The Stability of Bifurcating Solution for a Spatially Heterogeneous Lotka-Volterra Model with Cross Diffusion

Qian XU

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2018.11.006

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In this paper, we concern with the local asymptotical stability of the bifurcating solution for the Lotka-Volterra system with cross diffusion in a spatially heterogeneous environment. By applying a detailed spectral analysis based on the bifurcating direction we prove that the bifurcating steady state solution is locally asymptotically stable.

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本文主要研究下列空间异质环境下Lotka-Volterra交错扩散方程组

其中：Ω是$\mathbb{R}$^N(N≤3)中的有界区域；c(x)＞0和d(x)≥0都是连续函数，ρ(x)＞0是光滑函数并且$\partial $_νρ=0，x∈$\partial $Ω；u和v是被捕食者和捕食者；a，k是正常数，b是实数，a，b代表被捕食者和捕食者的出生率.交错扩散项Δ[ρ(x)vu]=▽[u▽(ρ(x)v)+ρ(x)v▽u]描述u扩散到ρ(x)v浓度低的区域的一种趋势.已有一些文章研究了关于空间异质环境对种群浓度的影响.文献[1-3]对于一些扩散的Lotka-volterra方程组研究了种内之间的退化效果；文献[4-7]研究了对于一些带扩散项的竞争方程组，空间异质环境下的出生率问题；文献[8]对于方程组(1)所对应的平衡解的方程组，证明了当ρ，c，d是常数的时候，方程组由分岔参数b分岔出来的正解的集合Γ_p形成一个有界的曲线，并且当a和|b|小，k很大时，ρ(x)，d(x)使得Γ_p关于b形成一个型的曲线；文献[9]研究了带两个趋化参数的趋化模型非常数平衡解的存在性.本文主要研究文献[8]中得到的分岔平衡解在分岔点(0，b^*，b^*)处的稳定性.

1. 预备知识

方程组(1)所对应的平衡解问题为：

令

则方程组(2)变为

易知方程组(3)有半平凡解集为Γ_v=(0，b，b)：b＞0.定义空间

其中

对于固定的(k，ρ(x)，c(x)，d(x))，引进集合如下：

为了后面证明的需要，先给出引理1.

引理1^[8] 任意固定(k，ρ(x)，c(x)，d(x))，则存在一个单调递增的光滑函数b=b^*(a)满足

使得

定义正函数φ^*为下列线性椭圆方程解

引理2^[8] 任意固定(k，ρ(x)，c(x)，d(x))，则下列结论成立：

方程组(3)从Γ_v处分岔当且仅当b=b^*＞0，存在一个正数δ^*和函数ψ^*∈X使得在(U，v，b)=(0，b^*，b^*)∈X×$\mathbb{R}$附近所有正解有如下形式：

其中

是有界函数满足

且

2. 在分岔点(0，b^*，b^*)附近的分岔平衡解的局部渐近稳定性

在方程组(1)中，令

则方程组(1)变为

在(U(s)，v(s))处线性化方程组(5)，相应的特征值问题为

定义算子H：X×$\mathbb{R}$→Y为

经过简单计算可得：

由式(4)可得

其中

方程组(6)可被改写为

引进一算子L：X×$\mathbb{R}$Y为

则方程组(6)可记为

根据文献[10]中定理2.1和式(4.5)定义函数如下：

定理1 对任意固定的(a，k，ρ(x)，c(x)，d(x))，由引理2定义的方程组(5)的分岔解(U(s)，v(s))是局部渐近稳定的.

证首先证明0是L(0，b^*，b^*)的第一特征值.对任意固定的(U，v)∈X满足

由φ^*和ψ^*的定义易知

因此0是L(0，b^*，b^*)的一个特征值，下面证明0是L(0，b^*，b^*)的第一特征值.反证法，假设0不是L(0，b^*，b^*)的第一特征值，则存在L(0，b^*，b^*)的一个正的特征值λ₁及相应的特征函数U₁v₁∈X使得

即

如果U₁=0且v₁≠0，则方程组(9)的第二个方程推出

进而

这是矛盾的，因为当-λ₁v₁为负时(-Δ+b^*)^-1(-λ₁v₁)是负的，因此U₁≠0，则方程组(9)的第一个方程为

由式(4)及单个椭圆方程定理，0是式(4)的第一特征值与λ₁＞0矛盾，因此0是L(0，b^*，b^*)的第一特征值且其它特征值都是负的.应用文献[11]中的命题I.7.2，对0＜s＜δ，存在扰动特征值σ(s)及连续可微函数φ₁(s)，φ₂(s)∈X∩Range(L_(U，v)(0，b^*，b^*))满足

及

类似地，存在扰动特征值σ(b)及连续可微函数φ₁(b)，φ₂(b)∈X∩Range(L_(U，v)(0，b^*，b^*))满足

及

在式(10)中对b进行求导及利用

可推出

其中

由式(7)可推出

由式(8)可计算如下方程

由式(11)及(12)可得到

由文献[11]中的公式得到

其中

由引理2及式(13)可知σ(0)＜0.由此可推出当s＞0且很小时σ(s)＜0，因此引理2得到的分岔解(U(s)，v(s))是局部渐近稳定的.

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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