Stability of Volterra Type Dynamic Systems with Time-Varying Delays

函数$a_{i}(t), g_{i}(t) \in C\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right), q(s, t, x(s)) \in C\left(\mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}, \mathbb{R}\right)$，且g_i(t)≤t，满足当t→∞时，g_i(t)→∞，i=0，1，2，…，n.

考虑一类多变时滞Volterra型动力系统：

其初始条件

其中x(t)∈ $\mathbb{R}$，

假设q满足局部Lipschitz条件，即存在连续可积函数C(t，s)，0≤s≤t，满足|C(t，s)|有界，使得对任意的x，y∈ $\mathbb{R}$有

对于系统(1)的特殊情形如系统(3)，(4)，文献[1]采用李雅普诺夫直接法得到了Volterra型积分微分动力系统：

文献[2]采用不动点方法得到了多变时滞微分动力系统：

下面给出文献[1-2]的结论：

引理1^[1]   如果A(t)≤0且存在K₁＞1及K₂≥0使得

则系统(3)的零解渐近稳定.

引理2^[2]   假设τ_j可微，t-τ_j(t)的反函数g_j(t)存在，令

存在α∈(0，1)使得当t≥0时，

(ⅰ) $\underline\lim \limits_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} Q(s) \mathrm{d} s>-\infty.$

(ⅱ) $\sum\limits_{i=1}^{N}\left[\int_{t-\tau_{j}(t)}^{t}\left|b_{j}\left(g_{j}(s)\right)\right| \mathrm{d} s+\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{\int_{s}^{t}-Q(\mu) {\rm d} \mu}|Q(s)|\right.\int_{s-\tau_{j}(s)}^{s}\left|b_{j}\left(g_{j}(v)\right)\right| \mathrm{d} v \mathrm{d} s ]+\theta(t) \leqslant \alpha.$

则系统(4)的零解渐近稳定的充分必要条件是

(ⅲ) 当t→∞时，$\int_{0}^{t} Q(s) \mathrm{d} s \rightarrow \infty.$

通过构造合适的算子，并结合适当的不等式继续采用Banach不动点方法研究系统(1)零解的渐近稳定性，得出如下定理1.

定理1   设函数q满足条件(2)，g_i(t)可微，且存在常数α∈(0，1)以及连续函数h_i(t)：[0，∞) → $\mathbb{R}$，i=1，2，…，n，使得当t≥0时，

(ⅰ) $h(s)=\sum\limits_{i=1}^{n} h_{i}(s)$和$\underline\lim\limits_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} h(s) \mathrm{d} s>-\infty$，

(ⅱ) $\sum\limits_{i=1}^{n} \int_{g_{i}(t)}^{t}\left|h_{i}(s)\right| \mathrm{d} s+\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\int_{s^{h}(\mu) {\rm d} \mu}^{n}}\left|\sum\limits_{i=1}^{n}\left(h_{i}\left(g_{i}(s)\right) g_{i}^{\prime}(s)+a_{i}(s)\right)\right| \mathrm{d} s+$$\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\int_{s}^{t} h(\mu) {\rm d} \mu} \left(\int_{g_{o}(s)}^{s}|C(s, \nu)| \mathrm{d} \nu\right) \mathrm{d} s+ \int_{0}^{t}|h(s)| \mathrm{e}^{-\int_{s}^{t} h(\mu) \mathrm{d} \mu} \left[\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\int_{g_{i}(s)}^{s}\left|h_{i}(\nu)\right| \mathrm{d} \nu\right)\right] \mathrm{d} s \leqslant \alpha <1 $.

则系统(1)的零解渐近稳定的充要条件是

(ⅲ) 当t→∞时， $\int_{0}^{t} h(s) \mathrm{d} s \rightarrow \infty$.

注1   当a_i(t)=-a_i(a_i为常数)，g_i(s)=s时，可以在定理1中令h_i(t)=-a_i(t)=a_i，i=1，2，…，n.令∑a_i=a.这时定理1就简化为：

推论1   设函数q满足条件(2)，g_i(t)可微，且存在常数α∈(0，1)使得，当t≥0时，

则系统(1)的零解渐近稳定.

