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物联网设备集感知、通信、计算等功能于一体，能实现数据采集、传输和加工[1-4]. 近年来，由3GPP提出的一种大规模低功耗广域(low power wide area，LPWA)技术——窄带物联网(narrow-band Internet of things，NB-IoT)，具有广覆盖、大连接、低功耗、低成本特点，主要用于传感和数据采集场景，适用于智能电网、智慧农业、智慧物流等领域. 覆盖增强包括基站覆盖的广度和深度，除了通过减小信道带宽以提高功率谱密度外，NB-IoT还引入了覆盖类别概念[5]，并为不同覆盖类别配置不同的重复和重传参数.
针对NB-IoT覆盖增强技术，文献[6]研究上行链路联合重复传输和带宽分配，分析了不同资源配置对覆盖增强的影响，并结合信噪比、带宽利用率和单位比特能耗，提出了一种上行链路自适应算法；文献[7]考虑MAC冲突设计物理层前导码结构，将一组长前导码划分为多组短前导码，以增加正交前导码数量，但降低前导码冲突概率是以牺牲前导码检测概率为代价的；文献[8]采用机器学习将前导码重复次数与系统能耗建模为一种多武装匪徒攻防框架，采用动态接入减少前导码重复次数，在增强覆盖的同时降低系统能耗；文献[9]结合接收信噪比和冲突条件分析随机接入成功率，结果表明，前导码重复传输可以在轻载下提高随机接入成功率，但在重载下，信道资源利用率较低，且随机接入成功率提高有限. 文献[10]采用泊松点过程描述终端和基站分布，并利用离散时间马尔可夫链表征终端队列和协议状态，但该模型只能在稳态下获得结果，无法捕获时间演化过程的前导码检测概率. 文献[11]基于覆盖类别建立马尔可夫链模型，采用多目标优化算法分析前导码重复次数、最大重传次数、接入负载对覆盖能力的影响，但未考虑前导码在冲突时的回退机制；文献[12]构建了一种队列模型，用于分析不同调度机制对通信延迟和终端功耗的影响；文献[13]基于前导码重复传输和自适应调制编码方案来增强覆盖，提出了一种周期性调整重复次数来应对误块率的内环链路自适应方案和一种协调调制编码方案选择和重复次数确定的外环链路自适应方案，旨在提高系统吞吐量的同时降低资源消耗；文献[14]导出了终端发起随机接入请求和数据包成功传输概率，基于马尔可夫链对队列长度和重传次数建模，分析了终端数量、数据包生成率、重传次数和队列长度等对系统吞吐量的影响.
上述针对NB-IoT的覆盖增强技术都是采用重复和重传来增强覆盖能力，即通过重复传输前导码来提高基站对前导码的检测概率，通过增加接入次数来提高终端对信道的竞争成功概率. 但是，NB-IoT的窄带物理随机接入信道(narrowband physical random access channel，NPRACH)与窄带物理上行共享信道(narrowband physical uplink shared channel，NPUSCH)共用相同的时频资源，重复和重传会降低资源利用率、增加系统能耗. 本文针对随机部署的终端和基站，分析了基于重复和重传的覆盖增强性能，首先建立了基于随机几何的前导码检测概率模型和基于多频段多信道时隙ALOHA的冲突概率模型，分析了终端采用前导码重复传输的检测概率和终端对信道的竞争成功概率，然后导出了终端的随机接入成功率和平均接入时延，最后结合NB-IoT划分的覆盖类别，对重复和重传的性能进行了仿真分析.
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NB-IoT支持的业务对时延不敏感且触发周期长，故采用随机接入协议[15]. 在NB-IoT中，终端在空闲模式和连接模式下启动随机接入过程，采用与LTE相同的4个步骤，但由于LTE与NB-IoT支持的业务不同，3GPP优化了随机接入过程，二者的随机接入信道特性对比如表 1所示.
基于竞争的随机接入过程包括4个步骤：
步骤1：终端发送随机接入请求消息. 在传输前导码前，终端确定NPRACH的资源配置信息，NPRACH资源配置取决于覆盖类别. 频域资源有两种：一是将子载波划分为4个带宽，每个带宽包含12个3.75kHz子载波；二是将子载波划分为3个带宽，每个带宽包含16个3.75kHz子载波，定义了子载波数和子载波偏置参数. 时域资源定义了周期nprach-Periodicity、起始子帧位置nprach-StartTime等参数. 不同覆盖类别还需要确定前导码重复次数、发送前导码的最大次数以及下行NPDCCH监听位置等参数.
