A Structure of Abundant Semigroups with Good Adequate Transversals

正则半群的逆断面^[1]的概念于1982年引入.若正则半群S的逆子半群S^o含S的每个元素的唯一逆元，则称S^o为S的逆断面.在逆断面情形下，文献[2]引入了两个子半群R和L，文献[3]证明了两个幂等子集I和Λ都是带.作为逆断面的推广，恰当断面^[4]的概念于1993年引入到富足半群中，文献[4]建立了具有可乘型A断面的富足半群的结构.文献[5]引入了两个幂等子集I和Λ，并研究了恰当断面的若干性质.文献[6]引入并研究了两个重要子集R和L，建立了具有拟理想恰当断面的富足半群的织积结构.文献[7]建立了具有左单S-恰当断面的富足半群的结构，文献[8]利用左正则带和${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群，建立了具有S-恰当断面的富足半群的结构，但这两个半群是不对称的.文献[9]得到了完全正则半群簇的子簇的两种分解.文献[10]得到了变换半群的一个组合结果.文献[11-12]进一步讨论了恰当断面的性质，并研究了拟理想恰当断面的乘积问题.文献[13]对拟理想恰当断面的乘积问题进行了推广.文献[14]研究了可乘拟恰当断面的好同余.本文的主要目的是利用两个对称的半群${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群和${{\mathscr R}^ * }$-幂单半群，建立具有良恰当断面的富足半群的结构.

如果半群S的每一${{\mathscr L}^ * }$-类和${{\mathscr R}^ * }$-类都含幂等元，则称S为富足半群^[15].幂等元集成带(半格)的富足半群称为拟恰当半群(恰当半群)^[16].恰当半群的每一${{\mathscr L}^ * }$-类L_a^*和${{\mathscr R}^ * }$-类R_a^*仅含一个幂等元，分别记作a^*和a⁺.用符号E和E^o分别表示半群S和S^o的幂等元集.

设U是富足半群S的富足子半群.如果对任意a∈U，存在两个幂等元e∈L_a^*(S)∩U和f∈R_a^*(S)∩U，则称U为S的*-子半群.设S^o是富足半群S的*-恰当子半群.如果对任意x∈S，存在幂等元e，f∈E和唯一x ∈S^o，使得x=exf，这里$e{\overline {{\mathscr L}x} ^ + }$，$f{\overline {{\mathscr R}x} ^ * }$，则称S^o为S的恰当断面.易知e和f是由x和S^o唯一确定的，分别记为e_x和f_x，且有e_x${{\mathscr R}^ * }$x${{\mathscr L}^ * }$f_x.记

如果I和Λ都是带，则称S^o为S的良恰当断面.据文献[5]的命题2.3知，若S^o是S的良恰当断面，则I是左正则带(iji=ij)，Λ是右正则带(iji=ji).幂等元集成右正则带(左正则带)的拟恰当半群称为${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群(${{\mathscr R}^ * }$-幂单半群).本文未定义的概念和符号见文献[6, 15-16].

引理1^[8]  设S是具有恰当断面S^o的富足半群.若I(Λ)是子半群，则R(L)也是子半群，从而R(L)是拟恰当半群.

在下文中，R表示一个具有恰当断面S^o的${{\mathscr R}^ * }$-幂单半群.则易知，对任一x∈R，有f_x=x^*∈E^o和x=e_xx.对${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群L有对偶的结论.下面给出本文的主要定理.

定理1  设${{\mathscr R}^ * }$-幂单半群R和${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群L具有一个共同的恰当断面S^o.对任一a∈L，设ϕ_a：R→R，$y \mapsto {\phi _a}y$为映射；对任一x∈R，设ψ_x：L→L，$b \mapsto b\psi _x$为映射.在集合U=R×L={(x，a)∈R×L：x=a}上定义乘法

假设对任意a，b∈L和任意x，y∈R，下列条件满足：

(ⅰ) $\overline {{\phi _a}y} = \overline {a{\psi _y}} $；

(ⅱ)若x=b，则ϕ_a(e_x(ϕ_by))=e_ϕax(ϕ_(aψx)fby)且(aψ_ex(ϕby))f_bψy=((aψ_x)f_b)ψ_y；

(ⅲ)若a∈S^o，则ϕ_ay=ay且aψ_y=ay；若x∈S^o，则bψ_x=bx且ϕ_ax=ax；

(ⅳ) e_a(ϕ_ax)=ϕ_ax且(aψ_x)f_x=aψ_x；

(ⅴ)对任一c∈L及z∈R，若ϕ_ay=ϕ_az及(aψ_y)f_b=(aψ_z)f_c，则ϕ_fay=ϕ_faz且(f_aψ_y)f_b=(f_aψ_z)f_c；若e_y(ϕ_bx)=e_z(ϕ_cx)及bψ_x=cψ_x，则e_y(ϕ_be_x)=e_z(ϕ_ce_x)且bψ_ex=cψ_ex.

