Gap Functions and Error Bounds for a Class of Variational Inequalities with Cone Constraints

首先回顾一些符号和定义，集合$M\subseteq {{\mathbb{R}}^{n}}$的内部和边界分别表示为intM和∂M.设$ K\subset {{\mathbb{R}}^{n}}$为内部非空的闭凸点锥.

给定函数$f:{{\mathbb{R}}^{n}}\to {{\mathbb{R}}^{n}}$.本文考虑如下带锥约束的变分不等式：找到${{x}^{*}}\in {{\mathbb{R}}^{n}}$，使得

其中$\Omega =\left\{ y\in {{\mathbb{R}}^{n}}:g\left( y \right)\in D \right\}, g:{{\mathbb{R}}^{n}}\to {{\mathbb{R}}^{m}}$为向量值映射，$ D\subseteq {{\mathbb{R}}^{m}}$为内部非空的闭凸点锥.

接下来，我们给出变分不等式(1) 像的主要特点.给定${{x}^{*}}\in {{\mathbb{R}}^{n}}$，定义映射

考虑集合

其中$\mathscr{K}\left( {{x}^{*}} \right)$称为变分不等式(1) 的像，$ {{\mathbb{R}}^{1+2m}}$称为像空间.显然，${{x}^{*}}\in {{\mathbb{R}}^{n}}$是变分不等式(1) 的解，当且仅当广义系统

是不可行的，或等价于

对于定义在集合$X\subseteq {{\mathbb{R}}^{n}} $和$\alpha \in \mathbb{R} $的函数h，集合

分别称为函数h的非负水平集和正水平集.

定义1  给定e∈-intK，定义Gerstewitz函数${{\xi }_{e, K}}:{{\mathbb{R}}^{n}}\to \mathbb{R}$为：

命题1^[11-12]  对任意给定的e∈-intK，$y\in {{\mathbb{R}}^{n}}$和$r\in \mathbb{R}$，有下面的结论成立：

(ⅰ) ξ_e，K(y)＜r⇔y∈re+intK；

(ⅱ) ξ_e，K(y)≤r⇔y∈re+K；

(ⅲ) ξ_e，K(y)=r⇔y∈re+∂K；

(ⅳ) Gerstewitz函数ξ_e，K在${{\mathbb{R}}^{n}}$上是下降的，即

本节构造了变分不等式(1) 的两个间隙函数.首先回顾一下变分不等式的间隙函数的基本定义.

定义2  称函数$P:{{\mathbb{R}}^{n}}\to \mathbb{R}\cup \left\{ +\infty \right\}$为变分不等式(1) 的间隙函数，若

(ⅰ) $P\left( x \right)\ge 0, \forall x\in {{\mathbb{R}}^{n}}$；

(ⅱ) P(x^*)=0当且仅当x^*∈S.

设θ＞0.考虑函数

其中e∈-intD，r为正实数，扩张函数$\sigma :{{\mathbb{R}}^{m}}\to \mathbb{R} $上半连续且

引理1  设θ＞0，且

则

证  了得到式(3)，只需证

首先证式(4) 中的等号成立.对任意$\lambda, \beta \in {{\mathbb{R}}_{+}}, \left( u, v, \tau \right)\in \mathscr{H}$，均有θu＞0.又由命题1(ⅱ)，${{0}_{{{\mathbb{R}}_{m}}}}\in \left( \left\{ v \right\}-D \right)\cap \left( \left\{ \tau \right\}-D \right)$和$ \sigma \left( {{0}_{{{\mathbb{R}}_{m}}}} \right)=0$知

这意味着

下证

为此，只需证当$\left( u, v, \tau \right)\notin \mathscr{H}$时，存在$\lambda, \beta \in {{\mathbb{R}}_{+}} $，使得ω(u，v，τ；θ，λ，β)≤0即可.设$\left( u, v, \tau \right)\notin \mathscr{H}$，下面分3种情形来讨论：