步骤2：基站发送随机接入响应消息. 终端发送前导码后，在特定的时间窗口接收来自基站的随机接入响应(random access response，RAR)消息. RAR消息中携带的信息包括：定时偏移量、步骤3调度信息、UL Grant、Temporary C-RNTI和RA-Preamble identifier等. 如果RAR消息中包含有与终端此前发送一致的RA-Preamble identifier，则终端认为响应成功，接下来进行上行调度传输，执行步骤3. 如果在随机接入监听时间窗口，终端未收到RAR消息或收到的RAR消息验证失败，则终端认为响应失败. 响应失败后，如果终端的随机接入尝试次数未达到最大尝试次数，重新进行下一次随机接入尝试，否则本次随机接入请求过程失败，最大尝试次数从步骤1的SIB2(system information block，SIB2)中获得.
步骤3：终端进行上行调度传输：终端收到RAR消息后，即可获得上行时间同步和上行资源，但仍无法确定RAR消息是发送给自己的还是其他终端的. 终端利用步骤2分配的UL Grant资源发送步骤3，执行RRC连接建立请求，同时启动冲突检测定时器等待步骤4.
步骤4：基站进行竞争决议. 基站收到步骤3后需要进行竞争解决，并将结果发送给终端，如果竞争决议成功，表示基于竞争的随机接入过程结束；如果竞争决议定时器超时，终端认为竞争决议失败. 失败后，如果终端的随机接入尝试次数小于最大尝试次数，在下一个可用随机接入资源中重新发起随机接入请求，否则本次随机接入过程失败.
所有终端均采用全1序列生成前导码，通过SIB2获取随机接入信道配置信息，通过测量参考信号接收功率并与基站广播的阈值比较选择覆盖类别，在覆盖类别对应的NPRACH时频域资源段传输固定格式的前导码发起随机接入请求.
在随机接入过程的4个步骤中，仅在步骤1通过NPRACH发送前导码，而在其余步骤，终端与基站之间的信息交互是通过上行链路和下行链路数据传输信道进行的. 对于上行传输，NPRACH用于前导码传输，而NPUSCH用于数据传输. 当大量终端同时发送前导码时，由于基站无法识别终端，导致接入冲突，因此在随机接入过程中，基站对前导码的检测性能对于终端与基站之间能否成功建立连接非常重要. 导致随机接入过程步骤1失败的主要原因有两个：一是基站对前导码的接收信干噪比(signal to interference plus noise ratio，SINR)较低，无法检测和识别；二是基站同时接收到两个及以上相同的前导码，发生冲突，无法区分已发生冲突的前导码.
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假设NB-IoT基站和终端部署服从二维空间
$\mathbb{R} $ 2中密度分别为λB和λ的独立齐次泊松点过程ΦB和ΦD，每个终端都与其地理位置靠近的基站关联，形成泰森多边形镶嵌[16]，如图 1所示，三角形代表基站，点代表终端.
鉴于在大多数NB-IoT应用中，终端部署固定或移动性较低，进一步假设基站和终端部署完成后，其数量和位置保持不变，基站与终端间的传输路径损耗采用幂律模型r-α，r为传输距离，α为路径损耗指数. 假设信道服从瑞利分布，其信道增益g是具有单位均值指数分布的随机变量. 为简单计，这里仅分析单小区NB-IoT基站对前导码的检测概率，其上行传输模型如图 2所示. 假设在任何特定的时频资源上，终端都以固定功率(ρ)传输信号，在随机接入过程中，终端随机选择一个前导码发送到基站，请求信道资源. 终端与基站之间的距离用随机变量R表示，干扰来自小区内的其它终端.
