An Image Encryption Algorithm Based on the Eight-Direction Folding and Self-Update Scrambling Technique

基于8方向折叠机制与像素自更新置乱技术的图像加密算法过程见图 1，它是利用不同的扩散函数从不同的方向对明文进行像素加密，避免了周期性，提高了混沌序列的随机性与密文的安全性.其主要有2个步骤：①基于像素自更新置乱技术的明文混淆；②基于8方向折叠机制的像素加密.

当前的图像加密思路是先变换像素位置，再改变像素值，从而实现明文的双重加密.但是，当前的加密技术所采用的像素置乱方法为周期性置乱，在多轮置乱过程中，始终使用同一个置乱操作来混淆，使其密文存在显著的周期性，降低了密文的安全性^[8].对此，本文利用Fibonacci序列^[9]与Lucas序列^[10]，构建一种自更新置乱算法，完成像素的动态混淆，充分提高明文的置乱度.标准的Fibonacci序列的初始种子仅有[(0，1)，(1，1)].它是通过选择合适的种子[(0，1)，(1，1)]，根据循环次数的变化来实时更新其输出的整数序列，其函数分别为^[9]

综合式(1)、(2)可知，在确定好种子后，随着n的变化，其对应的F_n值是截然不同的.

标准的Lucas序列和Fibonacci序列具有同样的性质，其初始种子为(2，1)，相应的函数为^[10]

随着n的变化，其对应的L_n值也相应地变化.

依据Fibonacci、Lucas序列的动态特性，使其满足加密技术的动态性与随机性^[11].本文充分结合Fibonacci，Lucas序列，利用2D Arnold变换^[12]，设计了像素自更新置乱算法：

其中，(x，y)为初始明文的像素位置；(x′，y′)是处理后的像素坐标；F_n，L_n分别代表Fibonacci，Lucas序列值；N为图像宽度.

通过对比式(2)、式(3)，可以发现Lucas序列与种子(1，1)的Fibonacci序列之间有如下关系：

根据标准的Lucas序列与Fibonacci序列的性质，为了满足式(5)，提高所提算法的随机性与安全性，本文取Fibonacci序列的种子为(1，1)，Lucas序列的种子为(2，1).

因此，式(4)可变换为

由式(6)可知，在对明文进行多轮混淆时，随着混淆次数n的增加，使得F_n，F_n+1，F_n-1，F_n+2的值出现巨大差异，导致变换核$\left[\begin{align} &{{F}_{n}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{F}_{n+1}} \\ &{{F}_{n}}+{{F}_{n-2}}~\ \ \ \ \ \ {{F}_{n+1}}+{{F}_{n-1}} \\ \end{align} \right]~$随着n的不同而变化.也就是在对明文进行多轮置乱时，本文像素自更新置乱算法是利用不同的混淆函数来实现像素置乱，显著改善了置乱度.

为了测试所提的像素自更新置乱算法的优异性，本文以图 2(a)为样本，利用式(6)对其进行4次混淆，所获取的置乱密文见图 2(b)~2(e).根据输出的结果可知，每一轮置乱所获取的密文是不同的，也就是相邻两次混淆之间的相关性较低，避免了周期性，明文的像素被充分置乱.

为了量化其置乱度，选择文献[3]、文献[5]作为对照组，利用这3种算法的置乱技术对图 2(a)完成混淆，并基于文献[13]的方法来计算像素置乱度，

其中，R′为置乱图像；R为明文；M×N为明文尺寸.

3种技术对图 2(a)的置乱度见图 2(f).由测试结果可知，本文像素自更新置乱算法的置乱度最高，经过3轮混淆后，其置乱度达到稳定值，为99.37%，这表明明文像素被高度置乱，而文献[3]、文献[5]算法的置乱度都要小于本文所提算法，分别为95.19%、98.26%.原因是本文像素自更新置乱算法充分结合了Fibonacci序列、Lucas序列的动态特点，对于不同的迭代次数，其置乱核是不同的，有效地削弱了置乱周期性，继而改善了像素置乱度，而文献[3]、文献[5]算法是采用相同的置乱方法来进行每一轮像素混淆，使得相邻2次置乱密文之间存在一定的联系，周期性明显，降低了像素的置乱度.

明文经过像素置乱后，虽然其信息得到了隐藏，但是像素值并未变化，导致其安全性较低^[2].为此，本文设计了一种基于8方向折叠机制的像素扩散算法，从不同的方向、利用不同的扩散函数来实现加密.首先，引入Logistic映射来获取随机序列，其模型为^[14]

其中，λ∈[0, 4]是混沌性能的控制参数；x_i是系统变量.

