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近年来，随着材料科学和工程技术的发展，液体黏滞系数的精确测量在石油管道运输、生物医学研究、材料科学和机械工程等多个领域愈发重要[1-5]。例如，在石油工业中，原油的黏滞系数直接影响管道运输效率及润滑性能，需通过降黏技术优化输油能耗[6-7]；在生物医学领域，药物输送系统的设计需精确控制液体药物的黏度以调节其流动性和注射速度[8]；在材料科学领域，新型智能材料的研发依赖黏度动态响应特性的表征[9]。
液体黏滞系数的测量是大学物理的经典内容，常用方法包括落球法、滚筒法、毛细管法等。落球法[10-13]基于斯托克斯定律，通过测量小球在液体中的下落时间计算黏滞系数，其操作简单、成本低，仅适用于透明或半透明液体(如蓖麻油、甘油)，存在显著局限性，且需手动计时引入人为误差。滚筒法也叫旋转法[14-17]，通过测量转子在液体中旋转的扭矩计算黏度，适用于高黏度流体(如原油、熔融聚合物)，在低黏度液体(如水性溶液)中的扭矩信号微弱，导致液体黏滞系数的测量灵敏度不足，此外，旋转剪切可能改变非牛顿流体(如血液、水凝胶)的微观结构，影响液体黏滞系数测量的真实性。毛细管法[18-22]利用泊肃叶公式，通过液体在毛细管中的流量与压力差关系计算黏滞系数，适用于低黏度牛顿流体(如纯水、乙醇)，高黏度液体易堵塞管道，且温度波动会显著影响结果(温度偏差0.5 ℃可导致5%误差)，虽然乌氏黏度计等改进设计提升了标准化程度，但毛细管法测量黏滞系数仍受限于重力驱动原理的适用范围。
为克服以上传统方法的局限性，本研究设计了一种基于圆锥系统的黏滞系数测量平台，其核心原理如下：通过圆锥系统在液体中的无阻尼自由振动与有阻尼受迫振动的对比，记录简谐运动周期变化，可间接推导液体的黏滞系数。为验证理论模型的可靠性，采用追踪器(Tracker)软件对圆锥的运动轨迹进行追踪，实现理论预测与实验数据的交叉验证。该方法创新性地将动态振动响应与数字化验证手段相结合，借助比较分析法，将相对误差控制在1% 以内，实现液体黏滞系数的间接测量，为流体特性研究提供了一种新方法。
本研究的结构安排如下：第一节介绍实验设计的理论基础，第二节对理论进行验证，描述整个实验设计的具体过程并对实验数据进行分析，第三节对实验结果进行总结和讨论。
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实验装置的模型示意图如图 1所示。该装置主要由3个核心组件构成：圆锥体、扭簧以及连接圆锥体的细手柄。在实验过程中，通过对手柄施加微小的外力扰动，使圆锥体产生旋转运动。这一创新性设计能够通过观察圆锥在各种液体介质中的旋转行为，深入分析液体的黏滞阻尼效应。通过比较不同液体中圆锥运动的特征参数，间接测定液体的黏滞系数。
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在空气中进行实验时，轻轻拨动圆锥使其转动后释放。忽略空气阻力的作用，扭簧和圆锥系统的总能量Etotal由扭簧的弹性能量和圆锥的动能组成，其表达式为：
式中：k是扭簧的扭转刚度(扭转弹簧常数)；θ是扭簧的扭转角度；I是圆锥的转动惯量；ω是角速度。
根据
$\boldsymbol{\omega}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\theta}}{\mathrm{~d} t}$ ，系统总能量公式可表示为：根据拉格朗日方程
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{\partial \boldsymbol{l}}{\partial \dot{\boldsymbol{\theta}}}\right)-\frac{\partial \boldsymbol{l}}{\partial \boldsymbol{\theta}}=0$ ，其中l = K - U是拉格朗日量，K、U分别是系统的动能和势能，可得：计算得：
式中：
$\dot{\boldsymbol{\theta}}$ 为角度对时间的导数。将公式(1)、公式(2)代入拉格朗日方程，简化得：
其解的形式为
$\boldsymbol{\theta}(t)=\Theta \cos (\boldsymbol{\omega} t+\varphi)$ ，其中振动频率ω的模为：根据角频率ω与周期T的关系
$T=\frac{2 \mathsf{π}}{|\boldsymbol{\omega}|}$ ，可得圆锥系统的振动周期T为： -
将部分圆锥浸没在液体中，在圆锥转动角度较小(θ≤5°)的情况下，可以测量液体的黏滞系数。当圆锥旋转时，会带动周围的流体运动，黏性边界层的厚度会随着流动距离的增加而逐渐增大。然而，由于圆锥的形状几何特征，流体在流动方向上会加速运动，导致边界层相对变薄，因此边界层的厚度通常是较小的。这种特性有助于提高液体黏滞系数测量的精确性。