在每个时隙，基站对前导码的接收信干噪比可表示为
其中，Pr为基站对前导码的接收功率，σ2为加性噪声功率，Iz为小区内除目标终端外其余终端(干扰终端)产生的干扰. 用Z={zi|i=1，2，…，k}表示小区内干扰终端集合，若zi∈Z，干扰终端zi到基站的距离用Di表示，那么基站对来自目标终端的接收功率和来自小区内干扰终端的接收功率分别为
其中，g，gi，i=1，…，k分别为目标终端和干扰终端集合与基站之间的信道增益. 将式(2)、式(3)代入式(1)得：
首先分析终端与基站之间距离R的分布. 在以基站为圆心，半径为r(r＜R)，即面积为πr2的区域内无终端的概率为
那么，在该区域内有终端的概率可表示为
从而，终端与基站之间距离R的概率密度函数为
如果基站对终端发送前导码的接收信干噪比高于基站预定的检测阈值T，则可以在关联基站处检测和识别该前导码，反之，基站不能检测和识别该前导码. 因为终端与基站之间的信道增益g服从单位均值的指数分布，所以基站对前导码的检测概率可表示为
其中，Lz(Trαρ-1)表示干扰终端集合的拉普拉斯变换. 进一步令s=Trαρ-1，并利用信道增益的独立性和随机几何的概率母函数可得，
信道增益gi也服从单位均值的指数分布，令t=(Di/r)2，利用指数分布的矩生成函数可得：
为简单计，假设加性噪声功率为0，即σ2=0，由此获得基站对前导码的检测概率为
采用前导码重复传输的检测概率pcd可表示为
其中，pε=e-(N-1)表示综合考虑基站捕获效应或接收机灵敏度时，前导码重复传输N次对检测失败概率的减少因子[17]，即：
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多频段多信道时隙ALOHA协议是在不同频段运行的多信道时隙ALOHA协议[18]，该协议为每个终端分配初始接入频段，并随机选择信道发送数据. 将时间划分为时隙，假设所有频段的时隙长度相同，且所有频段的时隙起始时刻同步，当两个及以上的终端利用同一信道的同一时隙发起随机接入请求时就会发生冲突，冲突终端在下一个可用的随机接入资源重新发起新的接入请求. 每个频段能容纳的最大终端数取决于可用资源，若在某个频段的终端最后一次接入尝试失败，就在更高频段重新发起新的接入尝试，直到达到最大重传次数为止. 若在达到最大重传次数时仍失败，就宣告此次随机接入请求失败. NPRACH在各覆盖类别均采用该协议，本文基于该协议分析NB-IoT随机接入过程中终端对信道的竞争成功概率.
考虑一个具有B个频段的多信道时隙ALOHA系统，M个终端同时启动随机接入过程，用mbM表示在频段b的初始终端数，0≤b≤B-1，
$\sum\limits_{b = 0}^{B - 1} {{m_b} = 1} $ ，用sb，rmax，b分别表示基站为频段b预留的可用信道数和允许的最大重传次数，rmax，G表示在所有频段允许的最大重传次数. 根据3GPP划分的3个覆盖类别，B=3，令rmax，G=6，rmax，0=2，rmax，1=rmax，2=3，s2=2s1=2s0. 如图 3所示，分别用实线、长虚线和短虚线表示终端在频段0，1和2的最大重传次数，即在频段0，终端可进行rmax，0次接入尝试，如果接入失败则转移至频段1，终端可在频带1进行rmax，1次接入尝试，如果接入失败再转移至频段2，可在频带2进行rmax，G-rmax，1-rmax，0次接入尝试，此时已达到所有频段的最大重传次数，如果仍然失败，则宣告此次随机接入过程失败. 初始在频段1和2的终端，竞争信道资源的过程与初始在频段0的终端类似.
用单个时隙内终端对信道的竞争成功概率评估系统的性能，定义为该时隙内竞争信道成功的终端数除以该时隙内总的竞争终端数. 用Mi[n]表示在第i个时隙内进行第n(1≤n≤rmax，G)次接入尝试的终端数，包含在频段0，1和2的终端. 将Mi[n]个终端同时竞争有限信道资源问题建模为箱子和球的问题，即m个球放进s个箱子，统计竞争成功的终端数类似于统计只有一个球的箱子数. 当m＞s时，期望只有一个球的箱子数量可表示为me-m/s. 在NB-IoT中，由于Mi[n]＞s，在第i个时隙进行第n次接入尝试竞争成功的终端数可表示为
其中，
$s = \sum\limits_{b = 0}^{B - 1} {{s_b}} $ . 那么，单个时隙内终端对信道的竞争成功概率可表示为单个时隙内参与竞争的终端数包含上次竞争失败的终端和在该时隙开始竞争的终端，在每个时隙中，竞争成功的终端在下一时隙不参与竞争. 假设系统趋于稳定，即上一时隙竞争成功的终端数和下一时隙开始竞争的终端数趋于平衡，那么，
$\sum\limits_{n = 1}^{{r_{\max , G}}} {{M_i}[n] = M} $ ，式(15)可改写为 -
利用基站对前导码的检测概率和终端对信道的竞争成功概率导出随机接入成功率. 显然，结合式(13)和式(16)，随机接入成功率pp可表示为
如果终端在随机接入响应时间窗口内未收到RAR消息，也未达到最大接入尝试次数，可以利用下一个随机接入资源重新发送新的接入请求，直到达到最大接入尝试次数或随机接入成功. 考虑最大重传次数下的随机接入成功率ps可表示为
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在NB-IoT中，采用重复和重传固然可以提高检测概率和随机接入成功率，从而达到覆盖增强的目的，但重复和重传不仅会增加通信开销和处理能耗，还会增大接入时延，势必会对时延敏感型业务造成影响. 为此，需要分析重复、重传和可用信道数量等对接入时延的影响.