为了增强加密算法与明文之间的联系，提高其抗明文攻击能力，本文利用明文像素与外部密钥来设置式(8)的初始值x₀.先将128位外部密钥K分割为8位子密钥k_i，则

依据式(9)与明文像素，则初始值x₀为

其中，σ为明文像素均值；t为用户设置的常量；

再选择λ，结合x₀，对式(8)进行M×N次迭代，输出混沌序列x={x₁，x₂，…，x_M×N}.利用{x_i}来建立量化机制，获取密钥流{k_i}，则

随后，根据密钥流{k_i}，设计基于8方向折叠机制的扩散算法，具体步骤如下所示：

① 将尺寸为M×N的置乱密文I′的像素用矩阵R表示；同时，把密钥流{k_i}用矩阵Q表示.对于第1个方向的像素扩散，其过程见图 3(a)，扩散函数为

其中，T_h(i，j)、B_h(N-i+1，j)分别是矩阵R上半部分中(i，j)、下半部分中(N-i+1，j)对应的像素值；Q_h(i，j)是矩阵Q上半部分中(i，j)对应的密钥流；T′_h(i，j)、B′_h(N-i+1，j)分别是T_h(i，j)、B_h(N-i+1，j)扩散后的像素值.

② 经过步骤①的扩散后，输出第一个密文I₁′；再根据密文I₁′，进行第2个方向的像素加密，其过程见图 3(b)，扩散函数为

其中，T_r(i，j)是密文I₁′右上半部分中(i，j)对应的像素值；B_l(j，i)是密文I′左下部分与(i，j)关于对角线对称位置的像素值；Q_tr(i，j)是矩阵Q右上部分中(i，j)对应的密钥流；T′_r(i，j)、B′_l(j，i)分别是T_h(i，j)、B_h(j，i)扩散后的像素值.

③ 经过步骤②的扩散后，输出第2个密文I₂′；再根据密文I₂′，进行第3个方向的像素加密，其过程见图 3(c)，扩散函数为

其中，R_h(i，N-j+1)、L_h(i，j)分别是密文I₂′右半部分中(i，N-j+1)、左半部分中(i，j)对应的像素值；Q_tr(i，j)是矩阵Q右半部分中(i，j)对应的密钥流；R′_h(i，N-j+1)、L′_h(i，j)分别是R_h(i，N-j+1)、L_h(i，j)扩散后的像素值.

④ 经过步骤③的扩散后，输出第3个密文I₃′；再根据密文I₃′，进行第4个方向的像素加密，其过程见图 3(d)，扩散函数为

其中，R_b(i，j)是密文I₃′右下部分中(i，j)对应的像素值；L_t(i-1，j-1)是密文I′₃左上部分中(i-1，j-1)对应的像素值；Q_rb(i，j)是矩阵Q右下半部分中(i，j)对应的密钥流；R′_b(i，j)、L′_t(i-1，j-1)分别是R_b(i，j)、L_t(i-1，j-1)扩散后的像素值.

⑤ 经过步骤④的扩散后，输出第4个密文I₄′；再根据密文I₄′，进行第5个方向的像素加密，其过程见图 3(e)，扩散函数为

其中，B_m(i，j)是密文I₄′下半部分中(i，j)对应的像素值；T_m(N-i+1，j)是密文I′₄上半部分中(N-i+1，j)对应的像素值；Q_bh(i，j)是矩阵Q下半部分中(i，j)对应的密钥流；B′_m(i，j)、T′_m(N-i+1，j)分别是B_m(i，j)、T_m(N-i+1，j)扩散后的像素值.

⑥ 经过步骤⑤的扩散后，输出第5个密文I₅′；再根据密文I₅′，进行第6个方向的像素加密，其过程见图 3(f)，扩散函数为

其中，B_n(i，j)是密文I₅′左下部分中(i，j)对应的像素值；T_s(j，i)是密文I′₅右上部分与(i，j)关于对角线对称位置的像素值；Q_bl(i，j)是矩阵Q左下部分中(i，j)对应的密钥流；B′_n(i，j)、T′_s(j，i)分别是B_n(i，j)、T_s(j，i)扩散后的像素值.

