Riemann Boundary Value Problem and Hilbert Boundary Value Problem for K-Analytic Function on an Infinite Straight Line

设z(k)≡x+iky(0≠k∈ $\mathbb{R}$ )为z=x+iy的K-复数，K-对称变换^{[2, 6-8]}ζ=z(k)一对一地把Z⁺变为K-平面Z⁺(k)，边界X变为K-直线L：ξ=x(k)，此时X与L分别关于区域Z⁺及Z⁺(k)是K保方(转)向，当k＞0时，X与L是保转向的；当k＜0时，X与L是反保转向的，X⁺对应L^-，反之亦然.

定义1^[9] 设f(z)在 $\overline {{Z^ + }} $ 上连续，若满足下列两个条件：

(ⅰ)当z₁，z₂∈ $\overline {{Z^ + }} $ ，|z₁(k)|，|z₂(k)|≤R时，

(ⅱ)当z₁，z₂∈ $\overline {{Z^ + }} $ ，|z₁(k)|，|z₂(k)|＞R时，

则称 $f\left(z \right) \in \hat H_k^\alpha \left({\overline {{Z^ + }} } \right)$ ，简记为 $f\left(z \right) \in {{\hat H}_k}\left({\overline {{Z^ + }} } \right)$ 或 ${{\hat H}_k}$ .同样可在 $\overline {{Z^ - }} $ 上定义 $\hat H_k^\alpha $ ( $\overline {{Z^ - }} $ )以及在X上定义 $\hat H_k^\alpha \left(X \right)$ .

显然， $f\left(x \right) \in {{\hat H}_k}\left(X \right)$ ，则

定义2^{[3-5, 8-13]} 设 $f\left(x \right) \in {{\hat H}_k}\left(X \right)$ ，称积分

是X上的Cauchy型K-积分，f(t)叫做它的密度.

当x∈X时，有

对于(1)，(2) 式中的积分主值，有如下边界值性质.

定理1^{[5, 9-13]}(边界值公式) 若X为x轴，f(t)在X上满足条件 $\hat H_k^\alpha \left(X \right)$ ，其中0＜α≤1，则

其中 $F\left(x \right) = \frac{{{\text{sgn}}\left(k \right)}}{{2\pi i}}\int_{ -\infty }^{ + \infty } {\frac{{f\left(t \right)}}{{\left({t -x} \right)\left(k \right)}}{\text{d}}t\left(k \right)} $ 为积分(1) 的Cauchy主值.

定理2^{[5, 9-13]}(边界值性质) 在定理1的条件下，F(x)满足条件 $\hat H_k^\alpha \left(X \right)$ 且F(∞)=0.

引理1 若无穷曲线X为x轴，变换ζ=z(k)把X变为K-直线L：ξ=x(k)，则

更一般地，若变换ζ=z(k)把 $\overline {{Z^ \pm }} $ 变为 $\overline {{Z^ \pm }} $ (k)，则

我们只在 $\overline {{Z^ + }} $ 上对定义1中(ⅱ)进行验证，其他情况可类似进行.

令

因 $f\left(z \right) \in {{\hat H}_k}\left({\overline {{Z^ + }} } \right)$ ，当z₁，z₂∈ $\overline {{Z^ + }} $ ，|ζ₁|=|z₁(k)|，|ζ₂|=|z₂(k)|＞R时，有^[1]

故

反之也成立.

定理1-2的证明 由于K-对称变换ζ=z(k)分别把Z⁺，Z^-变为K-平面Z(k)，边界X与L分别关于相应的区域是K保方(转)向.于是X上Cauchy型K-积分(1) 变为L上Cauchy型积分

即

由 $f\left(x \right) \in {{\hat H}_k}\left(X \right) \Leftrightarrow f\left({\xi \left({{k^{ -1}}} \right)} \right) \in \hat H\left(L \right)$ ，得G(ζ)解析^[9].又G(ζ)=F(ζ(k^-1))为解析⇔F(z)=G(z(k))(z∉X)为K-解析^[1]，由X上解析函数的普莱梅(J. Plemelj)公式及普利瓦洛夫(Privalov)定理^[9]得定理1-2成立，且

即

此时ξ=x(k)∈L，即(3) 式成立，进一步可证(4) 式与(3) 式等价.

注1 关于定理2有如下更一般的结论，命题：在定理1的条件下，F(z)分别满足条件 ${{\hat H}_k}\left({\overline {{Z^ + }} } \right), {{\hat H}_k}\left({\overline {{Z^ -}} } \right)$ .

注2 在定理1-2证明过程中知，(1) 式定义的函数F(z)(z∉X)分别在Z⁺，Z^-内K-解析，但在X上边界值有跳跃：F⁺(x)-F^-(x)=f(x)，这样F(z)就是一个分片(区)K-解析函数.