在启动随机接入过程前，终端需要获得下行链路定时信息和接收小区相关信息. 首先，终端执行下行链路同步处理，对窄带主同步信号和窄带辅同步信号解码，一旦解码成功，终端通过窄带物理广播信道承载的主信息块(master information block for NB-IoT，MIB-NB)获取信息，MIB-NB包含了终端后续解读系统信息块(system information blocks，SIB)所需的基本信息. 终端读取MIB-NB后解读SIB消息，包括小区接入、小区选择和其他SIB的调度消息等，获得表 2所示的系统相关信息. 用Tstart表示终端决定接入网络到开始随机接入过程的准备时间，Tstart∈{0ms，nprach-Periodicity}服从均匀分布，其均值为nprach-Periodicity的一半[19].
终端开始随机接入过程后，根据重复次数配置集合重复选择前导码并利用NPRACH传输. 终端发送前导码后，需要在响应时间窗口内等待基站回复RAR消息，响应时间窗口的开始时间根据重复次数不同会有相应的变化. 当前导码重复次数大于或等于64次时，在前导码传输完成，持续到第41个子帧结束后开启响应时间窗口，否则在前导码传输完成，持续到第4个子帧结束后开启响应时间窗口. 如果在响应时间窗口内终端未收到RAR消息，可以在下一个随机接入资源中重新发送新的随机接入请求进行接入尝试，两次随机接入请求的时间间隔用Tint表示，接入尝试次数由最大重传次数决定. 若在响应时间窗口内接收到来自基站的RAR消息，终端继续执行后续接入步骤，保持与基站连接，接入成功后，利用NPUSCH开始数据传输，结束随机接入过程. 通过上述分析，可以将终端发起一次随机接入请求的时延Tdelay表示为
其中，Tnprach_StartTime表示起始子帧位置，Tr表示重传引起的时延，可表示为
其中，r表示随机接入尝试次数，即重传次数，1≤r≤rmax，G；N表示前导码重复次数；Tpreamble表示前导码持续时间；Twait表示从前导码传输结束到响应时间窗口开启之间的等待时间；TRWS表示响应时间窗口大小.
为了导出平均接入时延，首先计算Tr的平均值. 计算Tr的平均值基于这样一个事实，即终端在第rmax，G次接入尝试前的随机接入过程是成功的，否则计算平均时延无意义. 基于Bayes后验概率准则，rmax，G次接入尝试的成功概率可表示为
其中，pr(r)表示第r次接入尝试的成功概率；pr(rmax，G)表示直到第rmax，G次接入尝试的成功概率；pr(rmax，G|r)表示在第r次接入尝试成功下，第rmax，G次接入尝试的成功概率. 由于在第r次接入尝试成功，那么在rmax，G次接入尝试也必然成功，即pr(rmax，G|r)=1，此时，
rmax，G次接入尝试下的平均接入时延为
从而平均接入时延可表示为
2.1. 基站对前导码的检测概率
2.2. 终端对信道的竞争成功概率
2.3. 随机接入成功率
2.4. 平均接入时延
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基站对前导码的检测概率随阈值T的变化曲线如图 4所示，横坐标是对阈值T取对数，由图可知，随着阈值的增大，基站对接收SINR的要求越高，导致检测概率不断降低，最终趋于零. 传输路径损耗也是影响检测概率的重要因素之一，由于PPP模型模拟了远距离干扰，当路径损耗指数α较小时，远距离终端的干扰更显著. 此外，PPP模型的一个弱点是人为造成附近占主导地位干扰终端的概率高，当路径损耗指数较小时，非主要干扰源的衰减缓慢，导致对来自目标终端的接收功率在总干扰中的占比较低，出现了在相同条件下路径损耗指数越大检测概率越高现象.