建立理论模型，如图 2所示。假设圆锥半径为R，高度为H，圆锥浸没液体高度为H0(H0＜H)，角速度为ω。液体密度为ρ液，液体的黏滞系数为η，系统的液体最大边界层厚度为Δr(根据边界层理论Δr＜R)，根据壁面不滑移条件可知，特征速度v的模小于最大圆锥边界转速vmax的模。
本实验中的雷诺数可以表示为：
当旋转圆锥系统后释放，通过能量守恒定律计算旋转的最大旋转角速度，扭簧的弹性势能等于系统在静止状态下的总动能：
则最大角速度和线速度可以分别表示为：
将式(5)、式(6)代入式(4)可得：
式中：以水为例，相关参数如下：k≈1.79×10-4 N·m/rad，
$\left|\boldsymbol{\theta}_0\right|=\frac{\mathsf{π}}{36} \mathrm{rad}$ ，I≈1.1×10-4 kg·m2，Δr＜R＜4.0×10-2 m，ρ水=1.0×103 kg/m3，η为液体黏滞系数，η=1.0×10-3 Pa·s。计算得到雷诺数Re＜110，表示液体运动处于层流状态[23]。当圆锥部分浸没在液体中旋转时，圆锥在扭簧恢复力矩作用下，绕中心轴做往返扭转运动。圆锥表面附着的液体在黏滞阻力的作用下，将跟随圆锥做相同的扭转运动。圆锥在液体扭转时受到扭簧恢复力矩和液体内摩擦力矩的作用，根据刚体定轴转动定律可知：
式中：α表示圆锥系统的角加速度；
$I=\frac{3 m R^2}{10}$ 表示圆锥的转动惯量；-kθ表示扭簧的恢复力矩；M阻表示液体内摩擦力矩。为研究旋转液体的力矩，如图 2所示，设任意位置距离锥顶的距离为z，相对应的圆锥半径为rz，此处对应的流体边界层厚度为drz(0≤drz≤Δr，0≤z≤H0)，z处的线速度为v z。进一步假设液体运动速度随着半径的增大呈现均匀递减趋势[24-25]，递减梯度为
$\frac{\boldsymbol{v}_z}{\Delta r}$ 。由牛顿黏滞定律可知液体的黏滞阻力F阻为：
则液体所受的阻力力矩为：
由于
$\frac{\Delta r}{d r_z}=\frac{H_0}{z}, \frac{r_z}{R}=\frac{z}{H}, \boldsymbol{v}_z=r_z \boldsymbol{\omega}$ ，联立式(8)、式(9)两式可得：则液体黏滞阻力的力矩M阻为：
设
$A=\frac{2 \mathsf{π} R^3 H_0^4}{3 \Delta r \cdot H^3}$ ，则式(10)变为：将式(11)代入式(7)中，得：
对上式移项求解, 得:
式中：A和k是常数，这是一个标准的阻尼简谐振动方程，可以用特征方程的方法求解。特征方程为：
根据判别式
$\Delta=\left(\frac{A \eta}{I}\right)^2-4 \frac{k}{I}$ ，本实验的Δ＜0，因此为欠阻尼情况，复数根$r=\beta \pm \mathrm{i} \boldsymbol{\omega}_d$ ，式(12)的解为：式中：
$\beta=-\frac{A \eta}{2 I}, \left|\boldsymbol{\omega}_d\right|=\sqrt{\frac{k}{I}-\left(\frac{A \eta}{2 I}\right)^2}$ ，C1和C2是由初始条件确定的常数。在无阻尼情况下，系统的周期Tn由式(3)可知：
在欠阻尼情况下，系统的周期Td由频率ωd决定：
比较两个周期可得：
进行数学变形可得：
当圆锥系统分别在两种不同的黏滞系数液体中进行实验时，根据式(15)可知，通过不同液体中圆锥系统的欠阻尼运动周期，可以推导得到不同液体的黏滞系数之比为：
1.1. 圆锥系统的物理模型
1.2. 圆锥系统的周期
1.3. 液体黏滞系数的测定
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本实验的实验装置图如图 3所示，包括立杆、扭簧、光电门、圆锥、水缸、升降台、底座以及计时计数仪。此外，实验中还用到以下测量装置：游标卡尺、电子天平、直尺和水银温度计。基本参数如表 1所示。
本实验使用计时计数仪对圆锥运动的周期进行测量。拨动圆锥上的L型挡杆，使其周期地通过光电门，进而捕捉并记录圆锥的扭转周期。在扭簧与圆锥的连接设计上，采用SolidWorks建模软件在圆锥顶部设计凹型卡槽，使用3D打印技术进行实物制造，如图 4a所示。扭簧的下部圆环稳固地卡入圆锥的凹槽中，实现圆锥与扭簧的稳定连接，确保圆锥能够进行水平扭转。此外，固定和悬挂组件的设计如图 4b所示，采用轻型卡扣管夹将长杆与扭簧的上部固定，扭簧和圆锥被垂直悬挂在实验装置上，以确保实验过程中圆锥的水平扭转特性。最后，升降台的设计如图 4c所示，用于精确控制圆锥浸入液体的深度，其具体规格详见表 1。