则U是具有同构于S^o的良恰当断面的富足半群.

反之，每一个具有良恰当断面的富足半群都可以这样构造.

定理1由下面几个引理逐步证得.

引理2  U上的乘法是有定义的.

证  只须证(e_x(ϕ_ay)，(aψ_y)f_b)∈U.

因ϕ_a：R→R和ψ_y：L→L是映射，显然有

因E(R)是左正则带，且

据条件(ⅰ)和(ⅳ)，有

且

故$\overline {{e_{x\left( {{\phi _a}y} \right)}}} = \overline {{\phi _a}y} $.类似地，$\overline {\left( {a{\psi _y}} \right){f_b}} = \overline {a{\psi _y}} $.据条件(ⅳ)，有

故

引理3  U是半群.

证  设(x，a)，(y，b)，(z，c)∈U.则

而

由y=b，据条件(ⅱ)，有

所以U是半群.

引理4  设(x，a)∈U.则(x，a)∈E(U)当且仅当ϕ_ax=aψ_x=a=x.

证  因

注意到x∈R和a∈L，易知：若

则

故(x，a)∈E(U).反之，若(x，a)∈E(U)，则e_x(ϕ_ax)=x且(aψ_x)f_a=a.据(x，a)∈U和a∈L，有$ {e_x}{\overline {{\mathscr L}x} ^ + }$=a⁺=e_a.故

类似地，aψ_x=a=x.

引理5  假设(x，a)∈U，记u=(e_x，x⁺)和v=(a^*，f_a).则u，v∈E(U)且$u{{\mathscr R}^ * }$(x，a)${{\mathscr L}^ * }v$.

证  据引理4，显然有u，v∈E(U).令x∈E^o，a∈L，因为xf_a=xf_a=a，则

假设(y，b)，(z，c)∈Γ¹，使得

则

即

且

故

据f_a${{\mathscr R}^ * }$a^*=x^*=f_x和条件(ⅳ)，有bψ_x=cψ_x.因此据条件(ⅴ)，有

且

所以

故(x，a)${{\mathscr R}^ * }u$.对偶地，有(x，a)${{\mathscr L}^ * }v$.

引理6  U是富足半群.

证  据引理5可得.

引理7  设W={(s，s)：s∈S^o}.则W是同构于S^o的U的恰当*-子半群.

证  显然W⊆U.设(s，s)，(t，t)∈W.易知

所以W是子半群.对任一s∈S^o，定义sφ=(s，s)，显然φ是一个同构.故S^o$ \cong $W.

为证W是*-子半群，设(s，s)∈W.据引理4和引理5，有

且$u{{\mathscr R}^ * }$(s，s).类似地，v=(s^*，s^*)∈E(W)且$v{{\mathscr L}^ * }$(s，s).

引理8  设(x₁，a₁)，(x₂，a₂)∈U.则：

(ⅰ) (x₁，a₁)${{\mathscr R}^ * }$(x₂，a₂)当且仅当x₁${{\mathscr R}^ * }$x₂；

(ⅱ) (x₁，a₁)${{\mathscr L}^ * }$(x₂，a₂)当且仅当a₁${{\mathscr L}^ * }$a₂.

证  为证(ⅰ)，据引理5，只需证明(e_x1，${\overline {{x_1}} ^ + }$)${{\mathscr R}^ * }$(e_x2，${\overline {{x_2}} ^ + }$)当且仅当x₁${{\mathscr R}^ * }$x₂.

若x₁${{\mathscr R}^ * }$x₂，则e_x1=e_x2，故${\overline {{x_1}} ^ + }$=${\overline {{x_2}} ^ + }$.因此

反之，若

则u₁u₂=u₂且u₂u₁=u₁.故

且

即e_x1e_x2=e_x2，且e_x2e_x1=e_x1.故e_x1${{\mathscr R}^ * }$e_x2.所以x₁${{\mathscr R}^ * }$x₂.

(ⅱ)可对偶地证明.

引理9  W是U的恰当断面.

证  对任意的t=(x，a)∈U，记

易验证t=e_ttf_t.而且

假设t可以写成另一种形式t=e_t′t′f_t′，其中

及

根据引理8的证明，有

由e_t${{\mathscr R}^ * }$t${{\mathscr R}^ * }$e_t′知

类似地，有f_a=f_b2，${\overline a ^ * } = {\overline {{b_2}} ^ * }$.所以，由b₁∈L及y₂∈R知

从而

因e_t′，f_t′∈E(U)，根据引理4，有$\overline {{b_1}} {y_1} = \overline {{y_1}} $且${b_2}\overline {{y_2}} = \overline {{b_2}} $.因y₁∈R，有

故y₁${{\mathscr L}^ * }$$\overline {{y_1}} $${{\mathscr L}^ * }$$\overline {{y_1}}^* $.从$\overline {{b_1}} {y_1} = \overline {{y_1}} $可推断出$\overline {{y_1}} = \overline {{y_1}}{y_1} $.因$\overline {{b_1}} = \overline {{y_1}} $，从而$\overline {{y_1}} ^*= \overline {{y_1}} ^*{y_1}$，故

因此y₁是幂等元，且y₁=e_y1=e_x.类似地，有

易知

故e_t′=e_t且f_t′=f_t.从而

故x=e_xy.由x=e_xx知e_xy=e_xx，可得x⁺y=x.显然$\overline {{x}} ^+ = \overline {{b_1}}=\overline {{b_1}}^* =\overline {y}^+$，故x=y⁺y=y.所以，W是U的恰当断面.