图 5所示为不同阈值T下检测概率随前导码重复次数的变化曲线. 在3种阈值下，基站对前导码的检测概率随前导码重复次数的增加而增大，当前导码重复次数为8时，3种阈值下的检测概率可达99%，满足3GPP设定的99%以上检测概率的要求. 在前导码重复次数达到8次后，检测概率的变化趋势明显降低，达到一种稳定状态，若继续增加前导码重复次数，对检测概率的提高并无实际意义.
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设置终端密度λ=500个/km2，路径损耗指数α=4，阈值T=0 dB，分析相关参数对随机接入成功率的影响. 首先，在随机接入请求一次下分析重复次数对随机接入成功率的影响，设置竞争终端数量M=50，如图 6所示，即使检测概率很高，随机接入成功率仍然很低，随着前导码重复次数的增加，随机接入成功率逐渐趋于一个稳定值. 对不同信道数量进行比较可以看出，可用信道数量越多，随机接入成功率越高，这是因为在竞争终端数量不变的情况下，可用信道数量越多，会有更多的终端竞争信道成功，从而提高随机接入成功率.
图 7是图 6的相对情况，在图 7中，设置竞争终端数量M=20，相比于图 6，图 7的随机接入成功率更高，这是由于竞争终端数量减少，终端之间的竞争降低，使得在相同可用信道数量下，随机接入成功率增大. 此外，两种配置下的仿真结果具有相同趋势，即随着重复次数的增加，随机接入成功率趋于一个稳定值. 其中，当可用信道数量为48时，随机接入成功率最高，对应于3.75 kHz的子载波间隔. 因此，在极端覆盖下，采用3.75 kHz的子载波间隔不仅可以获得更高的功率谱密度，也提供了更多的可用信道资源，使得处于极端信道环境下的终端也能被覆盖.
尽管如此，只考虑一次随机接入请求，终端的随机接入成功率仍然较低，为了进一步提高随机接入成功率，则采用重传技术，如图 8和图 9所示为M=50和M=20个终端随机接入成功率随重传次数和可用信道数量变化曲线. 在图 8中，在一个时隙竞争终端数量较多，而可用信道数量只有12个时，可用资源少，多个并发的随机接入请求导致拥塞，虽然随机接入成功率随着重传次数的增加可趋于100%，但需要的重传次数非常大，不仅会占用更多的资源，而且还会增加能耗开销. 随着可用信道数量的增加，随机接入成功率也得到了显著改善，这是由于在竞争时，可用资源增加，每次接入尝试后等待重传的终端减少，降低了终端竞争信道资源的冲突概率. 图 9所示为一个时隙中竞争终端数量较少场景，与图 9不同，由于竞争终端数量减少，即使可用信道数量为最低配置，也能在使用较少重传次数下使随机接入成功率趋于100%. 由此可知，减小单个时隙内的竞争终端数量、增加可用信道数量以及采用重传技术可以提高随机接入成功概率.
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针对3GPP为NB-IoT定义的3个覆盖类别，最大可容忍延迟为10 s，依据表 3的参数确认3种不同应用场景，模拟3个覆盖类别，分析不同场景下随机接入的平均时延.
3种场景下平均接入时延的仿真结果如图 10-图 12所示. 由图可知，重复和重传次数的增加都会导致平均接入时延增加，3种场景下平均接入时延分别约为0.104，1.32，8.87 s，对于参与随机接入过程的终端数量从0增加到可用信道数量的3倍时，平均接入时延增长很快. 当终端数量增长到3倍以上时，平均接入时延的增加趋缓，逐渐趋于一个稳定值，且可用信道数量越多，这种增长趋势越平稳，相比于可用信道数量较少情况，可以允许在相同终端数量下达到更低的接入时延.
3.1. 检测概率
3.2. 随机接入成功率
3.3. 平均接入时延
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本文针对随机分布在二维地理区域的NB-IoT终端和基站，分析了重复和重传与随机接入成功率之间的关系，建立了基于随机几何的前导码检测概率模型和基于多频段多信道时隙ALOHA协议的冲突概率模型. 进一步考虑重复和重传次数对平均接入时延的影响，导出了平均接入时延与重复和重传次数之间的关系，并结合NB-IoT划分的覆盖类别进行了仿真. 结果表明，检测概率随前导码重复次数的增加而增加，当重复次数为8时，检测概率可达99%. 但重复次数对随机接入成功率的影响不大，随机接入成功率随重传次数和可用信道数量的增加而增加；虽然重复和重传会导致平均接入时延增加，但针对NB-IoT划分的3个覆盖类别的仿真表明，即使是在极端恶劣的应用场景，平均接入时延也能满足规定的最大可容忍延迟要求.
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