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设{Xi；i≥1}为具有共同分布F的独立随机变量序列.若存在常数an＞0，bn∈
$\mathbb{R}$ 使得其中G为非退化分布函数，则称F属于G的吸引场，记为F∈D(G).由文献[1]或者文献[2]可知G有3种类型.
设(Ω，
$\mathscr{F} $ ，$\mathscr{P}$ )为概率空间，记L+($\mathscr{P}$ )为其中非负随机变量分布集合.定义Hg(X)为随机变量X在失真函数g下的失真风险测度(文献[3]关于Hg(X)和g(x)给出了更为具体的定义)，其中FX∈L+(
$\mathscr{P}$ )为随机变量X的分布函数.记Xi，i=1，2，…，n为非负随机变量序列，Xi：n，i=1，2，…，n为对应的次序统计量，则X1：n≤X2：n≤…≤Xn：n.本文目的为讨论当
$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\mkern 1mu} l\left( t \right) = {x_0}$ (其中x0=sup{x；F(x)＜1}为上端点)时，的渐近性质，其中：L(C)：=
$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{C}_{i}}{{X}_{n-i+1:n}}} $ 为次序统计量的线性和，C =(C1，C2，…，Cn)为常数向量，0＜θ≤1. Ci为随机权重并且C1＞0.记θ=Ci，如果Xk=Xn-i+1：n.文献[4]给出了权重和的渐近性质.文献[5]得到了一致风险测度下的渐近性质.文献[6]给出了研究求和尾部风险的渐近性质的方法.文献[3]提供了在正则变换下失真风险测度的尾部性质.
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设X1，…，Xn为非负随机变量，其对应的分布函数为F1，…，Fn并且满足：
其中当F1∈D(Φα)或者F1∈D(Λ)时，l(t)=t；当F1∈D(Ψα)时，l(t)=x0-t-1.
定义lower Matuszewska指标为
其中
条件1 1)当s→0时，失真函数g满足g(s)=O(sβ)，记Ωg={β＞0；g(s)=O(sβ)，当s∈0}≠ø.
2) 设X，Y∈L+(
$\mathscr{P}$ )，对应分布函数为F和G，当t→∞时，满足F(l(t))=O(G(l(t)))，极限几乎处处存在，其中x＞0.
对任意a≥0，记Δa={x＞a，h在x处存在}，则Δ0为h的定义域.显然，(a，∞)\Δa的勒贝格测度为0，因此Δa在(a，∞)中稠密. h(x)在Δ0上非增.
引理1 设条件2中2)成立.
1) 如果0＜αF*≤∞，那么
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty ,x \in {\mathit{\Delta } _0}} {\mkern 1mu} h\left( t \right) = 0$ .2) 当1∈Δ0时，记
若存在x1∈Δ1满足h(x1)＞0，则当0≤α＜∞时，有F(l(t))∈RV-α，进一步对所有x≥1，h(x)=h(1)x-α成立.
定理1 设条件1成立.如果
$ \frac{1}{{{\beta }^{*}}}$ ＜αF*≤∞，其中β*=sup{Ωg}，记l(t)=x0-t-1，则引理1和定理1的证明与文献[7]中的引理3.1和定理3.1的证明类似.
现在开始讨论当t→∞时，Hg(θXk|L(C)＞l(t))基于下面几个假定条件的渐近性.
条件2 设F1∈D(Φα)，并且
其中
$\widetilde C = \mathop {\max }\limits_{2 \le i \le n} {\mkern 1mu} \left\{ {{C_i}} \right\}$ .条件3 设F1∈D(Ψα)，并且
其中C*：=
$\mathop {\max }\limits_{1 \le i \le n} {\mkern 1mu} {C_i}$ .条件4 设F1∈D(Λ)，并且
因此由文献[4]中的定理3.1以及文献[8]中的定理3.1可知，当t→∞时，有
引理2 1)设条件2和公式(1)成立，则
2) 设条件3和公式(1)成立，则
3) 设条件4和公式(1)成立，则
证 对于0＜x≤
$\frac{\theta }{{{C}_{1}}}$ 时，存在t0＞0充分大，当t＞t0时，由公式(2)可得首先证明1).如果条件2和公式(1)成立，则对于l(t)=t当t→∞时由(3)式可得
显然，
因此，联合式(1)，(4)和(5)，有
另一方面，对于x＞
$\frac{\theta }{{{C}_{1}}}$ ，因为F1(t)∈D(Φα)有因此结论成立. 2)和3)的证明和1)类似.
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定理2 1)设条件2和公式(1)成立.如果g(·)连续，且当s→0时，g(s)=O(sβ)，则当t→∞时，
关于x∈(0，∞)一致收敛.
2) 设条件3和公式(1)成立.如果g(·)连续，且当s→0时，g(s)=O(sβ)，则当t→∞时，
关于x∈
$\left( 0, \frac{\theta }{{{C}_{1}}} \right]$ 一致收敛.3) 设条件4和公式(1)成立.如果g(·)连续，并且当s→0时，g(s)=O(sβ)，则当t→∞时，
关于x∈
$\left( 0, \frac{\theta }{{{C}_{1}}} \right]$ 一致收敛.证 先证明1).因为g(·)在[0, 1]上连续，所以g(·)在[0, 1]上一致连续.因此对任意的ε＞0，存在δ＞0，使得对所有x，x*∈[0, 1]，当|x-x*|＜δ时，有|g(x)-g(x*)|＜ε.并且由引理2的一致收敛性可知，可选择δ＞0，存在N＞0，当t＞N时：
因为P(θXk＞tx|L(C)＞t)∈[0, 1]且λk(
$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}}$ )-1∈[0, 1]，当t＞N时，因此一致性成立. 2)和3)的证明和1)相似，证明省略.
定理3 1)设条件2和公式(1)成立.如果g(·)为任意一失真函数，并且当s→0时，满足g(s)=O(sβ)，则当t→∞时，
2) 设条件3和公式(1)成立.如果g(·)为任意一失真函数，并且当s→0时，满足g(s)=O(sβ)，则对于0＜x≤
$\frac{\theta }{{{C}_{1}}}$ ，当t→∞时，3) 设条件4和公式(1)成立.如果g(·)为任意一失真函数，并且当s→0时，满足g(s)=O(sβ)，则对于0＜x≤
$\frac{\theta }{{{C}_{1}}}$ ，当t→∞时，证 先证明1).显然地，
因为g(·)为非增函数且有界，则g(·)的不连续点的集合是至多可数的且其勒贝格测度为零.也就是说
在x∈(0，∞)上几乎处处收敛.
由第三littlewood原理，存在集合A⊆(0，∞)，使得μ(A)=
$\int_{A}{\text{d}\mathit{x}}\le \frac{\varepsilon }{4}$ ，其中μ(·)为勒贝格测度.又因为公式(6)在(0，∞)\A上一致收敛，即存在一个N＞0，使得当t＞N时：其中M充分大使得
因为g(·)有界且小于1，所以当t＞N时，
因此结论得证. 2)和3)的证明和1)相似，省略.
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