求一个包括无穷远点在内的分片K-解析函数Φ(z)，使它在X上满足条件^{[5, 9-14]}：

其中G(t)≠0，g(t)∈ ${{\hat H}_k}\left(X \right)$ 的问题称为X上的Riemann边值问题，简称Riemann边值问题，记为R问题.在∞处，因G(t)≠0，g(t)∈ ${{\hat H}_k}\left(X \right)$ ，G(∞)≠0，g(∞)皆存在.若要求Φ(z)在∞处有界，即当z∈ $\overline {{Z^ \pm }} $ ，z→∞时，Φ^±(z)→Φ^±(∞)存在，在X上Φ^±(+∞)=Φ^±(-∞).

把 $\kappa \triangleq {\text{sgn}}\left(k \right){\text{In}}{{\text{d}}_X}G\left(t \right) = {\left({2\pi i} \right)^{ -1}}{\text{sgn}}\left(k \right){\left[ {{\text{ln}}G\left(t \right)} \right]_X} = {\left({2\pi } \right)^{ -1}}{\text{sgn}}\left(k \right){\left[ {{\text{arg}}G\left(t \right)} \right]_X}$ 称为R问题的指标.

令

易证

对于齐次R问题：

改写：

其中

Ψ(z)分片K-解析，且Ψ(z)=O(|z|^κ)(z→∞).

令

因Ind_XG₀(t)=0，lnG₀(t)单值 $ \in {{\hat H}_k}\left(X \right)$ ，有

再令

则

且X(z)分片K-解析，X(z)≠0(包括X^±(t)≠0)，在z=∞处有有限阶.

由(6)，(9) 式得：Φ⁺(t)/X⁺(t)=Φ^-(t)/X^-(t)，故F(z)=Φ(z)/X(z)在全平面K-解析，在z=∞处有κ阶.当κ≥0时，因∞至多为Φ(z)的0阶极，Φ(z)/X(z)在∞至多有κ阶极，由(广义)刘维尔定理得Φ(z)/X(z)=P_κ(z)，即Φ(z)=P_κ(z)X(z)；当κ＜0时，Φ(∞)/X(∞)=0，由刘维尔定理得Φ(z)≡0.于是得如下结论.

定理3 对于齐次R问题，若实数轴上R问题的指标为κ，则当κ≥0时，其一般解为Φ(z)=P_κ(z)X(z)(其中P_κ(z)为z(k)的κ次任复系数多项式，P₀(z)≡C，C是任意常数)；当κ＜0时，Φ(z)≡0.

对于非齐次R问题，由(5)，(9) 式得：

因一般情况下(除κ≤0外)

若令

有

则

令

得

从而 $F\left(z \right) = \frac{{\mathit{\Phi }\left(z \right)}}{{Y\left(z \right)}} -\psi \left(z \right)$ 在全平面K-解析，除在z=-i处可能有极外.当κ≥0时，F(z)在z=-i处有κ阶极，为了使它在此处有界，作[(z+i)(k)]^κF(z)，但在z=∞处它有κ阶，由(广义)刘维尔定理得[(z+i)(k)]^κF(z)=P_κ(z).由(7)，(8)，(10) 式得非齐次R问题的一般解为：

其中P_κ(z)为z(k)的κ次任意复系数多项式，P₀(z)≡C，C是任意常数.

当κ＜0时，F(z)在全平面有界，由刘维尔定理得F(z)=C，即

但它在z=-i处有极，为了消除极点，需且只需^{[1, 9, 15, 16]} Ψ(-i)=-C，Ψ_k⁽ⁿ⁾(-i)=0，即

也就是当且仅当g(t)满足条件(14)，(15) 时，非齐次R问题有唯一解(13)，于是得如下结论.

定理4 若实数轴上R问题的指标为κ，则非齐次R问题在Φ(∞)有界的附加条件下，当κ≥0时，问题有一般解(12)；当κ=-1时，问题有唯一解(13)，其中C由(14) 式给出；当κ＜0时，当且仅当g(t)满足条件(14)，(15) 时，R问题有唯一解(13).

下面讨论非齐次R问题在Φ(∞)=0的附加条件下的解.要求Φ(∞)=0，必有g(∞)=0，从而Ψ(∞)=0.上述F(z)在z=∞处也为零.因此当κ≥0时，

故问题有一般解

其中P_κ-1(z)为z(k)的κ-1次任意复系数多项式.当κ=0时，P_-1(z)≡0；当κ≤-1时，F(z)≡0.故

但Φ(z)在z=-i处有-κ阶极，为了消除极点，应使^{[1, 9, 15-16]} Ψ_k⁽ⁿ⁾(-i)=0，n=0，1，2，…，-κ-1.即

于是有如下结论.

