The Equivalence of Split Mixed Equilibrium Problems and Fixed Point Problems

设C₁和C₂分别为Hilbert空间H₁和H₂的非空闭凸子集，其范数和内积分别表示为‖.‖和〈. ， .〉.设F：C₁×C₁→$ \mathbb{R} $为二元泛函，f：C₁→H₁为非线性映象，求一点x^*∈C₁，使得

称(1)式为混合均衡问题，解集表示为MEP(H₁，F，f).如果f=0，(1)式将退化为均衡问题，其解集表示为EP(H₁，F)；如果F=0，(1)式将退化为经典的变分不等式问题^[1-2].

设f_i：C₁→H₁为非线性映象(i=1，2，…，N)，求一点x^*∈C₁，使得

其中a_i∈(0，1)且$ \sum\limits_{i=1}^{N} $a_i=1.称(2)式为改进的混合均衡问题，这是混合均衡问题的一种重要的推广形式，也是解决复杂经济系统的有力工具^[3-9].

在此基础上，本文介绍一个改进的分层混合均衡问题：设A：H₁→H₂为有界线性算子，G：C₂×C₂→$ \mathbb{R} $为二元泛函，且g_i：C₂→H₂为非线性映象(i=1，2，…，N)，求一点x^*∈C₁，使得

其中a_i，b_i∈(0，1)，且$ \sum\limits_{i=1}^{N} $a_i=1，$ \sum\limits_{i=1}^{N} $b_i=1.分层混合均衡问题(3)的解集记为

本文的目的是建立关于改进的混合均衡问题(2)和分层混合均衡问题(3)的解与不动点问题的等价关系，为进一步研究分层混合均衡问题的数值方法提供有效的理论基础和预解算子.

设C为Hilbert空间H的一个非空闭凸子集，如果T：C→C为非线性映象，由文献[10]可知，如果T：C→C是非扩张映象，则T满足不等式

以Fix(T)表示T的不动点集，即

σ-强单调映象和η-逆强单调映象的定义同文献[2].同时，假设F：C×C→$ \mathbb{R} $满足下列条件：

(ⅰ) F(x，x)=0，∀x∈C；

(ⅱ) F是单调映象，即F(x，y)+F(y，x)≤0，∀x，y∈C，且仅当x=y时，F(x，y)+F(y，x)=0；

(ⅲ) $ \underset{t\to 0}{\mathop{\text{lim}}}\, $ F(tz+(1-t)x，y)≤F(x，y)，∀x，y，z∈C；

(ⅳ)对∀x∈C，y|→F(x，y)是凸的且下半连续的.

引理1^[1-2]  设F：C×C→$ \mathbb{R} $满足条件(ⅰ)-(ⅳ).对∀x∈H，存在z∈C使得T_r^F：H→C满足

其中r＞0，则下列结论成立：

(a) T_r^F是单值的，且‖T_r^F(x)-T_r^F(y)‖²≤〈T_r^F(x)-T_r^F(y)，x-y〉，∀x，y∈H；

(b) EP(H，F)是闭凸的，且EP(H，F)=Fix(T_r^F).

定理1  设C₁为Hilbert空间H₁的非空闭凸子集，F：C₁×C₁→$ \mathbb{R} $为二元泛函并满足条件(ⅰ)-(ⅳ)，且f_i：C₁→H₁为η_i-逆强单调映象(i=1，2，…，N).如果r∈(0，2η)，且η=$ \underset{1\le i\le N}{\mathop{\text{min}}} ${η_i}，则(2)式的解集

证  由引理1，不难证明

不放设x₀∈MEP(H₁，F，$ \sum\limits_{i=1}^{N} $a_if_i)，x^*∈$ \bigcap\limits_{i=1}^{N} $ MEP(H₁，F，f_i)，由引理1可得：

利用T_r^F的非扩张性和f_i的η-逆强单调性得

整理得

因为r∈(0，2η)，所以

另一方面，由于x₀和x^*都是(2)式的解，则：

在(7)式和(8)式中分别取x=x^*和x=x₀，得：

将(9)式和(10)式相加，并结合(6)式，得

同时，结合F的单调性(ⅱ)，进一步得

由条件(ⅱ)和(11)式得x₀=x^*，即x₀∈$ \bigcap\limits_{i=1}^{N} $ Fix(T_r^F(I-rf_i)).因此，式(4)成立.

定理2  设C₁和C₂为Hilbert空间H₁和H₂的非空闭凸子集，F：C₁×C₁→$ \mathbb{R} $和G：C₂×C₂→$ \mathbb{R} $为二元泛函并满足条件(ⅰ)-(ⅳ).设f_i：C₁→H₁为η_i-逆强单调映象，g_i：C₂→H₂为μ_i-逆强单调映象(i=1，2，…，N).如果r∈(0，2ρ)，且ρ=$ \underset{1\le i\le N}{\mathop{\text{min}}} ${η_i，μ_i}，则x^*∈Ω的充分必要条件是

证  必要性  记f=$ \sum\limits_{i=1}^{N} $a_if_i，g=$ \sum\limits_{i=1}^{N} $b_ig_i，如果x^*∈Ω，即x^*∈MEP(H₁，F，f)且Ax^*∈MEP(H₂，G，g).由引理1可知x^*∈Fix(T_r^F(I-rf))且Ax^*∈Fix(T_r^G(I-rg))，进一步得

充分性  设存在q∈Ω，则由必要性的证明过程可知

由(12)式和(13)式，并利用T_r^F(I-rf)的非扩张性，得

又因为

结合(13)式，得

由(15)式得

结合(12)式进一步得

因此，x^*∈Ω.