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为验证式(13)所描述的理论模型的正确性，本部分通过实验方法对圆锥体阻尼周期运动进行系统研究，并对实验过程中可能存在的误差来源进行评估。实验系统由圆锥体、L型挡杆及液体介质构成，通过将圆锥体部分浸入液体并轻微拨动L型挡杆，观察并记录其阻尼周期运动特征。实验数据的采集与处理均围绕式(13)的验证展开。采用追踪器(Tracker)视频分析软件对圆锥体运动过程进行记录，具体分析流程如下：首先建立以圆锥体几何中心为原点，L型挡杆中心连线及其法线分别为x轴和y轴的坐标系；随后选取圆锥体上特征点作为追踪目标，利用追踪器(Tracker)的自动追踪功能获取其运动轨迹；最后基于采集数据执行函数拟合，将实验结果与式(13)的理论预测值进行对比分析。实验拟合结果如图 5所示，很显然，特征点的运动轨迹拟合曲线呈现典型的阻尼周期运动特征，拟合结果如下：
可得拟合角速度的模为| ω拟合|=1.25 rad/s。根据式(14)计算得到理论角速度的模为| ω理论|=
$\sqrt{\frac{k}{I}-\left(\frac{A \eta}{2 I}\right)^2} \approx 1.281\;2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ ，两者之间存在约2.5%的相对误差。排除软件误差、实验装置偏差以及人为操作等干扰因素，实验结果验证了圆锥在液体中进行水平扭转后呈现出阻尼周期运动的特性。这表明设计的实验平台的理论模型具有较高的可靠性和精确性。 -
测量步骤如下：①组装实验装置：连接计时计数仪，调整光电门的位置，连接并固定圆锥与扭簧；②启动计时计数仪；③扭转圆锥：用双手轻轻拨动L型挡杆，使圆锥轻微转动，角度约为5°；④数据记录：待圆锥转动稳定后，启动计时计数仪，预设周期数为15，记录圆锥在空气中的扭转周期Tn；⑤重复实验：重复步骤③和④，共进行3次，记录圆锥在空气中的扭转周期Tn，并计算平均周期
$\overline{T_n}$ ；⑥向水缸中加水，并调节升降台，使圆锥浸没液体至合适位置，重复步骤③和④，计录圆锥在水中的扭转周期Td1，并计算平均扭转周期$\overline{T_{d_1}}$ ；⑦清空水缸，加入酒精，并调节升降台，使得圆锥浸没液体至合适位置，重复步骤③和④，计录圆锥在酒精中的扭转周期Td2，并计算平均扭转周期$\overline{T_{d_2}}$ 。实验测量数据如表 2所示。 -
实验测量结果显示，水的温度为T水=24 ℃，酒精的温度为T酒精=21 ℃。根据表 2测量数据，并根据式(16)，计算得出水与酒精黏滞系数的比值为：
查阅文献[23]，水在24 ℃时的理论黏滞系数η水-理论=0.916×10-3 Pa·s，酒精在21 ℃时的理论黏滞系数η酒精-理论=1.17×10-3 Pa·s。则酒精黏滞系数的实验值为：
对比酒精黏滞系数的理论值和实验值，计算得出其相对误差为0.4%。在多次不同条件下重复进行实验，结果显示实验相对误差控制在1% 以内。经过对测量值进行不确定度分析，得到的相对不确定度为4.8%。因此，酒精的黏滞系数最终结果可以表示为：
2.1. 实验装置
2.2. 理论验证
2.3. 实验步骤和数据处理
2.3.1. 实验步骤
2.3.2. 数据记录及处理
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本研究设计并开发了一种基于圆锥系统的新型实验平台，通过创新性的圆锥系统实现对液体黏滞系数的精确测量，并借助追踪器(Tracker)软件验证理论模型的正确性。实验结果表明，该平台能够有效测量无阻尼和有阻尼的简谐运动周期，通过比较法获得高精度的黏滞系数数据，实验相对误差控制在1% 以内，并通过不确定度分析为测量结果提供合理的误差范围评估。与传统液体黏滞系数测量方法相比，该装置显著简化了操作流程并提高了测量精度，为液体黏滞系数的测量提供了一种简便且高效的实验方案。
本实验方法在水和酒精等低黏度液体中表现良好，但在极高黏度液体(如蜂蜜)或极低黏度液体(如某些有机溶剂)中的应用仍存在一定的局限性，需进一步验证和优化。对于极高黏度液体，圆锥系统的运动会受到显著阻尼，导致测量精度下降；而对于极低黏度液体，由于液体黏滞性极低，对测量周期的设备精度要求显著提高。此外，该方法对液体的均匀性和温度敏感性有一定要求，非均匀液体或温度变化较大的液体可能影响测量结果的准确性。在实验过程中，一些细微影响因素，如人为扭转导致的圆锥轻微摆动以及浸入高度难以保持一致等问题，也可能对测量结果产生一定影响。
未来，通过进一步优化实验装置的设计和操作流程，有望进一步减小误差并提高测量精度，例如引入自动化控制技术以减少人为误差，并改进浸入高度的调节机制。此外，拓展该方法在复杂流体体系中的应用也将成为下一步研究的重点。
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