(t_k^-)分别表示x(t)在t_k时刻的右极限和左极限.假设x(t_k^-)=x(t_k)(∀k=1，2，…).令t≥0，t≠t_k，k=1，2，…，由单点模糊化、乘积推理和平均加权反模糊化得到模糊系统的整个状态方程为

其中

Υ_j(ω(t))为相应于规则j的隶属度函数，且$ \sum\limits_{j=1}^J {{\rho _j}\left( {\omega \left( t \right)} \right)} =1$，ρ_j(ω(t))≥0.

由于实际系统中的时滞达到较大值的概率很小，于是我们需要考虑概率时滞

设实数c₀≤1，定义随机变量

令t≥0，t≠t_k，k=1，2，…，考虑概率时滞模糊系统

本文假设：f(0)=g(0)=ρ(0)=0∈$ \mathbb{R}^n$；对角矩阵A=diag(a₁，a₂，…，a_n)，B=diag(b₁，b₂，…，b_n)正定；对角矩阵F，G，H分别是向量函数f，g，ρ的利普希茨常数矩阵.

定理1  假设存在常数0＜λ＜1，使得

则脉冲时滞系统(2)是指数稳定的，其中δ=$ \mathop {{\rm{inf}}}\limits_{k = 1, 2, \cdots} \left( {{t_{k + 1}} - {t_k}} \right) > 0$.

证  首先定义空间Ω=Ω₁×Ω₂.

设Ω_i(i=1，2)是这样的函数空间，其函数q_i(t)：[-τ，∞)→$ \mathbb{R}^n$满足以下4条：

(a) q_i(t)连续于t∈[0，+∞)\{t_k}_k=1^∞；

(b) q₁(t)=ξ(t)，q₂(t)=η(t)(∀t∈[-τ，0])；

(c) $ \mathop {\lim}\limits_{t \to t_k^ -} {q_i}\left( t \right) = {q_i}\left( {{t_k}} \right)$，且$ \mathop {\lim}\limits_{t \to t_k^ +} {q_i}\left( t \right)$存在(∀k=1，2，…)；

(d) 当t→∞时e^γtq_i(t)→0，其中γ＞0是常数，满足γ＜min{λ_minA，λ_minB}.

则易证Ω是下述度量下的完备空间：

其中

这里q_i∈Ω_i，$ {\tilde q_i}$∈Ω_i，i=1，2.

现定义压缩映射P：Ω→Ω，这需3步来实现.

第一步，关于系统(3)，我们可以构造如下映射：

我们不难证明P是Ω上的压缩映射.

第二步，不难证明$ P\left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right) \in \mathit{\Omega }, \forall \left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right) \in \mathit{\Omega }$.换而言之，$ P\left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right)$满足条件(a)-(d).

第三步，证明(5)式定义的P是压缩映射.

对任给$ \left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right), \left( \begin{array}{l} \bar x\left( t \right)\\ \bar y\left( t \right) \end{array} \right) \in \mathit{\Omega }$，我们有

因此

所以P：Ω→Ω是压缩映射，从而存在P在Ω上的不动点$ \left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right)$.即$ \left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right)$是模糊时滞脉冲系统(2)的解，满足$ {{\rm{e}}^{\gamma t}}\left\| {\left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right)} \right\|$→0(t→+∞).证毕.

例1  考虑下列模糊BAM神经网络：

模糊规则1

令t≥0，t≠t_k，k=1，2，…，若ω₁(t)=$ \frac{1}{{{{\rm{e}}^{{\rm{ - 5}}{\omega _{\rm{1}}}\left( t \right)}}}}$，则

模糊规则2

令t≥0，t≠t_k，k=1，2，…，若ω₂(t)=1-$ \frac{1}{{{{\rm{e}}^{{\rm{ - 5}}{\omega _{\rm{1}}}\left( t \right)}}}}$，则

其中τ(t)=h(t)=τ=0.8，t₁=0.3，t_k=t_k-1+0.3k，δ=0.5，x(s)=tanh s，y(s)=2sin s，f(x)=0.1sin x，g(x)=0.09sin x，ρ(x)=0.1x，A=(2)，B=(1.95)，C₁=(0.02)，C₂=(0.03)，D₁=(0.15)，D₂=(0.18)，F=(0.1)，G=(0.09)，H=(0.1).

利用计算机Matlab LMI工具箱解(4)式，得到可行性数据

则由定理1知，模糊系统(6)-(7)是指数稳定的.

本文用不动点方法研究了模糊脉冲概率时滞BAM神经网络系统的稳定性，其优点是利用压缩映像原理给出系统解的存在性的同时，也给了该解的全局指数型稳定结论，这点由本文函数空间的构造可以看出.