定理5 若实数轴上R问题的指标为κ，则非齐次R问题在Φ(∞)=0的附加条件下，当κ≥0时，问题有一般解(16)；当κ≤-1时，当且仅当g(t)满足-κ个条件(18) 时，R问题有唯一解(17).

把满足条件：

的点z与z^*称为是关于X的K-对称点^[6-9].显然

命题1 若z∈Z^±，则 ${z^*} \in {Z^ \mp }$ .

定义3^[6-9] 设Φ(z)在Z⁺(或Z^-)内有定义，Φ(z)在Z^-(或Z⁺)的K-对称扩张函数为：

显然，若Φ(z)在Z⁺+Z^-内有定义，则Φ(z)在Z^-+Z⁺内也有定义.

对于边界值(若存在)，有

Z⁺内的Hilbert边值问题^[9-11](简称H问题)Ⅰ：求一个在Z⁺内的K-解析，在Z⁺+X上连续的函数Φ(z)，使在X上满足边界值条件：

其中 $a\left(t \right), b\left(t \right), c\left(b \right) \in {{\hat H}_k}\left(X \right)$ 是给定的实函数，且a²(t)+b²(t)≠0于X上(包括t=∞).

当c(t)≡0时，此问题称为齐次H问题，当c(t)≠0时，此问题称为非齐次H问题.

令

利用(19) 式，改写(20) 式得Riemann边值问题^{[5, 9-14]}(简称R问题)Ⅱ：

其中

于是H问题Ⅰ等价于在附加条件

下求R问题Ⅱ的有界解.

命题2 若Ω(z)是R问题Ⅱ的有界解，则Ω(z)，进而Ω₀(z)=[Ω(z)+Ω(z)]/2皆是这样的解，且Ω₀(z)满足条件(22).

事实上，对(21) 式取共轭：

又

则

把 $\kappa \triangleq {\pi ^{ -1}}{\text{sgn}}\left(k \right)\left[ {{\text{arg}}\left({a -ib} \right)} \right]_{ -\infty }^{ + \infty }$ 称为H问题Ⅰ(即R问题Ⅱ)的指标，因 $a, b \in {{\hat H}_k}\left(X \right)$ ，a(-∞)=a(+∞)，b(-∞)=b(+∞)，易得κ为一偶数.又|G(t)|=1，由(7) 式得

其中

故

由于齐次H问题(c(t)≡0) 的相应问题是齐次R问题(g(t)≡0)，对于后者由定理3知，当κ≥0时，其一般解为

其中C₀，C₁，…，C_κ为任意复常数，X(z)由(8) 式给出.

由(23) 式得

于是齐次H问题的一般解Φ(z)=[Ω(z)+Ω(z)]/2由(24) 给出，但其中系数C_j(0≤j≤κ)为任意实常数.当κ＜0时，Ω(z)≡0，因此Φ(z)≡0.这样得如下结论.

定理6 对于齐次H问题，若实数轴上H问题的指标为κ，则当κ≥0时，其一般解为Φ(z)=P_κ(z)X(z)(其中P_κ(z)为z(k)的κ次任意实系数多项式，X(z)由(8) 式给出)；当κ＜0时，Φ(z)≡0.

对于非齐次H问题，只要求出其一个特解，再由上述定理便可得其一般解，下面求非齐次H问题的一个特解Φ₀(z).

当κ≥0时，由(12) 式知

为R问题一个特解，其中Y(z)由(10) 式给出.注意到(23) 式，当z∈Z^±时，

又

故

这样

于是

当κ≤-2时，由(14)，(15) 式知当且仅当下列条件：

满足时，R问题Ⅱ有唯一解：

由R问题Ⅱ解的唯一性，Φ₀(z)=Φ₀(z)，从而(27) 式也就是非齐次H问题Ⅰ的唯一解.于是有以下结论.

定理7 若实数轴上H问题的指标为κ，对于非齐次H问题，当κ≥0时，其一般解为

其中Φ₀(z)由(25) 式给出，P_κ(z)为z(k)的κ次任意实系数多项式；当κ＜0时，当且仅当条件(26) 满足时有唯一解(27).

在前面部分，我们给出了无穷直线X上的 ${{\hat H}_k}$ 类函数、指标、Cauchy型K-积分及其边界值性质，利用它们分别得到无穷直线X上的Riemann边值问题有分片K-解析函数解的条件和解的表达式，即定理3~5.进一步利用K-对称扩张函数把Hilbert边值问题转化为无穷直线X上的Riemann边值问题，又得到了K-解析函数类F(D(k))中Hilbert边值问题的可解条件和解的表达式，即定理6~7.当k=±1时，K-解析函数^{[1-7, 15, 16]}分别为解析函数^[8-12]与共轭解析函数^{[13-14, 17]}，因此以上所得结果包含了(共轭)解析函数中的相应结论^[9-14]，它们是(共轭)解析函数理论的继续和应用.