引理10  W是U的良恰当断面.

证  设

对任一(x，a)∈I(U)，有(x，a)∈E(U)，且存在(y，y)∈E(W)，y∈E^o，使得(x，a)${{\mathscr L} }$(y，y).则(a^*，f_a)${{\mathscr L} }$(y，y)，故(a^*，f_a)=(y，y)，即a^*=y=f_a.故a∈R∩L=S^o，根据引理4，有a=ϕ_ax=ax.因(x，a)∈U，有x=a=a，故x=xx.从引理9的证明可推断出x是幂等元，故x=e_x.从而

因此

对任一(x，a)∈U，其中x²=x及a∈E^o，显然有

所以I(U)=E(R)|×|E^o$ \cong $E(R)是左正则带.对偶地，Λ(U)=E^o|×|E(L)$ \cong $E(L)是右正则带.

据定义知W是U的良恰当断面.至此完成了定理1正面部分的证明.

反之，假设S是富足半群，具有良恰当断面S^o.则I是左正则带，Λ是右正则带.从而，R是${{\mathscr R}^ * }$-幂单半群，L是${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群，且R和L分享一个共同的恰当断面S^o.对任一a∈L及x∈R，设

为映射.则它们满足下列条件：

(ⅰ)因

及${e_{ay}}{\overline {{\mathscr L}ay} ^ + }$，有$\overline {{\phi _a}y} = \overline {a{_y}} $.类似地，因

及${f_{ay}}{\overline {{\mathscr R}ay} ^ * }$，有$\overline {a{\psi _y}} = \overline {ay} $.故$\overline {{\phi _a}y} = \overline {a{\psi _y}} $.

(ⅱ)由x=b，x∈R及b∈L知

计算得

故

类似地，有

(ⅲ)若a∈S^o，则ay∈S^oR⊆R，故f_ay=ay^*.所以

对偶地，若x∈S^o，则bψ_x=bx，且ϕ_ax=ax.

(ⅳ)易知

(ⅴ)最后证明：若bψ_x=cψ_x及e_y(ϕ_bx)=e_z(ϕ_cx)，则

因e_bx=e_bex，由E^o是半格，有$\overline {{bx}}^+ = \overline {{be_{x}}}^+ $.类似地，$\overline {{cx}}^+ = \overline {{ce_{x}}}^+ $.从bψ_x=cψ_x可推断出

所以$ {\overline {b{e_x}} ^ + }b{e_x} = {\overline {c{e_x}} ^ + }c{e_x}$，从而bψ_x=cψ_x.若e_y(ϕ_bx)=e_z(ϕ_cx)，则e_ye_bxbx =e_ze_cxcx.因bψ_x=cψ_x，有$\overline {b{\psi _x}} = \overline {c{\psi _x}} $，据(ⅰ)，bx =cx.从而

故e_ye_bx=e_ze_cx.所以e_ye_bex=e_ze_cex.类似地，因bψ_ex=cψ_ex，有$\overline {b{e_x}} = \overline {c{e_x}} $，故

从而

即

对偶地，若ϕ_ay=ϕ_az及(aψ_y)f_b=(aψ_z)f_c，则

所以得到一个富足半群U.最后证明U同构于S.

设(x，a)∈U.定义θ：U→S为θ((x，a))=e_xa，则θ是有定义的，且θ是单射.事实上，若

其中x，y∈R，a，b∈L.则从e_xa=e_xaf_a，$f_a{\overline {{\mathscr R}a} ^ * } $和$e_x{\overline {{\mathscr L}x} ^ + } = {\overline a ^ + }$可推断出$\overline {{e_x}a} = \overline a $.类似地，$\overline {{e_y}b} = \overline b$，故a=b.从而

所以

类似地，a=b.

对任意(x，a)，(y，b)∈U，因yf_b=e_yb，有

故θ是同态.对任一x∈S，易验证xx^*∈R且x⁺x∈L.而且，从

和

可推断出$\overline {x{{\overline x }^ * }} = \overline x = \overline {{{\overline x }^ + }x} $.故$\left( {x{{\overline x }^ * }, {{\overline x }^ + }x} \right)$∈U且

这就说明θ是满射.所以θ是一个同构.