情形1  若u≤0，(v，τ)∈D×D，则不妨设λ，β=0.由于$\underset{z\in {{\mathbb{R}}^{m}}}{\mathop{\arg \min }}\, \sigma \left( z \right)=\left\{ {{0}_{{{\mathbb{R}}^{m}}}} \right\}, \sigma \left\{ {{0}_{{{\mathbb{R}}^{m}}}} \right\}=0$，因此σ(z)≥0对所有$z\in {{\mathbb{R}}^{m}} $均成立.再由${{0}_{{{\mathbb{R}}^{m}}}}\in \left( \left\{ v \right\}-D \right)\cap \left( \left\{ \tau \right\}-D \right)$和$\sigma \left( {{0}_{{{\mathbb{R}}_{m}}}} \right)=0 $知

故有ω(u，v，τ；θ，λ，β)=θu≤0.

情形2  若u＞0，v∉D，τ∈D，则不妨设$\lambda =\frac{{{{\bar{\theta }}}{u}}}{{{\xi }_{e, D}}\left( v \right)}, \beta =0$，由命题1(ⅱ)知$\lambda, \beta \in {{\mathbb{R}}_{+}} $.再由ξ_e，D(·)在$\mathbb{R}^{m}$上是下降的且对所有$z\in {\mathbb{R}^{m}},\sigma \left( z \right)\ge 0$.从而有

情形3  若u＞0，v∈D，τ∉D，则不妨设λ=0，$\beta =\frac{\bar{\theta }u}{{{\xi }_{e, D}}\left( \tau \right)}$，由命题1(ⅱ)知$\lambda, \beta \in {{\mathbb{R}}_{+}} $.再由ξ_e，D(·)在${{\mathbb{R}}^{m}}$上是下降的且对所有$z\in {\mathbb{R}^{m}},\sigma \left( z \right)\ge 0$.故有

由式(5) 和式(6) 可得式(4) 中的等号成立.

接下来，我们证式(4) 的第一个包含关系.任取$ \left( u, v, \tau \right)\in \text{le}{{\text{v}}_{>0}}\underset{\lambda, \beta \in {{\mathbb{R}}_{+}}}{\mathop{\text{lnf}}}\, \omega \left( \cdot \ ;\bar{\theta }, \lambda, \beta \right)$，均有

故

从而

这意味着

下证式(4) 的第二个包含关系.任取$\left( u, v, \tau \right)\in \mathscr{H}$，由命题1(ⅱ)和$ {{0}_{{{\mathbb{R}}_{m}}}}\in \left( \left\{ v \right\}-D \right)\cap \left( \left\{ \tau \right\}-D \right)$知

于是有

因此，式(4) 成立.

注1  若函数$\bar{\omega }\left( u, v, \tau, \bar{\theta }, \lambda, \beta \right)=\bar{\theta }u-\lambda {{\xi }_{e, D}}\left( \tau \right)\left( \lambda, \beta \in {{\mathbb{R}}_{+}} \right)$，那么等式(3) 也成立.

定理2.1  函数P_i(x)(i=1，2) 是变分不等式(1) 的间隙函数.

证  只需证P₂(x)是变分不等式(1) 的间隙函数，P₁(x)的证明类似.任取$x\in {{\mathbb{R}}^{n}}$，下面分为两种情形来讨论:

情形1  设x∈S，则有$\mathscr{K}\left( x \right)\cap \mathscr{H}=\varnothing $.又由式(3) 知

于是，

即

因此

另一方面，由$ {{0}_{{{\mathbb{R}}_{m}}}}\in g\left( f\left( x \right) \right)-D$知

从而由(7) 和(8) 知，P₂(x)=0.

反之，假设存在$x\in {{\mathbb{R}}^{n}}$使得P₂(x)=0.则有

由(3) 知

即

对任意$\left( u, v, \tau \right)\in \mathscr{H}$.因此，$\mathscr{K}\left( x \right)\cap \mathscr{H}=\varnothing $成立，即x∈S.