⑦ 经过步骤⑥的扩散后，输出第6个密文I₆′；再根据密文I₆′，进行第7个方向的像素加密，其过程见图 3(g)，扩散函数为

其中，L_o(i，j)是密文I₆′左半部分中(i，j)对应的像素值；R_o(i，N-j+1)是密文I′₆右半部分中(i，N-j+1)对应的像素值；Q_lh(i，j)是矩阵Q左半部分中(i，j)对应的密钥流；L′_o(i，j)、R′_o(i，N-j+1)分别是L_o(i，j)、R_o(i，N-j+1)扩散后的像素值.

⑧ 经过步骤⑦的扩散后，输出第7个密文I₇′；再根据密文I₇′，进行第8个方向的像素加密，其过程见图 3(h)，扩散函数为

其中，L_b(i，j)是密文I₇′左上部分中(i，j)对应的像素值；R_t(i+1，j+1)是密文I′₇右下部分中(i+1，j+1)对应的像素值；Q_lt(i，j)是矩阵Q左上部分中(i，j)对应的密钥流；L′_b(i，j)、R′_t(i+1，j+1)分别是L_b(i，j)、R_t(i+1，j+1)扩散后的像素值.

经过第8个方向的扩散处理后，输出最终的密文I₈′.以图 2(d)为目标，利用本文设计的8方向折叠机制对其进行扩散加密，输出的密文见图 4.依图可知，经过8个方向的像素扩散后，每个方向的输出密文均与置乱图像是截然不同的，图像信息的隐密度进一步提高，抗攻击能力更强.

本文引入信息熵值^[7]来量化每个方向输出密文的安全性能，它是衡量图像信息不确定性的理想指标.因图像数据量大，且其像素间的相关性较高，因此，未经加密的图像其熵值较小，而经过加密后的图像其熵值很大.当值越靠近8时，显示其不确定性越高，密文安全性也就越高^[15].信息熵值计算函数为^[15]

其中，x_i是图像中第i个像素的灰度值；L∈[0, 256]为图像灰度等级；P(x_i)为第i个像素的灰度值在整个图像中所占的比例，且

依据式(20)，利用文献[15]的计算过程，得到图 8(a)~8(b)的熵值见表 1，由表可知，随着方向个数的增加，其扩散效果越来越好.经过第8次扩散后，其密文熵值约为7.997 6，与理论值8非常接近.这表明对明文进行多个方向扩散，能够显著提高密文的安全性.为此，本文将方向数量设置为8进行加密实验.

为了验证所提加密算法的安全性与抗攻击能力，本文在Matlab平台上进行测试，另外，将当前安全度较高的加密技术作为对照组：文献[18]、文献[5]、文献[7].其中，文献[18]为光学加密技术，通过利用不同的混沌映射来生成所需要的随机模板来实现图像加密.而文献[5]、文献[7]则是采用了置乱-扩散的混沌加密结构.算法关键参数为：初始种子为(1，1)，λ=3.35，外部密钥K=10yhg65ewmaz91bx，t=2.

把图 5(a)作为加密实验的样本，4种加密算法结果分别见图 5(b)~5(e).由测试结果可知，本文算法与文献[18]、文献[5]、文献[7]算法的加密效果都较为理想，初始图像的信息均被充分隐藏，明文内容被高度混淆，没有视觉信息泄露.为了区分4种加密算法的安全性，本文再次利用信息熵值^[7]来量化，得到的熵值见表 2.由表 2可知，本文算法的密文熵值最大，达到了7.998 4，与理论值8的偏差非常小，这显示其安全性最高，而文献[5]、文献[7]、文献[18]算法的密文熵值均要低于所提算法，分别为7.992 6，7.989 5，7.981 4，这表明三者的安全性不佳.尤其是文献[18]，虽然该算法能够充分隐藏明文信息，但是存在一定的轮廓效应，见图 5(e).原因是本文加密机制充分结合了Lucas、Fibonacci序列的动态性，采用了像素自更新技术，在每一轮像素置乱过程中，利用不同的置乱核来混淆像素位置，有效降低了置乱周期性，同时，利用明文像素与外部密钥来生成密钥流，采用了8方向折叠机制，从8个方向利用8个不同的扩散函数来改变像素值，避免了像素扩散的周期性，显著提高了密文的安全性与抗攻击能力；而文献[5]虽然采用了高维混沌系统，通过牺牲算法的效率来提高密文安全性，而且通过设计动态S盒来充分改变像素值，提高了算法的动态性与随机性，但是该算法在置乱与扩散过程中，都是采用相同的加密操作来获取密文，导致其密文存在显著的周期性特点，继而削弱了算法的安全性，且整个加密机制忽略了明文自身特性，使其抗明文攻击能力较弱；文献[7]通过将时间延迟思想引入低维混沌映射中，降低序列的自相关性，而且利用记忆元胞自动机来实现像素扩散，但是此算法是从一个方向来实现像素扩散，且在每一轮加密过程中，都是采用相同的置乱与扩散机制来改变像素位置与像素值，使得明文内容的混淆程度不佳，从而导致密文的安全性较弱.文献[18]虽然结合了混沌理论与光学技术来快速加密图像，其实质为光学干涉加密，明文通过光学加密装置后，将明文的所有信息集中在一个纯相位掩码中，使其存在轮廓显现问题，导致密文安全性不理想.

