-
设n，m∈
$\mathbb{N}$ +，$\mathscr{S}$ n和$\mathscr{T}$ n分别是Xn={1，2，…，n}上的对称群和全变换半群. 对于1≤m≤n-1，记Xm={1，2，…，m}. 令则易证得
$\mathscr{G}$ (n，m)，$\mathscr{H}$ (n，m)和$\mathscr{T}$ (n，m)都是全变换半群$\mathscr{T}$ n的子半群，且$\mathscr{G}$ (n，m)⊆$\mathscr{H}$ (n，m)⊆$\mathscr{T}$ (n，m). 显然$\mathscr{G}$ (n，m)=$\mathscr{T}$ (n，m)∩$\mathscr{S}$ n且$\mathscr{G}$ (n，m)≌$\mathscr{S}$ m×$\mathscr{S}$ n-m，其中$\mathscr{S}$ n-m是Xn\Xm上的对称群.对于r∈
$\mathbb{N}$ +且2≤m+1≤r≤n-1，记则易证得
$\mathscr{H}$ (n，m)*(r)也是$\mathscr{T}$ (n，m)上的子半群且$\mathscr{H}$ (n，m)*(n-1)=$\mathscr{H}$ (n，m).通常，我们定义有限半群S的秩为
在半群理论研究中，对于变换半群结构的研究十分重要，变换半群的秩与其结构紧密相关，一直都是学者研究半群的热点问题之一[1-15]. 众所周知，对称群
$\mathscr{S}$ n=〈(12)，(12…n)〉，且rank$\mathscr{S}$ n=2；全变换半群$\mathscr{T}$ n=$\left\langle {\left( {12} \right), \left( {12 \cdots n} \right), \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2 \end{array}} \right)} \right\rangle $ ，且rank$\mathscr{T}$ n=3. 文献[3]研究了Xn上的奇异变换半群Singn的秩及幂等元秩，并得到它的秩及幂等元秩都为$\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$ . 文献[4]研究了奇异变换半群Singn的理想$\mathscr{T}$ (n，r)={α∈$\mathscr{T}$ n：|im(α)|≤r}(1≤r≤n-1)的秩和幂等元秩，并证明了其秩和幂等元秩都为第二类Stirling数S(n，r). 第二类Stirling数定义为文献[5]研究了半群
$\mathscr{T}$ n，r=$\mathscr{S}$ n∪$\mathscr{T}$ (n，r)的生成元和相关秩. 文献[6]研究了$\mathscr{G}$ (n，m)的生成集及秩，并得到$\mathscr{T}$ (n，m)的秩，即本文在文献[6]的基础上研究半群
$\mathscr{T}$ (n，m)的子半群$\mathscr{H}$ (n，m)*(r)的生成集及它的秩.为了叙述上的方便，在
$\mathscr{H}$ (n，m)上引入以下的二元关系：对任意α，β∈$\mathscr{H}$ (n，m)，定义则
$\mathscr{L}$ ◇，$\mathscr{R}$ ◇与$\mathscr{J}$ ◇都是$\mathscr{H}$ (n，m)上的等价关系. 易得$\mathscr{L}$ ◇⊆$\mathscr{J}$ ◇，$\mathscr{R}$ ◇⊆$\mathscr{J}$ ◇. 对r∈$\mathbb{N}$ +且2≤m+1≤r≤n，记则
$\mathscr{J}$ ◇-类$\mathscr{J}$ n◇，$\mathscr{J}$ n-1◇，…，$\mathscr{J}$ m+1◇恰好是$\mathscr{H}$ (n，m)的n-m个$\mathscr{J}$ ◇-类. 显然$\mathscr{G}$ (n，m)=$\mathscr{J}$ n◇.设1≤m≤n-1，用
$\mathscr{S}$ n-m，$\mathscr{T}$ n-m分别表示Xn\Xm上的对称群和全变换半群. 用$\mathscr{S}$ m表示Xm上的对称群. 设α∈$\mathscr{T}$ n，记ker(α)={(x，y)∈Xn×Xn：xα=yα}，则ker(α)是Xn上的等价关系，称为α的核.引理1[6] 设1≤m≤n-1，则
对于2≤m+1≤r≤n，记
则
$\mathscr{H}$ (n，m)*(r)=$\mathscr{H}$ (n，m)(r)∪$\mathscr{G}$ (n，m). 显然，$\mathscr{H}$ (n，m)(r)是$\mathscr{H}$ (n，m)的理想，且引理2[7] 设1≤m＜r≤n-1，则
$\mathscr{H}$ (n，m)(r)=〈$\mathscr{J}$ r◇〉.任意取n，r∈
$\mathbb{N}$ +且r＜n，令称集合Pr(n)中的元素(x1，x2，…，xr)为n的一个r-划分，记pr(n)=|Pr(n)|(参见文献[16]). 当xr-m+1=xr-m+2=…=xr=1(1≤m＜r)时，记
则
设α∈
$\mathscr{J}$ r◇，则α有如下标准形式：其中Ai={i}(1≤i≤m)，Xm={a1，a2，…，am}且ai∈Xn\Xm(m+1≤i≤r). 显然存在σ∈
$\mathscr{S}$ r，使得|Arσ|≥|A(r-1)σ|≥…≥|A(m+1)σ|≥1且Aiσ=Ai(1≤i≤m). 记称part(α)为α的划分. 显然part(α)∈Pr(n).