注2   推论1给出的是常时滞动力系统的稳定性条件.该条件简单，易于检验，实际操作容易被推广应用.

另外，当将定理1的结论和证明过程应用到系统(3)和(4)，则引理1和引理2可改进为推论1和推论2.

推论2   假设存在常数α∈(0，1)以及连续函数h(t)：[0，∞) → $\mathbb{R}$，使得当t≥0时.

(ⅰ) $\underline\lim\limits_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} h(s) \mathrm{d} s>-\infty$.

(ⅱ) $\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\int_{s}^{t} h(\mu) {\rm d} \mu}|(h(s)+A(s))| \mathrm{d} s+\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\int_{s^{h}(\mu) V_{\mu}}^{t}}\left(\int_{0}^{s}|C(s, \nu)| \mathrm{d} \nu\right) \mathrm{d} s \leqslant \alpha<1$，

则系统(3)的零解渐近稳定的充要条件是

(ⅲ) 当时当t→∞时，∫₀^th(s)ds→∞.

注3   推论2没有要求A(t)≤0，一定程度上改进了引理1的结论.

推论3   假设τ_j(t)可微，且存在常数α∈(0，1)以及连续函数h_i(t)：[0，∞) → $\mathbb{R}$，i=1，2，…，N，使得对t≥0，

(ⅰ) $h(s)=\sum\limits_{i=1}^{N} h_{i}(s)$和$\underline\lim\limits _{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} h(s) \mathrm{d} s>-\infty$.

(ⅱ) $\sum\limits_{i=1}^{N}\left(\int_{t-\tau_{i}(t)}^{t}\left|h_{i}(s)\right| \mathrm{d} s\right)+\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\int_{s}^{t} h(\mu) {\rm d} \mu}\left|\sum\limits_{i=1}^{N}\left(h_{i}\left(s-\tau_{i}(s)\right)\left(1-\tau_{i}^{\prime}(s)\right)-b_{i}(s)\right)\right| \mathrm{d} s+$$\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\int_{s}^{t} h(\mu) {\rm d} \mu}|h(s)|\left(\sum\limits_{i=1}^{N} \int_{s-\tau_{i}(s)}^{s}\left|h_{i}(\mu)\right| \mathrm{d} \mu\right) \mathrm{d} s \leqslant \alpha$.

则系统(4)的零解渐近稳定的充分必要条件是

(ⅲ)当t→∞时，∫₀^th(s)ds→∞.

注4   推论3没有要求t-τ_i(t)存在反函数，一定程度上改进了引理2的结论.

注5   在推论3中可以根据时滞的特点分别引进对应的连续函数h_i(s)，i=1，2，…，N，这样使得不动点方法的运用更加灵活，也很大程度改进和推广了引理2的结论.

定理1的证明   定义集合S={x|x∈C($\mathbb{R}$ ⁺，$\mathbb{R}$)}，满足当s∈[m(0)，0]时，ψ(s)=φ(s).定义范数

满足当t→∞时，‖ψ(t)‖→0.

定义算子Ψ：S →S如下：

(Ⅰ)当t∈[m(0)，0]时，(Ψφ)(t)=φ(t)；

(Ⅱ)当t≥0时，

首先证明Ψ在[0，∞)上是连续的.

令φ∈S，t₁≥0，|λ|充分小，则

由条件(ⅱ)易证，当λ→0时，

即

其次证明Ψ(S)⊂S.

因为

显然，当t→∞时，|I₁(t)|²→0.由于当t→∞时，g_i(t)→∞且‖φ(t)‖→0.所以对任意ε＞0，存在T₁＞0使得s≥T₁，包含|φ(s)|²＜ε和|φ(g(s))|²＜ε，从而当t→∞时，|I₂(t)|²→0.

同时，由条件(ⅱ)有，

由条件(ⅱ)和(ⅲ)知，存在T₂≥T₁使得当t≥T₂时，有

从而

因此当t→∞时，

类似地，当t→∞时，|I₄(t)|²→0.同时，由条件(2)易得，当t→∞时，|I₅(t)|²→0.这样就证明了Ψ(S)⊂S.

最后证明Ψ是压缩的.