图像相邻两像素之间的相关性对密文安全性有较大威胁，攻击者通常利用像素间的相关性破译密文，故数字图像加密技术应该要最大程度地降低这种相关性^[3].为了测试输出密文的相关性，本文从图 5(b)~5(e) 4幅密文中选择2 500对相邻像素点来验证其相关性，相关性用相关系数C_xy来表示，C_xy值越大相关性越大，其模型为^[7]

各算法的密文在X方向上的相关性测试结果见图 6.由图 6(a)可知，初始图像的像素相关系数很高，像素分布极为不均，其C_xy值约为0.961 8；然而，初始明文被4种算法加密后，明文的相关性被显著降低，输出密文的像素分布变得均匀，其C_xy值分别为0.003 1，0.006 8，0.004 9，0.007 5.本文所提算法输出密文的像素分布均匀性最好，没有堆积现象，其分布均匀性要优于其他3种算法，见图 6(b)~6(e).

各密文在另外2个方向上的C_xy计算数据如表 3所示.由表 3可知，初始图像的C_xy值是最大的，表明其相关性最大.但是，明文经过4种加密算法处理后，图像的C_xy值被显著降低，且本文所提算法的C_xy值是最小的，要远低于其他3种加密算法.

在国内外研究中，NPCR与UACI曲线是衡量加密算法抗明文攻击能力的有效指标^[15].故本文基于文献[16]的方法，验证4种算法的NPCR与UACI曲线，结果见图 7.在这4种加密方案中，本文所提加密算法具有更高的NPCR与UACI均值，分别为99.79%，34.52%，而文献[5]、文献[7]、文献[18]的NPCR与UACI均值都要略小于本文算法，尤其是文献[18]，其NPCR与UACI均值最小.这表明本文加密算法的抗明文攻击能力最好，原因是所提加密机制利用明文像素来生成一组密钥流，并以此设计了8方向折叠机制来改变像素值，使得在8个不同方向的像素扩散中，均考虑了明文像素，从而增强了抗明文攻击的能力.文献[5]利用高维混沌系统来加密明文，在一定程度上提高了密文的安全性，但是其置乱与扩散过程均与明文无关，导致其抗明文攻击能力要低于本文所提算法；文献[7]与本文算法一样，借助低维混沌映射来置乱与扩散，虽然利用了DNA编码技术，但DNA编码技术也是脱离了明文，从而导致其抗明文攻击能力较弱.文献[18]虽然采用了光学装置来实现加密，但是它将明文的所有信息集中在一个纯相位掩码中，存在轮廓显现问题，且其加密过程忽视了明文特性，从而使其安全性最低，导致其抗明文攻击能力不理想.

用户响应是评估加密算法在市场上受欢迎程度的重要参考指标，故本文利用Amazon Mechanical Turk^[17]来验证这4种算法的用户响应值.根据图像在网络中常遇到的攻击类型，将噪声、明文、暴力与穷举攻击^[7]作为本次实验的对象，不同攻击类型下各算法的响应值见图 8.

根据响应结果可知，面对噪声、暴力以及明文攻击时，所提算法的用户响应程度更高，但是，在面对穷举攻击时，文献[5]的算法使用了高维混沌系统与动态S盒来实现加密，显著增大了算法的密钥空间，使其响应度最高.

为了从多个方向对明文进行扩散，且能有效消除周期性，本文提出了一种基于8方向折叠机制与自更新置乱的图像加密算法.利用Lucas、Fibonacci序列设计了一种像素自更新置乱算法，有效地降低了混淆周期性，进一步提高了明文像素的置乱度；利用明文与外部密钥来生成Logistic映射初值，利用量化机制来获取密钥流，从而设计了8方向折叠机制，从8个方向对置乱图像进行高度加密.实验结果验证了所提算法的安全性与抗攻击能力.