任意取α，β∈
$\mathscr{J}$ r◇，在$\mathscr{J}$ r◇上引入关系~：α~β⇔存在λ，μ∈$\mathscr{G}$ (n，m)，使得α=λβμ. 易验证~是$\mathscr{J}$ r◇上的等价关系.引理3[7] 设1≤m＜r≤n-1且α，β∈
$\mathscr{J}$ r◇，则α~β当且仅当part(α)=part(β).对任意α∈
$\mathscr{J}$ r◇，记则Δ(n，m)是
$\mathscr{J}$ r◇在~下的商集，[α]是α所在的等价类. 由引理3易知$\mathscr{J}$ r◇中有pr-m(n-m)个~等价类，从而|Δ(n，m)|=pr-m(n-m). 设~在$\mathscr{J}$ r◇上所决定的所有等价类为[δ1]，[δ2]，…，[δp]，其中p=pr-m(n-m)(m+1≤r≤n-1). 记Ω={δ1，δ2，…，δp}，则Ω是~在$\mathscr{J}$ r◇上所决定的等价类的代表元集合.引理4 设1≤m＜r≤n-1，则
$\mathscr{H}$ (n，m)*(r)=〈$\mathscr{G}$ (n，m)∪Ω〉.证 显然〈
$\mathscr{G}$ (n，m)∪Ω〉⊆$\mathscr{H}$ (n，m)*(r). 注意到$\mathscr{J}_r^\diamondsuit = \bigcup\limits_{i = 1}^p {\left[ {{\delta _i}} \right]}$ . 任意取βi∈[δi]，则存在λi，μi∈$\mathscr{G}$ (n，m)，使得从而[δi]⊆〈
$\mathscr{G}$ (n，m)，δi〉. 由βi的任意性可得$\mathscr{J}$ r◇⊆〈$\mathscr{G}$ (n，m)∪Ω〉. 由引理2知易知从而
因此
引理5 设1≤m＜r≤n-1，任意取α，β∈
$\mathscr{J}$ r◇，若αβ∈$\mathscr{J}$ r◇，则ker(αβ)=ker(α).证 设α，β的标准形式为
其中Ai=Bi={i}(1≤i≤m)，Xm={a1，a2，…，am}={b1，b2，…，bm}且ai，bi∈Xn\Xm(m+1≤i≤r). 由αβ∈
$\mathscr{J}$ r◇可得，存在σ∈$\mathscr{S}$ r使得ai∈Biσ，于是aiβ=biσ，从而因此ker(αβ)=ker(α).
引理6 设1≤m＜r≤n-1，G是
$\mathscr{H}$ (n，m)*(r)的生成集，则对任意q∈Pr(n)，存在α∈G，使得part(α)=q.证 由引理2可得
令
$\tilde G$ =G∩$\mathscr{J}$ r◇，则由G是
$\mathscr{H}$ (n，m)*(r)的生成集可得对任意
$q \in {\tilde P_r}\left( n \right)$ ，取βq∈$\mathscr{J}$ r◇⊆$\mathscr{H}$ (n，m)*(r)，使得part(βq)=q. 由$\mathscr{H}$ (n，m)*(r)=〈$\tilde G$ ∪$\mathscr{G}$ (n，m)〉可得，存在α1，α2，…，αt∈$\tilde G$ ∪$\mathscr{G}$ (n，m)，使得βq=α1α2…αt. 由βq∈$\mathscr{J}$ r◇可知，必存在k∈{1，2，…，t}，使得αk∈$\tilde G$ (否则βq=α1α2…αt∈$\mathscr{G}$ (n，m)，矛盾). 令则
令λ=1Xnα1…αi-1且γ=αi+1…αt1Xn，则由βq∈
$\mathscr{J}$ r◇可得若γ∈
$\mathscr{G}$ (n，m)，则βq~αi. 从而由引理3可得part(αi)=part(βq)=q. 注意到λαi∈$\mathscr{J}$ r◇且αi~λαi. 若γ∈$\mathscr{J}$ r◇，则由引理5可得ker(βq)=ker(λαiγ)=ker(λαi)，从而由引理3可得part(αi)=part(λαi)=part(βq)=q.定理1 设2≤m＜r≤n-1，则
证 假设G是
$\mathscr{H}$ (n，m)*(r)的生成集，则由$\mathscr{G}$ (n，m)⊆$\mathscr{H}$ (n，m)*(r)且rank$\mathscr{G}$ (n，m)=2可得|G∩$\mathscr{G}$ (n，m)|≥2. 再由引理6可得于是由
$\mathscr{H}$ (n，m)*(r)=$\mathscr{G}$ (n，m)∪$\mathscr{H}$ (n，m)(r)可得从而
由rank
$\mathscr{G}$ (n，m)=2可知，存在λ，μ∈$\mathscr{G}$ (n，m)，使得$\mathscr{G}$ (n，m)=〈λ，μ〉，于是由引理4可得从而
因此
On the Rank of the Semigroup $\mathscr{H}$(n, m)*(r)
- Received Date: 01/04/2020
- Available Online: 20/08/2021
-
Key words:
- full transformation semigroup /
- symmetric group /
- generating set /
- rank
Abstract: Let \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ∈ \lt inline-formula \gt $\mathbb{N}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt + \lt /sub \gt and \lt inline-formula \gt $\mathscr{S}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt n \lt /i \gt \lt /sub \gt and \lt inline-formula \gt $\mathscr{T}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt n \lt /i \gt \lt /sub \gt be the symmetric group and the full transformation semigroup on \lt i \gt X \lt /i \gt \lt sub \gt \lt i \gt n \lt /i \gt \lt /sub \gt ={1, 2, …, \lt i \gt n \lt /i \gt }, respectively. For 1≤ \lt i \gt m \lt /i \gt ≤ \lt i \gt n \lt /i \gt -1, let \lt i \gt X \lt /i \gt \lt sub \gt \lt i \gt m \lt /i \gt \lt /sub \gt ={1, 2, …, \lt i \gt m \lt /i \gt }. Let $ \begin{array}{*{20}{c}} \mathscr{T}_{(n, m)}=\left\{\alpha \in \mathscr{T}_{n}: X_{m} \alpha=X_{m}\right\}\\ \mathscr{G}_{(n, m)}=\left\{\alpha \in \mathscr{T}_{(n, m)}:\left(X_{n} \backslash X_{m}\right) \alpha=X_{n} \backslash X_{m}\right\}\\ \mathscr{H}_{(n, m)}=\left\{\alpha \in \mathscr{T}_{(n, m)}:\left(X_{n} \backslash X_{m}\right) \alpha \subseteq X_{n} \backslash X_{m}\right\} \end{array} $ then the semigroups \lt inline-formula \gt $\mathscr{G}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt , \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt and \lt inline-formula \gt $\mathscr{T}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt are all subsemigroups of the full transformation semigroup \lt inline-formula \gt $\mathscr{T}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt n \lt /i \gt \lt /sub \gt , and \lt inline-formula \gt $\mathscr{G}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt ⊆ \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt ⊆ \lt inline-formula \gt $\mathscr{T}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt . For \lt i \gt r \lt /i \gt ∈ \lt inline-formula \gt $\mathbb{N}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt + \lt /sub \gt and 2≤ \lt i \gt m \lt /i \gt \lt \lt i \gt r \lt /i \gt ≤ \lt i \gt n \lt /i \gt -1, we study the generating sets of the semigroup \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt \lt sup \gt * \lt /sup \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt )={ \lt i \gt α \lt /i \gt ∈ \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt : |im( \lt i \gt α \lt /i \gt )|≤ \lt i \gt r \lt /i \gt }∪ \lt inline-formula \gt $\mathscr{G}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt . By analyzing the binary relation of the semigroup \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt and considering that the semigroup \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt \lt sup \gt * \lt /sup \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt ) is the union of the ideal \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt )={ \lt i \gt α \lt /i \gt ∈ \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt : |im( \lt i \gt α \lt /i \gt )≤ \lt i \gt r \lt /i \gt } of the semigroup \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt and the subsemigroup \lt inline-formula \gt $\mathscr{G}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt of the semigroup \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt , it is found that \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt ) can be generated by its top \lt inline-formula \gt $\mathscr{J}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt r \lt /i \gt \lt /sub \gt \lt sup \gt ◇ \lt /sup \gt . Based on the property that the semigroup \lt inline-formula \gt $\mathscr{G}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt is a symmetric group, the equivalence class of the \lt inline-formula \gt $\mathscr{J}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt r \lt /i \gt \lt /sub \gt \lt sup \gt ◇ \lt /sup \gt is divided, and the number of the equivalence classes in \lt inline-formula \gt $\mathscr{J}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt r \lt /i \gt \lt /sub \gt \lt sup \gt ◇ \lt /sup \gt is studied by using the property of the integer splitting, so as to find the minimum generating set of the \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt \lt sup \gt * \lt /sup \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt ). The results prove that the rank of the semigroup \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt \lt sup \gt * \lt /sup \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt )(2≤ \lt i \gt m \lt /i \gt \lt \lt i \gt r \lt /i \gt ≤ \lt i \gt n \lt /i \gt -1) is \lt i \gt p \lt /i \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt - \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt - \lt i \gt m \lt /i \gt )+2.
DownLoad: