Exponential Asymptotic Behaviors of Linear Skew-Product Three-Parameter Semiflows in Banach Spaces

设(Θ，d)为一度量空间，X是一个Banach空间，将空间X上的范数及作用其上面的有界线性算子全体$ \mathscr{B}\left( X \right) $上的范数记作‖·‖. 记$ \mathit{\Delta}=\left\{\left(t, t_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2}: t \geqslant t_{0} \geqslant 0\right\} $，I为恒等算子.

定义1^[11-13]  称$ \sigma: \mathit{\Theta} \times \mathit{\Delta} \longrightarrow \mathit{\Theta} $为三参数(非)线性半流，如果满足如下2条性质：

(ⅰ) $ \sigma(\theta, t, t)=\theta, \forall(t, \theta) \in \mathbb{R}_{+} \times \mathit{\Theta} $

(ⅱ) $ \sigma\left(\sigma\left(\theta, s, t_{0}\right), t, s\right)=\sigma\left(\theta, t, t_{0}\right), \forall(t, s), \left(s, t_{0}\right) \in \mathit{\Delta}, \forall \theta \in \mathit{\Theta} $

此外，若$ \left(\theta, t, t_{0}\right) \longmapsto \sigma\left(\theta, t, t_{0}\right) $连续，则称σ为Θ上的连续三参数(非)线性半流.

定义2^[11-13]  称π=(ϕ，σ)为X上的线性斜积三参数半流，如果$ \phi :\mathit{\Theta} \times \mathit{\Delta} \to \mathscr{B}\left( X \right) $满足如下4条性质：

(ⅰ) $ \phi (\theta , t, t)=I, \forall (t, \theta )\in {{\mathbb{R}}_{+}}\times \mathit{\Theta} $；

(ⅱ) $ \phi \left( \sigma \left( \theta , s, {{t}_{0}} \right), t, s \right)\phi \left( \theta , s, {{t}_{0}} \right)=\phi \left( \theta , t, {{t}_{0}} \right), \forall (t, s), \left( s, {{t}_{0}} \right)\in \mathit{\Delta} , \forall \theta \in \mathit{\Theta} $；

(ⅲ) $ t \longmapsto \phi\left(\theta, t, t_{0}\right) x:\left[t_{0}, \infty\right) \longrightarrow X $与$ \tau \longmapsto \phi(\theta, t, \tau) x:[0, t] \longrightarrow X $均连续；

(ⅳ) 存在常数$ M, \omega \in \mathbb{R}, M\ge 1 $，使得对$ \forall \left( \theta , t, {{t}_{0}} \right)\in \mathit{\Theta} \times \mathit{\Delta} $，有$ \left\| \phi \left( \theta , t, {{t}_{0}} \right) \right\|\le M{{e}^{\omega \left( t-{{t}_{0}} \right)}} $.

定义3^[11-13]  称线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)为一致指数稳定的，如果存在常数N≥1，v>0使得对∀(t，t₀，θ，x)∈Δ×Θ×X，有

定义4^[12]  称线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)为一致指数不稳定的，如果存在常数N≥1，v>0使得对∀(t，t₀，θ，x)∈Δ×Θ×X，有

引理1^[12]  线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在c∈(0，1)和h>0，使得对每个t₀≥0，θ∈Θ以及x∈X存在u∈(0，h](u依赖于t₀，θ和x)，满足

引理2^[12]  线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在c≥1和h>0，使得对每个t₀≥0，θ∈Θ以及x∈X存在u∈(0，h](u依赖于t₀，θ和x)，满足

定理1  若$ \varphi :\psi \to {{\mathbb{R}}_{+}}\to {{\mathbb{R}}_{+}} $是两个非减函数满足

且对所有的θ∈Θ以及x∈X，有

则线性斜积三参数半流π=(Φ，σ)是一致指数稳定的.

证  采用反证法. 若线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)不是一致指数稳定的，则引理1中式(3)不成立. 这意味着对任意c∈(0，1)和h>0，存在t₀≥0，θ₀∈Θ以及x₀∈X，‖x₀‖=1使得对所有的u∈(0，h]有

从而结合式(5)可得，对所有的h>0有

故由洛必达法则可得

该矛盾说明式(3)成立，从而借助引理1可得π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的.

推论1  若非减函数$ \varphi :{{\mathbb{R}}_{+}}\to {{\mathbb{R}}_{+}} $满足

则线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在α，β>0，使得对所有θ∈Θ以及x∈X，有

证  由定理1可知充分性显然，下证必要性. 由于π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的，故存在常数N≥1，v>0使得

对所有的t₀≥0，u≥0，θ∈Θ成立. 现任意固定α∈(0，v]及β≥N，则对所有的t>0，t₀≥0，θ∈Θ以及x∈X有

推论2  线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在常数α，β>0，使得对所有的θ∈Θ以及x∈X，有

定理2  线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在常数K，p>0，以及函数$ \varphi :{{\mathbb{R}}_{+}}\to {{\mathbb{R}}_{+}} $满足

使得对所有的θ∈Θ和x∈X，有

证  必要性  显然. 令φ(t)=t即可.

充分性  若π=(ϕ，σ)不是一致指数稳定的，由引理1可知对任意c∈(0，1)和h>0，存在t₀≥0，θ₀∈Θ以及x₀∈X使得对所有的u∈(0，h]有

结合式(8)有

这意味着c^pφ(h) < K对∀c∈(0，1)和∀h>0成立. 现将c固定，并令h→∞，则有$ \frac{K}{{{c^p}}} \ge \infty $，从而矛盾，故π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的.

定理3  线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在常数K>0以及非减函数φ(t)>0(t>0)满足φ(ts)≤φ(t)φ(s)，(t，s)∈Δ，使得对所有的t₀≥0，θ∈Θ和x∈X，有

证  必要性  令φ(t)=t即可.

充分性  若π=(ϕ，σ)不是一致指数稳定的，由引理1可知对任意c∈(0，1)和h>0，存在t₀≥0，θ₀∈Θ以及x₀∈X使得对所有的u∈(0，h]有式(9)成立. 特别地，取$ c=\frac{1}{2}, h=K\varphi \left( 2 \right) $，由函数φ的性质以及式(9)可得

这与式(10)矛盾，故π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的.

定理4  线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在常数K>0以及非减函数φ(t)>0(t>0)满足φ(ts)≥φ(t)φ(s)，(t，s)∈Δ，使得对所有的t₀≥0，θ∈Θ和x∈X，有式(10)成立.

证  必要性  令φ(t)=t即可.

充分性  类似定理3，借助式(9)可得，对c∈(0，1)与$ h=\frac{K}{\varphi \left( c \right)} $有

这与式(10)矛盾，故π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的.

推论3  线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在常数K′>0以及非减函数φ(t)满足定理3或4的条件，使得对所有的t₀≥0，θ∈Θ和x∈X，有

在定理3或4中，取φ(t)=t^p(p>0)，可得推论4.

推论4^[12]  线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在常数K，p>0使得对所有的t₀≥0，θ∈Θ以及x∈X，有

接下来按照前面关于线性斜积三参数半流一致指数稳定性的讨论方式，给出相关结论在一致指数不稳定情形下的若干变形.

定理5  若对任一(θ，t，t₀)∈Θ×Δ，ϕ(θ，t，t₀)为一一映射. $ \varphi :\psi \to {{\mathbb{R}}_{+}}\to {{\mathbb{R}}_{+}} $是两个非减函数满足

且对所有的θ∈Θ以及x∈X\{0}，有

则线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数不稳定的.

证  反证法. 若π=(ϕ，σ)不是一致指数不稳定的，由引理2可知对任意c>1和h>0，存在t₀≥0，θ₀∈Θ以及x₀∈X，‖x₀‖=1，使得对所有的u∈(0，h]，有

从而结合式(13)可得，对所有的h>0有

故由洛必达法则可得

从而矛盾. 故π=(ϕ，σ)是一致指数不稳定的.

推论5若对任一(θ，t，t₀)∈Θ×Δ，ϕ(θ，t，t₀)为一一映射. 非减函数$ \varphi :{{\mathbb{R}}_{+}}\to {{\mathbb{R}}_{+}} $满足

则线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在α，β>0，使得对所有θ∈Θ以及x∈X\{0}，有

推论6  若对任一(θ，t，t₀)∈Θ×Δ，ϕ(θ，t，t₀)为一一映射. 则线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数α，β>0，使得对所有的θ∈Θ以及x∈X\{0}，有

定理6  若对任一(θ，t，t₀)∈Θ×Δ，ϕ(θ，t，t₀)为一一映射. 则线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数K，p>0，以及函数$ \varphi :{{\mathbb{R}}_{+}}\to {{\mathbb{R}}_{+}} $满足

使得对所有的θ∈Θ和x∈X\{0}，有

证  必要性  显然，令φ(t)=t即可.

充分性  若π=(ϕ，σ)不是一致指数不稳定的，由引理2可知对任意c>1和h>0，存在t₀≥0，θ₀∈Θ以及x₀∈X\{0}，使得对所有的u∈(0，h]有

结合式(16)，有

这意味着φ(h) < Kc^p对∀c>1和∀h>0成立. 现将c固定，并令h→∞，则有Kc^p≥∞，从而矛盾，故π=(ϕ，σ)是一致指数不稳定的.

定理7  若对任一(θ，t，t₀)∈Θ×Δ，ϕ(θ，t，t₀)为一一映射. 则线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数K>0以及非减函数φ(t)>0(t>0)满足φ(ts)≤φ(t)φ(s)，(t，s)∈Δ，使得对所有的t₀≥0，θ∈Θ和x∈X\{0}，有

证  必要性  令φ(t)=t，$ K=\frac{1}{Nv} $即可，其中N，v详见定义4.

充分性  若π=(ϕ，σ)不是一致指数不稳定的，由引理2可知对任意c>1和h>0，存在t₀≥0，θ₀∈Θ以及x₀∈X\{0}，使得对所有的u∈(0，h]有式(17)成立. 特别地，取c=2，h=Kφ(2)，由函数φ的性质以及式(17)可得

这与式(18)矛盾，故π=(ϕ，σ)是一致指数不稳定的.

定理8  若对任一(θ，t，t₀)∈Θ×Δ，ϕ(θ，t，t₀)为一一映射. 则线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数K>0以及非减函数φ(t)>0(t>0)满足φ(ts)≥φ(t)φ(s)，(t，s)∈Δ，使得对所有的t₀≥0，θ∈Θ和x∈X\{0}，有式(18)成立.

证  类似定理7的证明.

推论7  若对任一(θ，t，t₀)∈Θ×Δ，ϕ(θ，t，t₀)为一一映射. 则线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数K′>0以及非减函数φ(t)满足定理7或8的条件，使得对所有的t₀≥0，θ∈Θ和x∈X\{0}，有

在定理7或8中取φ(t)=t^p(p>0)，可得推论8.

推论8^[12]  若对任一(θ，t，t₀)∈Θ×Δ，ϕ(θ，t，t₀)为一一映射. 则线性斜积三参数半流π=(ϕ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数K，p>0，使得对所有的t₀≥0，θ∈Θ和x∈X\{0}，有