情形2  若$x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\backslash S$，即x∉S，那么系统(2) 可行.于是，存在${{y}^{*}}\in {{\mathbb{R}}^{n}}$使得$\left( {{\left( f\left( x \right)-{{y}^{*}} \right)}^{\text{T}}}x, g\left( {{y}^{*}} \right), g\left( f\left( x \right) \right) \right)\in \mathscr{H}$.由(3) 式中的等式知

于是对$ \forall \lambda, \beta \in {{\mathbb{R}}_{+}}$，有

这意味着

因此P₂(x)≥0.结合情形1和情形2可得${{P}_{2}}\left( x \right)\ge 0\left( \forall x\in {{\mathbb{R}}^{n}} \right) $.

下面的例子说明，定理2.1是可行的.

例1  设θ＞0，$D=\mathbb{R}_{+}^{3}$.令

则有Ω={0，1}.通过计算得出

因此，由定理2.1知P_i(x)(i=1，2) 是变分不等式(1) 的间隙函数.

本节利用上节得到的间隙函数，证明了在逆强伪单调假设条件下，变分不等式(1) 的解集满足误差界.设$ \Omega '=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:f\left( x \right)\in \Omega \right\}$.

定义3.1  设$f:{{\mathbb{R}}^{n}}\to {{\mathbb{R}}^{n}}$为一一映射.称函数f是逆强伪单调的，若存在常数μ＞0使得

定义3.2  称函数$f:{{\mathbb{R}}^{n}}\to {{\mathbb{R}}^{n}}$是扩张的，若

命题3.1  设θ＞0，则对任意$x\in {{\mathbb{R}}^{n}}, {{P}_{2}}\left( x \right)\le {{P}_{1}}\left( x \right) $.

证  由命题1.1可得

事实上，任取z∈{v}-D，则有

即

于是，等式(9) 成立.同理可得

另外，由$ \sigma \left( z \right)\ge 0\left( \forall z\in {{\mathbb{R}}^{n}} \right)$可得，对任意$x\in {{\mathbb{R}}^{n}}$，有

定理3.1  设θ＞0，S≠Ø，函数f是扩张的且在Ω′上关于μ＞0是逆强伪单调的，则对任意x∈Ω′，有

证  令x^*∈S，则有f(x^*)∈Ω.于是对任意y∈Ω′，即f(y)∈Ω，有

再由f在Ω′上关于μ＞0的逆强伪单调性知

对任意x∈Ω′，有

在上式中令$ y=f\left( {{x}^{*}} \right)\in \Omega \subseteq {{\mathbb{R}}^{n}}$，可得

其中第二个不等式的依据是$ {{0}_{{{\mathbb{R}}_{m}}}}\in \left( g\left( f\left( {{x}^{*}} \right) \right)-D \right)\cap \left( g\left( f\left( x \right) \right)-D \right)$，最后一个不等式依据是f扩张.故

因此，不等式(10) 成立.

下面的例子说明，定理3.1中f的逆强伪单调性是必要的.

例3.1  设$\bar{\theta }>0, D=\mathbb{R}_{+}^{3}$.令f(x)=x³，g(y)=(y，y，y+1)^T.于是有Ω=Ω′=[0，+∞[.先证f在Ω′上关于μ＞0的逆强伪单调不成立.事实上，假设(x³-y³)y≥0，那么x≥y≥0.若f在Ω′上关于μ＞0是逆强伪单调的，则有

这意味着

固定y，于是有μ≤0，x→+∞，这与μ＞0矛盾.通过计算可得

下证变分不等式(1) 关于函数P₂不满足误差界.给定$m>0, x\left( m \right)=\frac{1}{{{m}^{2}}+1}$.于是有

故(10) 式不成立.

推论3.1  设θ＞0，S≠Ø，函数f是扩张的，并且f在Ω′上关于μ＞0是逆强伪单调的，则对任意x∈Ω′，有

证  结合命题3.1和定理3.1立即得出结论.

下面的例子说明，定理3.1和推论3.1是可行的.

例3.2  本例沿用例2.1的假设.通过计算得Ω′={0，1}.显然，函数f在Ω′上关于μ=1是逆强伪单调的.由例2.1知

故有