由条件(ⅱ)易知，对任意φ，ψ∈S有

从而由(7)式可得Ψ是压缩的.因此，由压缩映射原理知，Ψ在空间S中有唯一不动点x(t)，它是系统(1)的解，而且当t→∞时，|x(t)|²→0.

为了证明渐近稳定性，还需证系统(1)的零解是稳定的.对任意给定的ε＞0选择δ＞0(δ＜ε)满足

设x(t)是系统(1)的解，且‖φ‖²＜δ，则x(t)=(Ψx)(t).其中算子Ψ由(5)式定义.可以证明，当t≥0时，有|x(t)|²＜ε.

事实上，注意到对t∈[m(0)，0]有|x(t)|²＜ε.假设存在t^*使得|x(t^*)|²=ε而且当m(0)≤s＜t^*，|x(s)|²＜ε.则有

这样产生矛盾，从而证明了当条件(ⅲ)成立时系统(1)的零解是渐近稳定的.下面证必要性.

用反证法，假设系统(1)的零解渐近稳定但条件(ⅲ)不成立，则由条件(ⅰ)，存在β∈ $\mathbb{R}$和序列{t_n}，t_n→∞(n→∞)，使得

不妨选择正常数P满足

为了方便，对S≥0，定义

则由条件(ⅱ)有

从而序列$\left\{\int_{0}^{t_{n}} {\rm e}^{\int_{0}^{s} h(\mu) {\rm d} \mu}\right.F(s) \mathrm{d} s \}$单调有界，因此存在收敛子列.为简单起见，假定

选择充分大的正整数k，使得对任意n≥k，

其中$B=\sup\limits _{t \geqslant 0} \mathrm{e}^{-\int_{0}^{t} h(u) \mathrm{d} u}$，δ₀＞0满足4δ₀Be^P+α＜1.

考虑系统(1)的解x(t)=x(t，t_k，φ)，初始条件满足

由渐近稳定性，假设|x(t)|²＜1，t≥t_k，选择φ使得

由(6)式和x(t)=(Ψx)(t)，t≥t_k，得

另一方面，因为系统(1)的零解均方渐近稳定，所以当t→∞时，

又由条件(ⅱ)以及t_n→∞时g(t_n)→∞(n→∞)，从而可得当n→∞时

这与(9)式矛盾.故条件(ⅲ)是系统(1)的零解渐近稳定的必要条件.证毕.

例1   考虑积分微分动力系统

如果在推论2中取h(t)=0.5+cost，系统(10)零解渐近稳定.

证   事实上，易证推论2的条件(ⅰ)满足.其次因为

再者，当t→∞时，

所以，推论2的条件均满足，所以由推论2的结论知，系统(10)的零解渐近稳定.

注6   因为不满足A(t)=-(0.5+cost)≤0，所以由引理1得不到系统(10)零解的渐近稳定性.由例1易得，推论2很大程度上改进了引理1的结果.

例2   考虑多时滞微分动力系统

由推论3知，该系统零解渐近稳定.

证   在推论3中选择h₁(t)=h₂(t)= $\frac{1}{6+6 t}$，则有

且当t≥0时，

易知，

令

则由推论3知，系统(11)零解均方渐近稳定.

注7   易知由引理2不可以得到系统(11)零解的均方渐近稳定性.

事实上，$b_{1}(t)=\frac{1}{10+6 t}, b_{2}(t)=\frac{1}{15+6 t}$，t-0.4t和t-0.6t的反函数分别为$\frac{5 t}{3}$和$\frac{5 t}{2}$.则

且

当t→∞时，

所以，当t→∞时，

上面的证明可以得出，

不满足引理2的条件.所以由引理2不能得出系统(11)的零解均方渐近稳定性.

通过本文的研究，得出如下结论：

1) 不动点方法较传统的李雅普诺夫直接法有一定的优越性.

2) 文章在构造映射算子时，根据多时滞动力系统时滞的特点，分别引入不同的对应函数h_i(s)，i=1，2，…，n，然后利用这n个函数来构造算子，再利用Banach不动点方法来研究随机动力系统的稳定性，推广和改进了前人研究的结果.